Objeto compacto (matemáticas)

En matemáticas, los objetos compactos , también llamados objetos finitamente presentados u objetos de presentación finita , son objetos de una categoría que satisfacen una determinada condición de finitud. La terminología se inspira en (y generaliza a partir de) el concepto de compacidad en topología .

Un objeto X en una categoría C que admite todos los colímites filtrados (también conocidos como límites directos ) se llama compacto si el functor

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(X,\cdot ):C\to \mathrm {Sets} ,Y\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$

conmuta con colímites filtrados, es decir, si el mapa natural

${\displaystyle \operatorname {colim} \operatorname {Hom} _{C}(X,Y_{i})\to \operatorname {Hom} _{C}(X,\operatorname {colim} _{i}Y_{i})}$

es una biyección para cualquier sistema filtrado de objetos${\displaystyle Y_{i}}$en C . ^{[ 1 ]} Dado que los elementos en el colímite filtrado de la izquierda están representados por mapas${\displaystyle X\to Y_{i}}$, para algún i , la sobreyectividad del mapa anterior equivale a exigir que un mapa${\displaystyle X\to \operatorname {colim} _{i}Y_{i}}$factores sobre algunos${\displaystyle Y_{i}}$.

La terminología se basa en un ejemplo de topología mencionado más adelante. Varios autores también emplean una terminología más relacionada con las categorías algebraicas: Adámek y Rosický (1994) utilizan el término objeto finitamente presentado en lugar de objeto compacto. Kashiwara y Schapira (2006) los denominan objetos de presentación finita .

The compact objects in the category of sets are precisely the finite sets.

For a ring R, the compact objects in the category of R-modules are precisely the finitely presentedR-modules. In particular, if R is a field, then compact objects are finite-dimensional vector spaces.

Similar results hold for any category of algebraic structures given by operations on a set obeying equational laws. Such categories, called varieties, can be studied systematically using Lawvere theories. For any Lawvere theory T, there is a category Mod(T) of models of T, and the compact objects in Mod(T) are precisely the finitely presented models. For example: suppose T is the theory of groups. Then Mod(T) is the category of groups, and the compact objects in Mod(T) are the finitely presented groups.

The compact objects in the derived category${\displaystyle D(R-{\text{Mod}})}$ of R-modules are precisely the perfect complexes.

Compact topological spaces are not the compact objects in the category of topological spaces. Instead these are precisely the finite sets endowed with the discrete topology.^[2] The link between compactness in topology and the above categorical notion of compactness is as follows: for a fixed topological space ${\displaystyle X}$, there is the category ${\displaystyle {\text{Abrir}}(X)}$ whose objects are the open subsets of ${\displaystyle X}$ (and inclusions as morphisms). Then, ${\displaystyle X}$ is a compact topological space if and only if ${\displaystyle X}$ is compact as an object in ${\displaystyle {\text{Abrir}}(X)}$.

If ${\displaystyle C}$ is any category, the category of presheaves${\displaystyle {\text{PreShv}}(C)}$ (i.e., the category of functors from ${\displaystyle C^{op}}$ to sets) has all colimits. The original category ${\displaystyle C}$ is connected to ${\displaystyle {\text{PreShv}}(C)}$ by the Yoneda embedding${\displaystyle h_{(-)}:C\to {\text{PreShv}}(C),X\mapsto h_{X}:=\operatorname {Hom} (-,X)}$. For any object ${\displaystyle X}$ of ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle h_{X}}$ is a compact object (of ${\displaystyle {\text{PreShv}}(C)}$).

In a similar vein, any category ${\displaystyle C}$ can be regarded as a full subcategory of the category ${\displaystyle {\text{Ind}}(C)}$ of ind-objects in ${\displaystyle C}$. Regarded as an object of this larger category, any object of ${\displaystyle C}$ is compact. In fact, the compact objects of ${\displaystyle {\text{Ind}}(C)}$ are precisely the objects of ${\displaystyle C}$ (or, more precisely, their images in ${\displaystyle {\text{Ind}}(C)}$).

En la mayoría de las categorías, la condición de ser compacto es bastante fuerte, por lo que la mayoría de los objetos no son compactos. Una categoría${\displaystyle C}$se genera de forma compacta si cualquier objeto puede expresarse como un colímite filtrado de objetos compactos en${\displaystyle C}$Por ejemplo, cualquier espacio vectorial V es el colímite filtrado de sus subespacios de dimensión finita (es decir, compactos). Por lo tanto, la categoría de espacios vectoriales (sobre un cuerpo fijo) es generada de forma compacta.

Las categorías que se generan de forma compacta y que además admiten todos los colímites se denominan categorías accesibles .

Para categorías C con un producto tensorial bien comportado (más formalmente, se requiere que C sea una categoría monoidal ), existe otra condición que impone algún tipo de finitud, a saber, la condición de que un objeto sea dualizable . Si la unidad monoidal en C es compacta, entonces cualquier objeto dualizable también lo es. Por ejemplo, R es compacto como R -módulo, por lo que esta observación puede aplicarse. De hecho, en la categoría de R -módulos, los objetos dualizables son los módulos proyectivos finitamente presentados , que son particularmente compactos. En el contexto de las ∞-categorías, los objetos dualizables y compactos tienden a estar más estrechamente vinculados; por ejemplo, en la ∞-categoría de complejos de R- módulos, los objetos compactos y dualizables coinciden. Este y otros ejemplos más generales donde los objetos dualizables y compactos coinciden se discuten en Ben-Zvi, Francis y Nadler (2010) .