Esquema normal

En geometría algebraica , una variedad o esquema algebraico X es normal si es normal en cada punto, lo que significa que el anillo local en el punto es un dominio integralmente cerrado . ^{[ 1 ]} Una variedad afín X (entendida como irreducible) es normal si y solo si el anillo O ( X ) de funciones regulares en X es un dominio integralmente cerrado. Una variedad X sobre un cuerpo es normal si y solo si todo morfismo birracional finito de cualquier variedad Y a X es un isomorfismo .

Las variedades normales fueron introducidas por Zariski . ^{[ 2 ]}

Interpretaciones geométricas y algebraicas de la normalidad

Un morfismo de variedades es finito si la imagen inversa de cada punto es finita y el morfismo es propio . Un morfismo de variedades es birracional si se restringe a un isomorfismo entre subconjuntos abiertos densos. Así, por ejemplo, la curva cúbica cuspidal ^X^en^{el plano afín A₂ definida por x₂}= y₃ no es normal, porque existe un morfismo birracional finito A₁ → X (es decir, t se mapea a ( t₃ , t₂ ) ) ^que no es un isomorfismo ^.Por ^el contrario, la recta afín A₁ es normal: no se puede simplificar más mediante morfismos birracionales ^finitos .

Una variedad compleja normal X tiene la propiedad, vista como un espacio estratificado usando la topología clásica, de que cada enlace está conectado. De forma equivalente, cada punto complejo x tiene vecindarios arbitrariamente pequeños U tales que U menos el conjunto singular de X está conectado. Por ejemplo, se deduce que la curva cúbica nodal X en la figura, definida por y² = x²(x + 1 ) , no es normal . Esto también se deduce ^de la definición ^{de normalidad, ya que existe un morfismo birracional}^finito de A₁ a X que no es un isomorfismo; envía dos puntos de ^A₁al mismo punto en X.

De manera más general, un esquema X es normal si cada uno de sus anillos locales

O _X,x

es un dominio integralmente cerrado . Es decir, cada uno de estos anillos es un dominio integral R , y todo anillo S con R ⊆ S ⊆ Frac( R ) tal que S es finitamente generado como un R -módulo es igual a R. (Aquí Frac( R ) denota el cuerpo de fracciones de R ). Esta es una traducción directa, en términos de anillos locales, de la condición geométrica de que todo morfismo birracional finito a X es un isomorfismo. Por ejemplo, en el caso del cubo nodal X en la figura, el anillo local $A=\left(k[x,y]/(y^{2}-x^{2}(x+1))\right)_{(x,y)}$ no es integralmente cerrado en su campo de fracciones, ya que y/x es integral sobre A pero no está en A. Por lo tanto, X no es normal en el punto (0,0). ^{[ 3 ]}

Una noción antigua sostiene que una subvariedad X del espacio proyectivo es linealmente normal si el sistema lineal que da lugar a la inmersión es completo. De forma equivalente, X ⊆ P ⁿ no es la proyección lineal de una inmersión X ⊆ P ⁿ⁺¹ (a menos que X esté contenida en un hiperplano P ⁿ ). Este es el significado de «normal» en las expresiones « curva normal racional» y «desplazamiento normal racional» .

Todo esquema regular es normal. Por el contrario, Zariski demostró que toda variedad normal es regular fuera de un subconjunto de codimensión al menos 2, y un resultado similar es cierto para los esquemas. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Así que, por ejemplo, toda curva normal es regular.

La normalización

Todo esquema reducido X tiene una normalización única : un esquema normal Y con un morfismo birracional integral Y → X. (Para X una variedad sobre un cuerpo, el morfismo Y → X es finito, lo cual es más fuerte que "integral". ^{[ 6 ]} ) La normalización de un esquema de dimensión 1 es regular, y la normalización de un esquema de dimensión 2 solo tiene singularidades aisladas. La normalización no se suele utilizar para resolver singularidades en esquemas de dimensiones superiores.

