Categoría derivada

En matemáticas , la categoría derivada D ( A ) de una categoría abeliana A es una construcción de álgebra homológica introducida para refinar y, en cierto sentido, simplificar la teoría de los functores derivados definidos en A. La construcción procede bajo el supuesto de que los objetos de D ( A ) deben ser complejos de cadena en A , considerándose dos de estos complejos isomorfos cuando existe una aplicación de cadena que induce un isomorfismo a nivel de homología entre los complejos de cadena. De este modo, se pueden definir functores derivados para los complejos de cadena, refinando el concepto de hipercohomología . Estas definiciones conducen a una simplificación significativa de fórmulas que, de otro modo, se describirían (de forma no del todo fiel) mediante secuencias espectrales complejas .

El desarrollo de la categoría derivada, por Alexander Grothendieck y su alumno Jean-Louis Verdier poco después de 1960, aparece ahora como un punto culminante en el desarrollo explosivo del álgebra homológica en la década de 1950, una década en la que había logrado avances notables. La teoría básica de Verdier fue plasmada en su tesis doctoral, publicada finalmente en 1996 en Astérisque (un resumen había aparecido previamente en SGA 4½ ). La axiomática requería una innovación, el concepto de categoría triangulada , y la construcción se basa en la localización de una categoría , una generalización de la localización de un anillo . El impulso original para desarrollar el formalismo "derivado" surgió de la necesidad de encontrar una formulación adecuada de la teoría de la dualidad coherente de Grothendieck . Desde entonces, las categorías derivadas se han vuelto indispensables también fuera de la geometría algebraica , por ejemplo, en la formulación de la teoría de los D-módulos y el análisis microlocal . Las categorías derivadas recientemente también han cobrado importancia en áreas más cercanas a la física, como las D-branas y la simetría especular .

Spaltenstein introdujo las categorías derivadas no acotadas en 1988.

En la teoría de haces coherentes , al llevar al límite lo que se podía hacer con la dualidad de Serre sin asumir un esquema no singular , se hizo evidente la necesidad de considerar un complejo completo de haces en lugar de un único haz dualizante . De hecho, la condición del anillo de Cohen-Macaulay , un debilitamiento de la no singularidad, corresponde a la existencia de un único haz dualizante; y esto dista mucho del caso general. Desde la perspectiva intelectual descendente, siempre asumida por Grothendieck, esto significó la necesidad de reformular. Con ello surgió la idea de que el producto tensorial y los functores Hom «reales» serían aquellos que existen en el nivel derivado; con respecto a estos, Tor y Ext se asemejan más a herramientas computacionales.

A pesar del nivel de abstracción, las categorías derivadas fueron aceptadas en las décadas siguientes, especialmente como un marco conveniente para la cohomología de haces . Quizás el mayor avance fue la formulación de la correspondencia de Riemann-Hilbert en dimensiones mayores que 1 en términos derivados, alrededor de 1980. La escuela de Sato adoptó el lenguaje de las categorías derivadas, y la historia posterior de los D-módulos se desarrolló como una teoría expresada en esos términos.

Un desarrollo paralelo fue la categoría de espectros en la teoría de la homotopía . La categoría de homotopía de espectros y la categoría derivada de un anillo son ejemplos de categorías trianguladas .

Dejar${\displaystyle {\mathcal {A}}}$sea ​​una categoría abeliana . (Ejemplos incluyen la categoría de módulos sobre un anillo y la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico). La categoría derivada${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$se define por una propiedad universal con respecto a la categoría${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$de complejos de cocadenas con términos en${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Los objetos de${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$son de la forma

