Categoría Grothendieck

En matemáticas , una categoría de Grothendieck es un tipo específico de categoría abeliana , introducida en el artículo de Alexander Grothendieck publicado en Tôhoku en 1957 ^{[ 1 ]} con el fin de desarrollar de manera unificada el marco del álgebra homológica para módulos y haces . La teoría de estas categorías fue desarrollada posteriormente en la tesis de Pierre Gabriel de 1962 ^{[ 2 ] .}

A cada variedad algebraica $V$ se puede asociar una categoría Grothendieck $\operatorname {Qcoh} (V)$ , que consiste en los haces cuasi-coherentes en $V$ Esta categoría codifica toda la información geométrica relevante sobre $V$ , y $V$ puede recuperarse de $\operatorname {Qcoh} (V)$ (el teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg ). Este ejemplo da lugar a un enfoque de la geometría algebraica no conmutativa : el estudio de las "variedades no conmutativas" no es más que el estudio de (ciertas) categorías de Grothendieck. ^{[ 3 ]}

Definición

Por definición, una categoría de Grothendieck ${\mathcal {A}}$ es una categoría AB5 con un generador . Dicho de otra manera, esto significa que

${\mathcal {A}}$ es una categoría abeliana ;
cada familia (posiblemente infinita) de objetos en ${\mathcal {A}}$ tiene un coproducto (también conocido como suma directa) en ${\mathcal {A}}$ ;
Los límites directos de secuencias exactas cortas son exactos; esto significa que si un sistema directo de secuencias exactas cortas en ${\mathcal {A}}$ Si se da un límite directo, la sucesión inducida de límites directos también es una sucesión exacta corta. (Los límites directos siempre son exactos por la derecha ; lo importante aquí es que también requerimos que sean exactos por la izquierda ).
${\mathcal {A}}$ posee un generador, es decir, hay un objeto $G$ en ${\mathcal {A}}$ de tal manera que $\operatorname {Hom} (G,-)$ es un functor fiel de ${\mathcal {A}}$ a la categoría de conjuntos . (En nuestra situación, esto es equivalente a decir que cada objeto $X$ de ${\mathcal {A}}$ admite un epimorfismo $G^{(I)}\rightarrow X$ , dónde $G^{(I)}$ denota una suma directa de copias de $G$ , uno por cada elemento del conjunto (posiblemente infinito) $I$ .)

El nombre «categoría Grothendieck» no apareció ni en el artículo de Grothendieck sobre Tôhoku ^{[ 1 ]} ni en la tesis de Gabriel ^{[ 2 ]} ; comenzó a utilizarse en la segunda mitad de la década de 1960 en la obra de varios autores, entre ellos Jan-Erik Roos, Bo Stenström, Ulrich Oberst y Bodo Pareigis. (Algunos autores utilizan una definición diferente, que no requiere la existencia de un generador).

Ejemplos

El ejemplo prototípico de una categoría de Grothendieck es la categoría de grupos abelianos ; el grupo abeliano $\mathbb {Z}$ de enteros es un generador.
De manera más general, dado cualquier anillo $R$ (asociativo, con $1$ , pero no necesariamente conmutativo), la categoría $\operatorname {Mod} (R)$ de todos los módulos derechos (o alternativamente: izquierdos) sobre $R$ es una categoría de Grothendieck; $R$ En sí mismo es un generador.
Dado un espacio topológico $X$ , la categoría de todos los haces de grupos abelianos en $X$ es una categoría de Grothendieck. ^{[ 1 ]} (Más generalmente: la categoría de todas las gavillas de derecha $R$ -módulos en $X$ es una categoría Grothendieck para cualquier anillo $R$ .)
Dado un espacio anular $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ , la categoría de haces de módulos O _X es una categoría de Grothendieck. ^{[ 1 ]}
Dada una variedad algebraica (afín o proyectiva) $V$ (o más generalmente: cualquier esquema o pila algebraica ), la categoría $\operatorname {Qcoh} (V)$ de haces cuasi-coherentes en $V$ es una categoría de Grothendieck. ^{[ 4 ]}
Dado un sitio pequeño ( C , J ) (es decir, una categoría pequeña C junto con una topología de Grothendieck J ), la categoría de todos los haces de grupos abelianos en el sitio es una categoría de Grothendieck.

