Superficie de Bolza

En matemáticas , la superficie de Bolza , o alternativamente, curva algebraica compleja de Bolza (introducida por Oskar Bolza ( 1887 ) ), es una superficie de Riemann compacta de género ${\displaystyle 2}$con el orden más alto posible del grupo de automorfismos conformes en este género, a saber:${\displaystyle GL_{2}(3)}$de orden 48 (el grupo lineal general de${\displaystyle 2\times 2}$matrices sobre el campo finito${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$). Su grupo de automorfismos completo (incluidas las reflexiones) es un producto semidirecto${\displaystyle GL_{2}(3)\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$del orden 96. ( GAP identifica estos dos grupos como SmallGroup(48,29) y SmallGroup(96,193).) Se puede obtener un modelo afín para la superficie de Bolza como el lugar geométrico de la ecuación

${\displaystyle y^{2}=x^{5}-x}$

en${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$La superficie de Bolza es la completación suave de esta curva afín. La curva de Bolza también surge como una doble cubierta ramificada de la esfera de Riemann con puntos de ramificación en los seis vértices de un octaedro regular inscrito en la esfera. Esto se puede ver en la ecuación anterior, porque el lado derecho se vuelve cero o infinito en los seis puntos.${\displaystyle x=0,1,i,-1,-i,\infty }$.

La superficie de Bolza ha atraído la atención de los físicos, ya que proporciona un modelo relativamente simple para el caos cuántico ; en este contexto, se la suele denominar modelo de Hadamard-Gutzwiller . ^{[ 1 ]} La teoría espectral del operador de Laplace-Beltrami que actúa sobre funciones en la superficie de Bolza es de interés tanto para matemáticos como para físicos, ya que se conjetura que la superficie maximiza el primer autovalor positivo del laplaciano entre todas las superficies de Riemann compactas y cerradas de género${\displaystyle 2}$con curvatura negativa constante . Los autovectores del operador de Laplace-Beltrami son análogos cuánticos de las órbitas periódicas, y como análogo clásico de esta conjetura, se sabe que de todo género${\displaystyle 2}$En las superficies hiperbólicas, la superficie de Bolza maximiza la longitud de la geodésica cerrada más corta, o sístole ( Schmutz 1993 ) .

La superficie de Bolza es conformemente equivalente a una${\displaystyle (2,3,8)}$superficie triangular – véase triángulo de Schwarz . Más específicamente, el grupo fuchsiano que define la superficie de Bolza es un subgrupo del grupo generado por reflexiones en los lados de un triángulo hiperbólico con ángulos${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{3}},{\tfrac {\pi }{8}}}$. El grupo de isometrías que preservan la orientación es un subgrupo del subgrupo de índice -dos del grupo de reflexiones, que consiste en productos de un número par de reflexiones, que tiene una presentación abstracta en términos de generadores.${\displaystyle s_{2},s_{3},s_{8}}$y relaciones${\displaystyle s_{2}{}^{2}=s_{3}{}^{3}=s_{8}{}^{8}=1}$así como${\displaystyle s_{2}s_{3}=s_{8}}$El grupo fuchsiano${\displaystyle \Gamma }$La superficie de Bolza que define también es un subgrupo del grupo triangular (3,3,4) , que es un subgrupo de índice 2 en el${\displaystyle (2,3,8)}$grupo triangular. El${\displaystyle (2,3,8)}$El grupo no tiene una realización como orden-${\displaystyle 2}$cociente del grupo de norma-${\displaystyle 1}$elementos de un álgebra de cuaterniones, pero el${\displaystyle (3,3,4)}$El grupo lo hace.

Bajo la acción de${\displaystyle \Gamma }$En el disco de Poincaré , el dominio fundamental de la superficie de Bolza es un octágono regular con ángulos${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$y esquinas en

${\displaystyle p_{k}=2^{-1/4}e^{i\left({\tfrac {\pi }{8}}+{\tfrac {k\pi }{4}}\right)},}$

dónde${\displaystyle k=0,\ldots ,7}$Los lados opuestos del octágono se identifican bajo la acción del grupo fuchsiano. Sus generadores son las matrices

${\displaystyle g_{k}={\begin{pmatrix}1+{\sqrt {2}}&(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{\tfrac {ik\pi }{4}}\\(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{-{\tfrac {ik\pi }{4}}}&1+{\sqrt {2}}\end{pmatrix}},}$

dónde${\displaystyle \alpha ={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}$y${\displaystyle k=0,\ldots ,3}$, junto con sus inversos. Los generadores satisfacen la relación

${\displaystyle g_{0}g_{1}^{-1}g_{2}g_{3}^{-1}g_{0}^{-1}g_{1}g_{2}^{-1}g_{3}=1.}$

