Apunta al infinito

En geometría , un punto en el infinito o punto ideal es un punto límite idealizado en el "extremo" de cada línea.

En el caso de un plano afín (incluido el plano euclidiano ), existe un punto ideal para cada haz de líneas paralelas del plano. La unión de estos puntos produce un plano proyectivo , en el que no se puede distinguir ningún punto si "olvidamos" qué puntos se añadieron. Esto se cumple para una geometría sobre cualquier cuerpo y, más generalmente, sobre cualquier anillo de división . ^{[ 1 ]}

En el caso real, un punto en el infinito completa una línea formando una curva topológicamente cerrada. En dimensiones superiores, todos los puntos en el infinito forman un subespacio proyectivo de una dimensión menos que la del espacio proyectivo completo al que pertenecen. Un punto en el infinito también puede añadirse a la recta compleja (que puede considerarse como el plano complejo), convirtiéndola así en una superficie cerrada conocida como recta proyectiva compleja, C P ¹ , también llamada esfera de Riemann (cuando se asignan números complejos a cada punto).

En el caso de un espacio hiperbólico , cada línea tiene dos puntos ideales distintos . Aquí, el conjunto de puntos ideales toma la forma de una cuádrica .

En un espacio afín o euclidiano de dimensión superior, los puntos en el infinito son aquellos que se añaden al espacio para obtener la completitud proyectiva . El conjunto de puntos en el infinito se denomina, según la dimensión del espacio, recta en el infinito , plano en el infinito o hiperplano en el infinito ; en todos los casos, un espacio proyectivo de una dimensión menos. ^{[ 2 ]}

Así como un espacio proyectivo sobre un cuerpo es una variedad algebraica lisa , lo mismo ocurre con el conjunto de puntos en el infinito. De manera similar, si el cuerpo base es el cuerpo real o el cuerpo complejo, el conjunto de puntos en el infinito es una variedad .

En geometría hiperbólica , los puntos en el infinito se denominan típicamente puntos ideales . ^{[ 4 ]} A diferencia de las geometrías euclidiana y elíptica , cada línea tiene dos puntos en el infinito: dada una línea l y un punto P que no está en l , las paralelas límite derecha e izquierda convergen asintóticamente a diferentes puntos en el infinito.

Todos los puntos en el infinito juntos forman el absoluto de Cayley o límite de un plano hiperbólico .

En un plano proyectivo surge una simetría de puntos y líneas: así como un par de puntos determinan una línea, un par de líneas determinan un punto. La existencia de líneas paralelas lleva a establecer un punto en el infinito que representa la intersección de estas paralelas. Esta simetría axiomática surgió del estudio de la perspectiva gráfica , donde una proyección paralela aparece como una proyección central cuyo centro C es un punto en el infinito, o punto figurativo . ^{[ 5 ]} La simetría axiomática de puntos y líneas se denomina dualidad .

Si bien un punto en el infinito se considera igual que cualquier otro punto de un rango proyectivo , en la representación de puntos con coordenadas proyectivas se observa una distinción: los puntos finitos se representan con un 1 en la coordenada final, mientras que un punto en el infinito tiene un 0 en esa misma coordenada. Para representar puntos en el infinito se requiere una coordenada adicional a la necesaria para el espacio de puntos finitos.

Esta construcción puede generalizarse a espacios topológicos . Pueden existir diferentes compactificaciones para un espacio dado, pero cualquier espacio topológico admite una extensión de Alexandroff , también llamada compactificación de un punto cuando el espacio original no es compacto . La recta proyectiva (sobre un cuerpo arbitrario) es la extensión de Alexandroff del cuerpo correspondiente. Así, el círculo es la compactificación de un punto de la recta real , y la esfera es la compactificación de un punto del plano. Los espacios proyectivos P ⁿ para n  >  1 no son compactificaciones de un punto de los espacios afines correspondientes por la razón mencionada anteriormente en la sección  Geometría afín , y las completaciones de espacios hiperbólicos con puntos ideales tampoco son compactificaciones de un punto.

• División por cero
• Esfera en el infinito
• Punto medio §  Generalizaciones
• Asíntota §  Curvas algebraicas