Complejo perfecto

En álgebra , un complejo perfecto de módulos sobre un anillo conmutativo A es un objeto en la categoría derivada de A- módulos que es cuasi-isomorfo a un complejo acotado de A- módulos proyectivos finitos . Un módulo perfecto es un módulo que es perfecto cuando se considera como un complejo concentrado en grado cero. Por ejemplo, si A es noetheriano , un módulo sobre A es perfecto si y solo si es finitamente generado y de dimensión proyectiva finita .

Los complejos perfectos son precisamente los objetos compactos en la categoría derivada no acotada.${\displaystyle D(A)}$de A -módulos. ^{[ 1 ]} También son precisamente los objetos dualizables en esta categoría. ^{[ 2 ]}

Un objeto compacto en la ∞-categoría de espectros de módulos (digamos derecha) sobre un espectro de anillo se denomina a menudo perfecto; ^{[ 3 ]} véase también espectro de módulo .

Cuando la estructura del haz${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$no es coherente , trabajar con haces coherentes tiene sus inconvenientes (es decir, el núcleo de una presentación finita puede no ser coherente). Debido a esto, SGA 6 Expo I introduce la noción de haz pseudocoherente .

Por definición, dado un espacio anillado${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$, un${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-un módulo se denomina pseudocoherente si para cada entero${\displaystyle n\geq 0}$, localmente, hay una presentación libre de tipo finito de longitud n ; es decir,

${\displaystyle L_{n}\to L_{n-1}\to \cdots \to L_{0}\to F\to 0}$.

Un complejo F de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos se denomina pseudocoherente si, para cada entero n , existe localmente un cuasi-isomorfismo.${\displaystyle L\to F}$donde L tiene grado acotado superiormente y consta de módulos libres finitos en grado${\displaystyle \geq n}$. Si el complejo consta únicamente del término de grado cero, entonces es pseudocoherente si y solo si lo es como módulo.

En términos generales, un complejo pseudocoherente puede considerarse como un límite de los complejos perfectos.

• Teorema de Hilbert-Burch
• Complejo elíptico (noción relacionada; se analiza en SGA 6 Exposé II, Apéndice II).

• Ben-Zvi, David; Francis, John; Nadler, David (2010), "Transformadas integrales y centros de Drinfeld en geometría algebraica derivada", Journal of the American Mathematical Society , 23 (4): 909–966 , arXiv : 0805.0157 , doi : 10.1090/S0894-0347-10-00669-7 , MR 2669705 , S2CID 2202294  

• Berthelot, Pierre ; Alejandro Grothendieck ; Luc Illusie , eds. (1971). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des junctions et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Apuntes de clases de matemáticas 225 ) . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol.  225. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . xii+700. doi : 10.1007/BFb0066283 . ISBN 978-3-540-05647-8MR 0354655 .​ 
• Kerz, Moritz; Strunk, Florian; Tamme, Georg (2018). "Teoría K algebraica y descenso para explosiones". Inventiones Mathematicae . 211 (2): 523– 577. arXiv : 1611.08466 . Bibcode : 2018InMat.211..523K . doi : 10.1007/s00222-017-0752-2 .
• Lurie, Jacob (2014). "Teoría K algebraica y topología de variedades (Matemáticas 281), Lección 19: Teoría K de espectros de anillos" (PDF) .

• "Identidades determinantes para complejos perfectos" . MathOverflow .
• "Una definición alternativa de complejo pseudocoherente" . MathOverflow .
• "15.74 Complejos perfectos" . El proyecto Stacks .
• "Módulo perfecto" . ncatlab.org .