${\displaystyle \cdots \to X^{-1}\xrightarrow {d^{-1}} X^{0}\xrightarrow {d^{0}} X^{1}\xrightarrow {d^{1}} X^{2}\to \cdots ,}$

donde cada X ⁱ es un objeto de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$y cada uno de los compuestos${\displaystyle d^{i+1}\circ d^{i}}$es cero. El i -ésimo grupo de cohomología del complejo es${\displaystyle H^{i}(X^{\bullet })=\operatorname {ker} d^{i}/\operatorname {im} d^{i-1}}$. Si${\displaystyle (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })}$y${\displaystyle (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })}$Si hay dos objetos en esta categoría, entonces se produce un morfismo.${\displaystyle f^{\bullet }\colon (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })\to (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })}$se define como una familia de morfismos${\displaystyle f_{i}\colon X^{i}\to Y^{i}}$de tal manera que${\displaystyle f_{i+1}\circ d_{X}^{i}=d_{Y}^{i}\circ f_{i}}$Dicho morfismo induce morfismos en grupos de cohomología.${\displaystyle H^{i}(f^{\bullet })\colon H^{i}(X^{\bullet })\to H^{i}(Y^{\bullet })}$, y${\displaystyle f^{\bullet }}$Se denomina cuasi-isomorfismo si cada uno de estos morfismos es un isomorfismo en${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

La propiedad universal de la categoría derivada es que es una localización de la categoría de complejos con respecto a cuasi-isomorfismos. Específicamente, la categoría derivada${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$es una categoría, junto con un functor${\displaystyle Q\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to D({\mathcal {A}})}$, que tiene la siguiente propiedad universal: Supongamos${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es otra categoría (no necesariamente abeliana) y${\displaystyle F\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to {\mathcal {C}}}$es un functor tal que, siempre que${\displaystyle f^{\bullet }}$es un cuasi-isomorfismo en${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$, su imagen${\displaystyle F(f^{\bullet })}$es un isomorfismo en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$; entonces${\displaystyle F}$factores a través de${\displaystyle Q}$Cualquier par de categorías que posean esta propiedad universal son equivalentes.

Como se mencionó anteriormente, en la categoría derivada los conjuntos hom se expresan a través de techos o valles.${\displaystyle X\rightarrow Y'\leftarrow Y}$, dónde${\displaystyle Y\to Y'}$es un cuasi-isomorfismo. Para tener una mejor idea de cómo son los elementos, consideremos una secuencia exacta.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}_{n}{\overset {\phi _{n,n-1}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{n-1}{\overset {\phi _{n-1,n-2}}{\rightarrow }}\cdots {\overset {\phi _{1,0}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{0}\to 0}$

Podemos usar esto para construir un morfismo${\displaystyle \phi$ :{\mathcal {E}}_{0}\to {\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)]} truncando el complejo anterior, desplazándolo y utilizando los morfismos obvios anteriores. En particular, tenemos la imagen

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &0&\to &\cdots &\to &0&\to &0\\\uparrow &&\uparrow &&\uparrow &&\cdots &&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &{\mathcal {E}}_{n-1}&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{1}&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\cdots &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &0&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{0}&\to &0\end{matrix}}}$

donde el complejo inferior tiene${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$concentrado en grado${\displaystyle 0}$, la única flecha ascendente no trivial es el morfismo de igualdad, y la única flecha descendente no trivial es${\displaystyle \phi _{1,0}:{\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}$Este diagrama de complejos define un morfismo.

${\displaystyle \phi \in \mathbf {RHom} ({\mathcal {E}}_{0},{\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)])}$

en la categoría derivada. Una aplicación de esta observación es la construcción de la clase Atiyah. ^{[ 5 ]}

Para ciertos propósitos (ver más abajo) se utiliza bounded-below (${\displaystyle X^{n}=0}$para${\displaystyle n\ll 0}$), limitado superiormente (${\displaystyle X^{n}=0}$para${\displaystyle n\gg 0}$) o limitado (${\displaystyle X^{n}=0}$para${\displaystyle |n|\gg 0}$) complejos en lugar de no acotados. Las categorías derivadas correspondientes se suelen denotar D ⁺ (A) , D ⁻ (A) y D ^b (A) , respectivamente.