Para definir la normalización, supongamos primero que X es un esquema reducido irreducible X. Todo subconjunto abierto afín de X tiene la forma Spec R con R un dominio de integridad . Escribamos X como una unión de subconjuntos abiertos afines Spec A _i . Sea B _i la clausura integral de A _i en su cuerpo de fracciones. Entonces la normalización de X se define pegando los esquemas afines Spec B _i .

Si el esquema inicial no es irreducible, la normalización se define como la unión disjunta de las normalizaciones de los componentes irreducibles.

Ejemplos

Normalización de una cúspide

Consideremos la curva afín.

$C={\text{Especificación}}\left({\frac {k[x,y]}{y^{2}-x^{5}}}\right)$

con la singularidad de cúspide en el origen. Su normalización puede ser dada por el mapa

${\text{Especificación}}(k[t])\to C$

inducido a partir del mapa algebraico

$x\mapsto t^{2},y\mapsto t^{5}$

Normalización de ejes en el plano afín

Por ejemplo,

$X={\text{Especificación}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))$

no es un esquema irreducible ya que tiene dos componentes. Su normalización viene dada por el morfismo de esquema

${\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(x)\times \mathbb {C} [x,y]/(y))\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))$

inducido a partir de los dos mapas cociente

$\mathbb {C} [x,y]/(xy)\to \mathbb {C} [x,y]/(x,xy)=\mathbb {C} [x,y]/(x)$

$\mathbb {C} [x,y]/(xy)\to \mathbb {C} [x,y]/(y,xy)=\mathbb {C} [x,y]/(y)$

Normalización de la variedad proyectiva reducible

De manera similar, para polinomios irreducibles homogéneos $f_{1},\ldots ,f_{k}$ en un UFD, la normalización de

${\text{Proj}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1}\cdots f_{k},g)}}\right)$

está dado por el morfismo

${\text{Proj}}\left(\prod {\frac {k[x_{0}\ldots ,x_{n}]}{(f_{i},g)}}\right)\to {\text{Proj}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1}\cdots f_{k},g)}}\right)$

Véase también

Notas

↑ Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 pág. 91
↑ Zariski, Oscar (1939), "Algunos resultados en la teoría aritmética de variedades algebraicas.", Amer. J. Math. , 61 (2): 249– 294, doi : 10.2307/2371499 , JSTOR 2371499 , MR 1507376 Sección III
↑ Eisenbud, D. Álgebra conmutativa (1995). Springer, Berlín. Sección 4.3
↑ Zariski, Oscar (1939), "Algunos resultados en la teoría aritmética de variedades algebraicas.", Amer. J. Math. , 61 (2): 249– 294, doi : 10.2307/2371499 , JSTOR 2371499 , MR 1507376 teorema 11
↑ Eisenbud, D. Álgebra conmutativa (1995). Springer, Berlín. Teorema 11.5
↑ Eisenbud, D. Álgebra conmutativa (1995). Springer, Berlín. Corolario 13.13

Referencias

Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa. Con vistas a la geometría algebraica. , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 pág. 91
Zariski, Oscar (1939), "Algunos resultados en la teoría aritmética de variedades algebraicas.", Amer. J. Math. , 61 (2): 249– 294, doi : 10.2307/2371499 , JSTOR 2371499 , MR 1507376

[1] Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 pág. 91

[2] Zariski, Oscar (1939), "Algunos resultados en la teoría aritmética de variedades algebraicas.", Amer. J. Math. , 61 (2): 249– 294, doi : 10.2307/2371499 , JSTOR 2371499 , MR 1507376 Sección III

[3] Eisenbud, D. Álgebra conmutativa (1995). Springer, Berlín. Sección 4.3

[4] Zariski, Oscar (1939), "Algunos resultados en la teoría aritmética de variedades algebraicas.", Amer. J. Math. , 61 (2): 249– 294, doi : 10.2307/2371499 , JSTOR 2371499 , MR 1507376 teorema 11

[5] Eisenbud, D. Álgebra conmutativa (1995). Springer, Berlín. Teorema 11.5

[6] Eisenbud, D. Álgebra conmutativa (1995). Springer, Berlín. Corolario 13.13

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