Estos generadores están conectados al espectro de longitudes , que es el conjunto de todas las longitudes posibles de bucles geodésicos. La longitud más corta de este tipo se llama sístole de la superficie. La sístole de la superficie de Bolza es

${\displaystyle \ell _{1}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (1+{\sqrt {2}})\approx 3.05714.}$

El${\displaystyle n^{\text{o}}}$elemento${\displaystyle \ell _{n}}$del espectro de longitud para la superficie de Bolza viene dado por

${\displaystyle \ell _{n}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (m+n{\sqrt {2}}),}$

dónde${\displaystyle n}$recorre los enteros positivos (pero omitiendo 4, 24, 48, 72, 140 y varios valores superiores) ( Aurich, Bogomolny y Steiner 1991 ) y donde${\displaystyle m}$es el único entero impar que minimiza

${\displaystyle \vert m-n{\sqrt {2}}\vert .}$

Es posible obtener una forma cerrada equivalente de la sístole directamente del grupo de triángulos. Existen fórmulas para calcular explícitamente las longitudes de los lados de un triángulo (2,3,8). La sístole es igual a cuatro veces la longitud del lado de longitud media en un triángulo (2,3,8), es decir,

${\displaystyle \ell _{1}=4\operatorname {\rm {arcosh}} \left({\tfrac {\csc \left({\tfrac {\pi }{8}}\right)}{2}}\right)\approx 3.05714.}$

Las longitudes geodésicas${\displaystyle \ell _{n}}$También aparecen en las coordenadas de Fenchel-Nielsen de la superficie. Un conjunto de coordenadas de Fenchel-Nielsen para una superficie de género 2 consta de tres pares, cada par es una longitud y una torsión. Quizás el conjunto de coordenadas más simple para la superficie de Bolza sea${\displaystyle (\ell _{2},{\tfrac {1}{2}};\;\ell _{1},0;\;\ell _{1},0)}$, dónde${\displaystyle \ell _{2}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (3+2{\sqrt {2}})\approx 4.8969}$.

También existe un conjunto de coordenadas "simétricas".${\displaystyle (\ell _{1},t;\;\ell _{1},t;\;\ell _{1},t)}$donde las tres longitudes son la sístole${\displaystyle \ell _{1}}$y los tres giros están dados por ^{[ 2 ]}

${\displaystyle t={\frac {\operatorname {\rm {arcosh}} \left({\sqrt {{\tfrac {2}{7}}(3+{\sqrt {2}})}}\right)}{\operatorname {\rm {arcosh}} (1+{\sqrt {2}})}}\approx 0.321281.}$

La simetría de la superficie de Bolza se puede comprender en términos de su teselación mediante 16 triángulos hiperbólicos equiláteros, 8 por vértice. Centrándonos en un triángulo en particular entre los 16, llamémoslo T, cualquier simetría de la superficie de Bolza debe llevar a T a uno de los 16 triángulos (posiblemente a sí mismo). Llamemos a este triángulo T'. El triángulo T puede transformarse en T' de exactamente 6 maneras que preservan la distancia, una por cada permutación de sus vértices. Esto demuestra que hay 6 × 16 = 96 simetrías en total.

Una elección común de dominio fundamental para la superficie de Bolza es un octágono regular en el disco de Poincaré; las cuatro acciones simétricas que generan el grupo de simetría (completo) son:

• R – rotación de orden 8 alrededor del centro del octágono;
• S – reflexión en la recta real;
• T – reflexión en el lado de uno de los 16 triángulos (4,4,4) que teselan el octágono;
• U – rotación de orden 3 alrededor del centro de un triángulo (4,4,4).

Estas se muestran mediante las líneas en negrita en la figura adjunta. Satisfacen el siguiente conjunto de relaciones:

${\displaystyle \langle R,\,S,\,T,\,U\mid R^{8}=S^{2}=T^{2}=U^{3}=RSRS=STST=RURU=SUSU=R^{7}USTU=R^{4}UR^{4}U^{2}=e\rangle ,}$

dónde${\displaystyle e}$es la acción trivial (identidad). Las primeras nueve de esas relaciones toman el octágono mostrado hacia sí mismo, pero la última lo lleva a un octágono vecino que comparte una arista. Se puede usar este conjunto de relaciones en GAP para recuperar información sobre la teoría de representación del grupo (que GAP identifica como SmallGroup(96,193)). En particular, hay cuatro representaciones irreducibles unidimensionales, dos bidimensionales, cuatro tridimensionales y tres tetradimensionales, y

${\displaystyle 4(1^{2})+2(2^{2})+4(3^{2})+3(4^{2})=96}$

Como era de esperar.

