Finalización sin problemas

En geometría algebraica , la completación suave (o compactificación suave ) de una curva algebraica afín suave X es una curva algebraica suave completa que contiene a X como un subconjunto abierto. ^{[ 1 ]} Las completaciones suaves existen y son únicas sobre un cuerpo perfecto .

Una forma afín de una curva hiperelíptica puede presentarse como${\displaystyle y^{2}=P(x)}$dónde${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {C} ^{2}}$y P ( x ) tiene raíces distintas y tiene grado al menos 5. El cierre de Zariski de la curva afín en${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{2}}$es singular en el único punto infinito añadido. No obstante, la curva afín puede incrustarse en una única superficie de Riemann compacta llamada su completación suave. La proyección de la superficie de Riemann a${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}}$es 2 a 1 sobre el punto singular en el infinito si${\displaystyle P(x)}$tiene grado par y 1 a 1 (pero ramificado) en lo demás.

Esta completación suave también se puede obtener de la siguiente manera: proyectar la curva afín sobre la línea afín usando la coordenada x . Incrustar la línea afín en la línea proyectiva y, a continuación, normalizar la línea proyectiva en el campo de función de la curva afín.

Una curva suave y conectada sobre un cuerpo algebraicamente cerrado se llama hiperbólica si${\displaystyle 2g-2+r>0}$donde g es el género de la completación suave y r es el número de puntos añadidos.

Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0, el grupo fundamental de X es libre con${\displaystyle 2g+r-1}$generadores si r >0.

(Análogo del teorema de la unidad de Dirichlet ) Sea X una curva suave y conexa sobre un cuerpo finito. Entonces, las unidades del anillo de funciones regulares O(X) en X son un grupo abeliano finitamente generado de rango r -1.

Supongamos que el cuerpo base es perfecto. Cualquier curva afín X es isomorfa a un subconjunto abierto de una curva proyectiva integral (y, por lo tanto, completa). Al normalizar (o eliminar las singularidades) de la curva proyectiva, se obtiene una completación suave de X. Sus puntos corresponden a las valuaciones discretas del cuerpo de funciones que son triviales en el cuerpo base.

Por construcción, la completación suave es una curva proyectiva que contiene la curva dada como un subconjunto abierto denso en todas partes, y los nuevos puntos añadidos son suaves. Dicha completación (proyectiva) siempre existe y es única.

Si el cuerpo base no es perfecto, no siempre existe una completación suave de una curva afín suave. Sin embargo, el proceso anterior siempre produce una completación regular si partimos de una curva afín regular (las variedades suaves son regulares, y lo contrario es cierto sobre cuerpos perfectos). Una completación regular es única y, según el criterio valuativo de propiedad , cualquier morfismo de la curva afín a una variedad algebraica completa se extiende de forma única a la completación regular.

Si X es una variedad algebraica separada , un teorema de Nagata ^{[ 2 ]} afirma que X puede incrustarse como un subconjunto abierto de una variedad algebraica completa. Si además X es lisa y el cuerpo base tiene característica 0, entonces, según el teorema de Hironaka, X puede incluso incrustarse como un subconjunto abierto de una variedad algebraica lisa completa, con frontera un divisor de cruce normal. Si X es cuasiproyectiva, la completación lisa puede elegirse como proyectiva.

Sin embargo, a diferencia del caso unidimensional, la finalización suave no es única ni canónica.

• Curva hiperelíptica
• Superficie de Bolza

• Griffiths, Phillip A. (1972). "Teoría de funciones de orden finito en variedades algebraicas. I(A)". Journal of Differential Geometry . 6 (3): 285– 306. MR 0325999 . Zbl 0269.14003 .  
• Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  52. Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 0387902449.(véase el capítulo 4).