Si se adopta el punto de vista clásico sobre las categorías, según el cual existe un conjunto de morfismos de un objeto a otro (no solo una clase ), entonces es necesario dar un argumento adicional para demostrarlo. Si, por ejemplo, la categoría abeliana A es pequeña, es decir, tiene solo un conjunto de objetos, entonces este problema no será difícil. Además, si A es una categoría abeliana de Grothendieck , entonces la categoría derivada D ( A ) es equivalente a una subcategoría completa de la categoría de homotopía K ( A ), y por lo tanto tiene solo un conjunto de morfismos de un objeto a otro. ^{[ 6 ]} Las categorías abelianas de Grothendieck incluyen la categoría de módulos sobre un anillo, la categoría de haces de grupos abelianos sobre un espacio topológico y muchos otros ejemplos.

La composición de morfismos, es decir, de techos, en la categoría derivada se logra encontrando un tercer techo sobre los dos techos que se van a componer. Se puede comprobar que esto es posible y que da como resultado una composición asociativa bien definida.

Dado que K(A) es una categoría triangulada , su localización D(A) también está triangulada. Para un entero n y un complejo X , definimos ^{[ 7 ]} el complejo X [ n ] como X desplazado hacia abajo por n , de modo que

${\displaystyle X[n]^{i}=X^{n+i},}$

con diferencial

${\displaystyle d_{X[n]}=(-1)^{n}d_{X}.}$

Por definición, un triángulo distinguido en D(A) es un triángulo isomorfo en D(A) al triángulo X → Y → Cono( f ) → X [1] para alguna aplicación de complejos f : X → Y . Aquí Cono( f ) denota el cono de aplicación de f . En particular, para una secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$

En A , el triángulo X → Y → Z → X [1] se distingue en D(A) . Verdier explicó que la definición del desplazamiento X [1] se impone al requerir que X [1] sea el cono del morfismo X → 0. ^{[ 8 ]}

Al considerar un objeto de A como un complejo concentrado en grado cero, la categoría derivada D(A) contiene a A como una subcategoría completa . Los morfismos en la categoría derivada incluyen información sobre todos los grupos Ext : para cualquier objeto X e Y en A y cualquier entero j ,

${\displaystyle {\text{Hom}}_{D({\mathcal {A}})}(X,Y[j])={\text{Ext}}_{\mathcal {A}}^{j}(X,Y).}$

Se puede demostrar fácilmente que una equivalencia homotópica es un cuasi-isomorfismo , por lo que se puede omitir el segundo paso de la construcción anterior. La definición se suele dar de esta manera porque revela la existencia de un functor canónico.

${\displaystyle K({\mathcal {A}})\rightarrow D({\mathcal {A}}).}$

En situaciones concretas, resulta muy difícil o imposible manejar directamente los morfismos en la categoría derivada. Por lo tanto, se busca una categoría más manejable que sea equivalente a la categoría derivada. Clásicamente, existen dos enfoques (duales) para esto: resoluciones proyectivas e inyectivas . En ambos casos, la restricción del functor canónico anterior a una subcategoría apropiada constituirá una equivalencia de categorías .

A continuación, describiremos el papel de las resoluciones inyectivas en el contexto de la categoría derivada, que es la base para definir functores derivados derechos , que a su vez tienen aplicaciones importantes en la cohomología de haces en espacios topológicos o teorías de cohomología más avanzadas como la cohomología étale o la cohomología de grupos .

Para aplicar esta técnica, hay que suponer que la categoría abeliana en cuestión tiene suficientes inyectivos , lo que significa que todo objeto X de la categoría admite un monomorfismo a un objeto inyectivo I. (Ni la aplicación ni el objeto inyectivo tienen que estar especificados de forma única). Por ejemplo, toda categoría abeliana de Grothendieck tiene suficientes inyectivos. Al incrustar X en algún objeto inyectivo I₀ , el ^conúcleo de esta aplicación en algún objeto inyectivo I₁ ^, etc., se construye una resolución inyectiva de X , es decir, una secuencia exacta (en general infinita).

