Espacio estratificado de Thom-Mather

En topología , una rama de las matemáticas, un espacio estratificado abstracto o un espacio estratificado de Thom-Mather es un espacio topológico X que se ha descompuesto en partes llamadas estratos ; estos estratos son variedades y se requiere que encajen entre sí de una determinada manera. Los espacios estratificados de Thom-Mather proporcionan un entorno puramente topológico para el estudio de singularidades análogas a la teoría geométrica diferencial de Whitney . Fueron introducidos por René Thom , quien demostró que cada espacio estratificado de Whitney era también un espacio estratificado topológicamente, con los mismos estratos. John Mather dio otra prueba en 1970, inspirada en la prueba de Thom.

Los ejemplos básicos de espacios estratificados de Thom-Mather incluyen variedades con borde (dimensión superior y borde de codimensión 1) y variedades con vértices (dimensión superior, borde de codimensión 1, vértices de codimensión 2), variedades analíticas reales o complejas, o espacios de órbitas de grupos de transformación suaves.

Un espacio estratificado de Thom-Mather es una tripleta donde es un espacio topológico (a menudo requerimos que sea localmente compacto , Hausdorff y segundo contable ), es una descomposición de en estratos,${\displaystyle (V,{\mathcal {S}},{\mathfrak {J}})}$${\estilo de visualización V}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\estilo de visualización V}$

${\displaystyle V=\bigsqcup _{X\in {\mathcal {S}}}X,}$

y es el conjunto de datos de control donde es un vecindario abierto del estrato (llamado vecindario tubular), es una retracción continua y es una función continua. Estos datos deben satisfacer las siguientes condiciones. ${\displaystyle {\mathfrak {J}}}$ ${\displaystyle \{(T_{X}),(\pi _{X}),(\rho _{X})\ |X\in S\}}$$Estilo de visualización T_{X}}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \pi_{X}:T_{X}\to X}$${\displaystyle \rho_{X}:T_{X}\to [0,+\infty )}$

1. Cada estrato es un subconjunto localmente cerrado y la descomposición es localmente finita .${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización S}$
2. La descomposición satisface el axioma de la frontera: si y , entonces . Esta condición implica que existe un orden parcial entre estratos: si y solo si y .${\estilo de visualización S}$${\displaystyle X,Y\en {\mathcal {S}}}$${\displaystyle Y\cap {\overline {X}}\neq \emptyset }$${\displaystyle Y\subseteq {\overline {X}}}$${\estilo de visualización Y<X}$${\displaystyle Y\subset {\overline {X}}}$${\displaystyle Y\neq X}$
3. Cada estrato es una variedad lisa.${\estilo de visualización X}$
4. ${\displaystyle X=\{v\in T_{X}\ |\ \rho _{X}(v)=0\}}$. Por lo tanto, puede verse como la función de distancia desde el estrato .${\displaystyle \rho_{X}}$${\estilo de visualización X}$
5. Para cada par de estratos , la restricción es una inmersión .${\estilo de visualización Y<X}$${\displaystyle (\pi _ {Y},\rho _ {Y}):T_ {Y}\cap X\to Y\times (0,+\infty)}$
6. Para cada par de estratos , se cumple y (ambos sobre el dominio común de ambos lados de la ecuación).${\estilo de visualización Y<X}$${\displaystyle \pi _{Y}\circ \pi _{X}=\pi _{Y}}$${\displaystyle \rho _{Y}\circ \pi _{X}=\rho _{Y}}$

Una de las motivaciones originales para los espacios estratificados fue la descomposición de los espacios singulares en fragmentos uniformes. Por ejemplo, dada una variedad singular , existe una subvariedad definida naturalmente, , que es el lugar geométrico singular. Puede que no sea una variedad uniforme, por lo que tomar el lugar geométrico de singularidad iterado eventualmente dará una estratificación natural. ^{[ cita requerida ] Un ejemplo algebreo-geométrico simple es la} hipersuperficie singular${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \mathrm {Cantar} (X)}$${\displaystyle \mathrm {Cantar} (\mathrm {Cantar} (X))}$

     ${\displaystyle {\text{Espec.}}\left(\mathbb {C} [x,y,z]/\left(x^{4}+y^{4}+z^{4}\right)\right)\xleftarrow {(0,0,0)} {\text{Espec.}}(\mathbb {C} )}$

¿Dónde está el espectro primo ? ${\displaystyle {\text{Especificación}}(-)}$

• Teoría de la singularidad
• Condiciones de Whitney
• Plegado en capas
• Homología de intersección
• El primer lema de isotopía de Thom
• espacio estratificado

• Goresky, Mark ; MacPherson, Robert Teoría de Morse estratificada , Springer-Verlag, Berlín, 1988.
• Goresky, Mark ; MacPherson, Robert Homología de intersección II , Invent. Math. 72 (1983), no. 1, 77--129.
• Mather, J. Notas sobre estabilidad topológica , Universidad de Harvard, 1970.
• Thom, R. Ensembles et morphismes stratifiés , Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense 75 (1969), págs.240-284.
• Weinberger, Shmuel (1994). La clasificación topológica de espacios estratificados. Chicago Lectures in Mathematics. Chicago, IL: University of Chicago Press. ISBN 9780226885667.