Otra presentación del grupo de simetría completo comienza con el grupo triangular.${\displaystyle \Delta (2,3,8)}$Si denotamos con s , l y h el cambio de sentido del cateto menor, el cateto mayor o la hipotenusa del triángulo, el grupo de simetría completo es

${\displaystyle \langle s,l,h\mid s^{2}=l^{2}=h^{2}=(sl)^{2}=(sh)^{3}=(lh)^{8}=(sh(lh)^{3})^{2}=e\rangle ,}$

donde esa última relación, la que no se cumple en el grupo triangular completo, se desplaza a lo largo de una geodésica cuya longitud es la sístole.${\displaystyle \ell _{1}}$.

Aquí, la teoría espectral se refiere al espectro del laplaciano,${\displaystyle \Delta }$El primer espacio propio (es decir, el espacio propio correspondiente al primer autovalor positivo) de la superficie de Bolza es tridimensional, y el segundo, tetradimensional ( Cook 2018 ) , ( Jenni 1981 ) . Se cree que investigar las perturbaciones de las líneas nodales de las funciones en el primer espacio propio en el espacio de Teichmüller dará como resultado la conjetura planteada en la introducción. Esta conjetura se basa en extensos cálculos numéricos de los autovalores de la superficie y otras superficies de género 2. En particular, el espectro de la superficie de Bolza se conoce con una precisión muy alta ( Strohmaier y Uski 2013 ) . La siguiente tabla muestra los primeros diez autovalores positivos de la superficie de Bolza.

El determinante espectral y la energía de Casimir${\displaystyle \zeta (-1/2)}$de la superficie de Bolza son

${\displaystyle \det {}_{\zeta }(\Delta )\approx 4.72273280444557}$

y

${\displaystyle \zeta _{\Delta }(-1/2)\approx -0.65000636917383}$

respectivamente, donde se cree que todos los decimales son correctos. Se conjetura que el determinante espectral se maximiza en género 2 para la superficie de Bolza.

La variedad jacobiana de la curva de Bolza es el producto de dos copias de la curva elíptica.${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]}$. ^{[ 3 ]}

El álgebra de cuaterniones que describe el${\displaystyle (3,3,4)}$El grupo triangular puede tomarse como el álgebra sobre${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$generado como un álgebra asociativa por generadores i,j y relaciones

${\displaystyle i^{2}=-3,\;j^{2}={\sqrt {2}},\;ij=-ji,}$

con una elección apropiada del orden . ^{[ 4 ]}

• Curva hiperelíptica
• cuártico de Klein
• Trae la curva
• Superficie de Macbeath
• Primer trillizo de Hurwitz

• Bolza, Oskar (1887), "Sobre los sexticos binarios con transformaciones lineales en sí mismos", American Journal of Mathematics , 10 (1): 47–70 , doi : 10.2307/2369402 , JSTOR 2369402 
• Katz, M.; Sabourau, S. (2006). "Una desigualdad sistólica óptima para métricas CAT(0) en género dos". Pacific J. Math. 227 (1): 95– 107. arXiv : math.DG/0501017 . doi : 10.2140/pjm.2006.227.95 . S2CID 16510851 . 
• Schmutz, P. (1993). "Superficies de Riemann con geodésica más corta de longitud máxima". GAFA . 3 (6): 564– 631. doi : 10.1007/BF01896258 . S2CID 120508826 . 
• Aurich, R.; Bogomolny, EB; Steiner, F. (1991). "Órbitas periódicas en el octágono hiperbólico regular" . Physica D: Nonlinear Phenomena . 48 (1): 91– 101. Bibcode : 1991PhyD...48...91A . doi : 10.1016/0167-2789(91)90053-C .
• Cook, J. (2018). Propiedades de los autovalores en superficies de Riemann con grandes grupos de simetría (tesis doctoral, inédita). Universidad de Loughborough.
• Jenni, F. (1981). Über das Spektrum des Laplace-Operators auf einer Schar kompakter Riemannscher Flächen (tesis doctoral). Universidad de Basilea. OCLC 45934169 . 
• Strohmaier, A.; Uski, V. (2013). "Un algoritmo para el cálculo de autovalores, funciones zeta espectrales y determinantes zeta en superficies hiperbólicas". Communications in Mathematical Physics . 317 (3): 827– 869. arXiv : 1110.2150 . Bibcode : 2013CMaPh.317..827S . doi : 10.1007/s00220-012-1557-1 . S2CID 14305255 . 
• Maclachlan, C.; Reid, A. (2003). La aritmética de las 3-variedades hiperbólicas . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  219. Nueva York: Springer. ISBN 0-387-98386-4.