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,\,}$

donde los I * son objetos inyectivos. Esta idea se generaliza para dar resoluciones de complejos acotados inferiormente X , es decir, X ⁿ = 0 para n suficientemente pequeño . Como se mencionó anteriormente, las resoluciones inyectivas no están definidas de forma única, pero es un hecho que cualesquiera dos resoluciones son homotópicamente equivalentes entre sí, es decir, isomorfas en la categoría de homotopía. Además, los morfismos de complejos se extienden de forma única a un morfismo de dos resoluciones inyectivas dadas.

Aquí es donde la categoría de homotopía vuelve a entrar en juego: mapear un objeto X de A a (cualquier) resolución inyectiva I * de A se extiende a un functor.

${\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}})\rightarrow K^{+}(\mathrm {Inj} ({\mathcal {A}}))}$

desde la categoría derivada acotada inferiormente hasta la categoría de homotopía acotada inferiormente de complejos cuyos términos son objetos inyectivos en A.

No es difícil ver que este functor es en realidad inverso a la restricción del functor de localización canónico mencionado al principio. En otras palabras, los morfismos Hom( X , Y ) en la categoría derivada se pueden calcular resolviendo tanto X como Y y calculando los morfismos en la categoría de homotopía, lo cual es al menos teóricamente más fácil. De hecho, basta con resolver Y : para cualquier X complejo y cualquier Y complejo acotado por debajo de inyectivos,

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D(A)}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{K(A)}(X,Y).}$

De manera similar, suponiendo que A tiene suficientes objetos proyectivos , es decir, para cada objeto X existe un epimorfismo de un objeto proyectivo P a X , se pueden usar resoluciones proyectivas en lugar de inyectivas.

En 1988, Spaltenstein definió una categoría derivada no acotada ( Spaltenstein (1988) ) que resultó inmediatamente útil en el estudio de espacios singulares; véase, por ejemplo, el libro de Kashiwara y Schapira (Categorías y haces) sobre diversas aplicaciones de la categoría derivada no acotada. Spaltenstein utilizó las denominadas resoluciones K-inyectivas y K-proyectivas .

Keller (1994) y May (2006) describen la categoría derivada de módulos sobre álgebras DG. Keller también ofrece aplicaciones a la dualidad de Koszul , la cohomología de álgebras de Lie y la homología de Hochschild .

De manera más general, adaptando cuidadosamente las definiciones, es posible definir la categoría derivada de una categoría exacta ( Keller 1996 ) .

La categoría derivada es un marco natural para definir y estudiar funtores derivados . A continuación, sea F : A → B un funtor de categorías abelianas. Hay dos conceptos duales:

• Los functores derivados por la derecha provienen de functores exactos por la izquierda y se calculan mediante resoluciones inyectivas.
• Los functores derivados por la izquierda provienen de functores exactos por la derecha y se calculan mediante resoluciones proyectivas.

A continuación, describiremos los functores derivados derechos. Supongamos que F es exacto por la izquierda. Ejemplos típicos son F : A → Ab, dado por X ↦ Hom( X , A ) o X ↦ Hom( A , X ) para algún objeto fijo A , o el functor de secciones globales en haces o el functor de imagen directa . Sus functores derivados derechos son Ext ⁿ ( – , A ) , Ext ⁿ ( A , – ), H ⁿ ( X , F ) o R ⁿ f _∗ ( F ) , respectivamente.

La categoría derivada nos permite encapsular todos los functores derivados R ⁿ F en un único functor, denominado functor derivado total RF : D ⁺ ( A ) → D ⁺ ( B ). Se trata de la siguiente composición: D ⁺ ( A ) ≅ K ⁺ (Inj( A )) → K ⁺ ( B ) → D ⁺ ( B ), donde la primera equivalencia de categorías se describe anteriormente. Los functores derivados clásicos se relacionan con el functor total mediante R ⁿ F ( X ) = H ⁿ ( RF ( X )). Podría decirse que los R ⁿ F ignoran el complejo de cadenas y conservan únicamente las cohomologías, mientras que RF sí mantiene el rastro de los complejos.

