Categoría filtrada

En la teoría de categorías , las categorías filtradas generalizan la noción de conjunto dirigido entendido como una categoría (de ahí que se denomine categoría dirigida; si bien algunos utilizan categoría dirigida como sinónimo de categoría filtrada). Existe una noción dual de categoría cofiltrada , que se retomará más adelante.

Una categoría${\displaystyle J}$se filtra cuando

• no está vacío,
• por cada dos objetos${\displaystyle j}$y${\displaystyle j'}$en${\displaystyle J}$existe un objeto${\displaystyle k}$y dos flechas${\displaystyle f:j\to k}$y${\displaystyle f':j'\to k}$en${\displaystyle J}$,
• por cada dos flechas paralelas${\displaystyle u,v:i\to j}$en${\displaystyle J}$, existe un objeto${\displaystyle k}$y una flecha${\displaystyle w:j\to k}$de tal manera que${\displaystyle wu=wv}$.

Un colímite filtrado es un colímite de un functor.${\displaystyle F:J\to C}$dónde${\displaystyle J}$es una categoría filtrada.

Una categoría${\displaystyle J}$se cofiltra si la categoría opuesta${\displaystyle J^{\mathrm {op} }}$se filtra. En detalle, una categoría se cofiltra cuando

• no está vacío,
• por cada dos objetos${\displaystyle j}$y${\displaystyle j'}$en${\displaystyle J}$existe un objeto${\displaystyle k}$y dos flechas${\displaystyle f:k\to j}$y${\displaystyle f':k\to j'}$en${\displaystyle J}$,
• por cada dos flechas paralelas${\displaystyle u,v:j\to i}$en${\displaystyle J}$, existe un objeto${\displaystyle k}$y una flecha${\displaystyle w:k\to j}$de tal manera que${\displaystyle uw=vw}$.

Un límite cofiltrado es un límite de un functor.${\displaystyle F:J\to C}$dónde${\displaystyle J}$es una categoría cofiltrada.

Dada una pequeña categoría${\displaystyle C}$, un haz previo de conjuntos${\displaystyle C^{op}\to Set}$que es un pequeño colímite filtrado de prehaces representables, se llama objeto ind de la categoría${\displaystyle C}$. Objetos Ind de una categoría${\displaystyle C}$formar una subcategoría completa${\displaystyle Ind(C)}$en la categoría de functores (prehaces)${\displaystyle C^{op}\to Set}$. La categoría${\displaystyle Pro(C)=Ind(C^{op})^{op}}$de pro-objetos en${\displaystyle C}$es lo opuesto a la categoría de ind-objetos en la categoría opuesta${\displaystyle C^{op}}$.

Existe una variante de "categoría filtrada" conocida como "categoría κ-filtrada", definida de la siguiente manera. Esto comienza con la siguiente observación: las tres condiciones en la definición de categoría filtrada anterior dicen respectivamente que existe un coco sobre cualquier diagrama en${\displaystyle J}$de la forma${\displaystyle \{\ \ \}\rightarrow J}$,${\displaystyle \{j\ \ \ j'\}\rightarrow J}$, o${\displaystyle \{i\rightrightarrows j\}\rightarrow J}$. La existencia de cocones para estas tres formas de diagramas implica que existen cocones para cualquier diagrama finito; en otras palabras, una categoría${\displaystyle J}$se filtra (según la definición anterior) si y solo si hay un coco sobre cualquier diagrama finito${\displaystyle d:D\to J}$.

Extendiendo esto, dado un cardinal regular κ, una categoría${\displaystyle J}$Se define como κ-filtrado si hay un cocone sobre cada diagrama.${\displaystyle d}$en${\displaystyle J}$de cardinalidad menor que κ. (Un diagrama pequeño tiene cardinalidad κ si el conjunto de morfismos de su dominio tiene cardinalidad κ).

Un colímite κ-filtrado es un colímite de un functor.${\displaystyle F:J\to C}$dónde${\displaystyle J}$es una categoría filtrada por κ.