Las categorías derivadas son, en cierto sentido, el lugar "correcto" para estudiar estos functores. Por ejemplo, la secuencia espectral de Grothendieck de una composición de dos functores.

${\displaystyle {\mathcal {A}}{\stackrel {F}{\rightarrow }}{\mathcal {B}}{\stackrel {G}{\rightarrow }}{\mathcal {C}},\,}$

tal que F mapea objetos inyectivos en A a G -acíclicos (es decir R ⁱ G ( F ( I ))  =  0 para todo i  >  0 e inyectivo I ), es una expresión de la siguiente identidad de functores derivados totales

${\displaystyle R(G\circ F)\cong RG\circ RF.}$

J.-L. Verdier demostró cómo los functores derivados asociados con una categoría abeliana A pueden verse como extensiones de Kan a lo largo de incrustaciones de A en categorías derivadas adecuadas [Mac Lane].

Puede ocurrir que dos categorías abelianas A y B no sean equivalentes, pero sus categorías derivadas D( A ) y D( B ) sí lo sean. A menudo, esta es una relación interesante entre A y B. Tales equivalencias están relacionadas con la teoría de las t-estructuras en categorías trianguladas . Aquí se presentan algunos ejemplos. ^{[ 9 ]}

• Dejar${\displaystyle \mathrm {Coh} (\mathbb {P} ^{1})}$Sea K ₂ -Rep una categoría abeliana de haces coherentes en la recta proyectiva sobre un cuerpo k . Sea K 2 -Rep una categoría abeliana de representaciones del carcaj de Kronecker con dos vértices. Son categorías abelianas muy diferentes, pero sus categorías derivadas (acotadas) son equivalentes.
• Sea Q un carcaj cualquiera y P un carcaj obtenido a partir de Q invirtiendo algunas flechas. En general, las categorías de representaciones de Q y P son diferentes, pero D ^b ( Q -Rep ) siempre es equivalente a D ^b ( P -Rep ).
• Sea X una variedad abeliana , Y su variedad abeliana dual . Entonces D ^b (Coh( X )) es equivalente a D ^b (Coh( Y )) según la teoría de las transformadas de Fourier-Mukai . Las variedades con categorías derivadas equivalentes de haces coherentes se denominan a veces compañeras de Fourier-Mukai .

• Categoría de homotopía de complejos de cadena
• Geometría algebraica no conmutativa derivada
• Cohomología de haces coherentes
• Dualidad coherente
• Geometría algebraica derivada

• Doorn, MGM van (2001) [1994], "Categoría derivada" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Keller, Bernhard (1996), «Categorías derivadas y sus usos» , en Hazewinkel, M. (ed.), Manual de álgebra , Ámsterdam: North Holland, pp. 671–701 , ISBN  0-444-82212-7, MR 1421815 
• Keller, Bernhard (1994), "Derivación de categorías DG", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 27 (1): 63– 102, doi : 10.24033/asens.1689 , ISSN 0012-9593 , MR 1258406  
• May, JP (2006), Categorías derivadas desde un punto de vista topológico (PDF)ofrece una interpretación de la categoría derivada de módulos sobre álgebras DG.
• Spaltenstein, N. (1988), "Resoluciones de complejos no acotados" , Compositio Mathematica , 65 (2): 121–154 , ISSN 0010-437X , MR 0932640  
• Verdier, Jean-Louis (1996), "Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes", Astérisque (en francés), 239 , París: Société Mathématique de France , ISSN 0303-1179 , MR 1453167  

Cuatro libros de texto que tratan sobre categorías derivadas son:

• Gelfand, Serguéi I.; Manin, Yuri Ivanovich (2003), Métodos de álgebra homológica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9, MR 1950475 
• Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2006), Categorías y gavillas , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-27949-5, MR 2182076 
• Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, MR 1269324 , OCLC 36131259  
• Yekutieli, Amnon (2019). Categorías derivadas . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. Vol.  183. Cambridge University Press. ISBN 978-1108419338.