Construyendo categorías adicionales de Grothendieck

Cualquier categoría que sea equivalente a una categoría de Grothendieck es, en sí misma, una categoría de Grothendieck.
Dadas las categorías de Grothendieck ${\mathcal {A_{1}}},\ldots ,{\mathcal {A_{n}}}$ , la categoría de producto ${\mathcal {A_{1}}}\times \ldots \times {\mathcal {A_{n}}}$ es una categoría de Grothendieck.
Dada una pequeña categoría ${\mathcal {C}}$ y una categoría Grothendieck ${\mathcal {A}}$ , la categoría de functores $\operatorname {Funct} ({\mathcal {C}},{\mathcal {A}})$ , que consta de todos los functores covariantes de ${\mathcal {C}}$ a ${\mathcal {A}}$ , es una categoría de Grothendieck. ^{[ 1 ]}
Dada una pequeña categoría preaditiva ${\mathcal {C}}$ y una categoría Grothendieck ${\mathcal {A}}$ , la categoría de functores $\operatorname {Add} ({\mathcal {C}},{\mathcal {A}})$ de todos los functores covariantes aditivos de ${\mathcal {C}}$ a ${\mathcal {A}}$ es una categoría de Grothendieck. ^{[ 5 ]}
Si ${\mathcal {A}}$ es una categoría de Grothendieck y ${\mathcal {C}}$ es una subcategoría de localización de ${\mathcal {A}}$ , entonces ambos ${\mathcal {C}}$ y la categoría de cociente de Serre ${\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}$ son categorías de Grothendieck. ^{[ 2 ]}

Propiedades y teoremas

Cada categoría de Grothendieck contiene un cogenerador inyectivo . Por ejemplo, un cogenerador inyectivo de la categoría de grupos abelianos es el grupo cociente. $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ .

Todos los objetos de una categoría Grothendieck ${\mathcal {A}}$ tiene un casco inyectable en ${\mathcal {A}}$ . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Esto permite construir resoluciones inyectivas y, por lo tanto, el uso de las herramientas del álgebra homológica en ${\mathcal {A}}$ , con el fin de definir functores derivados . (Nótese que no todas las categorías de Grothendieck permiten resoluciones proyectivas para todos los objetos; ejemplos de ello son las categorías de haces de grupos abelianos en muchos espacios topológicos, como el espacio de los números reales).

En una categoría de Grothendieck, cualquier familia de subobjetos $(U_{i})$ de un objeto determinado $X$ tiene un supremo (o "suma") ${\textstyle \sum _{i}U_{i}}$ así como un ínfimo (o "intersección") $\cap _{i}U_{i}$ , ambos son nuevamente subobjetos de $X$ . Además, si la familia $(U_{i})$ es dirigido (es decir, para cualesquiera dos objetos en la familia, hay un tercer objeto en la familia que contiene a los dos), y $V$ es otro subobjeto de $X$ , tenemos ^{[ 6 ]}

\sum _{i}(U_{i}\cap V)=\left(\sum _{i}U_{i}\right)\cap V.

Las categorías de Grothendieck son bien potenciadas (a veces llamadas localmente pequeñas , aunque ese término también se usa para un concepto diferente), es decir, la colección de subobjetos de cualquier objeto dado forma un conjunto (en lugar de una clase propiamente dicha ). ^{[ 5 ]}

Es un resultado bastante profundo que cada categoría de Grothendieck ${\mathcal {A}}$ es completo , ^{[ 7 ]} es decir que existen límites arbitrarios (y en particular productos ) en ${\mathcal {A}}$ Por el contrario, se deduce directamente de la definición que ${\mathcal {A}}$ es co-completo, es decir que existen colímites y coproductos arbitrarios (sumas directas) en ${\mathcal {A}}$ Los coproductos en una categoría de Grothendieck son exactos (es decir, el coproducto de una familia de secuencias exactas cortas es también una secuencia exacta corta), pero los productos no tienen por qué ser exactos.

Un functor $F\colon {\cal {A}}\to {\cal {X}}$ de una categoría Grothendieck ${\mathcal {A}}$ a una categoría arbitraria ${\mathcal {X}}$ Tiene un adjunto izquierdo si y solo si conmuta con todos los límites, y tiene un adjunto derecho si y solo si conmuta con todos los colímites. Esto se deduce del teorema del functor adjunto especial de Peter J. Freyd y su dual. ^[⁸^]

El teorema de Gabriel-Popescu establece que cualquier categoría de Grothendieck ${\mathcal {A}}$ es equivalente a una subcategoría completa de la categoría $\operatorname {Mod} (R)$ de módulos derechos sobre algún anillo unitario $R$ (que puede tomarse como el anillo de endomorfismo de un generador de ${\mathcal {A}}$ ), y ${\mathcal {A}}$ se puede obtener como un cociente de Gabriel de $\operatorname {Mod} (R)$ por alguna subcategoría de localización . ^{[ 9 ]}

Como consecuencia de Gabriel-Popescu, se puede demostrar que toda categoría de Grothendieck es localmente presentable . ^{[ 10 ]} Además, Gabriel-Popescu se puede utilizar para ver que toda categoría de Grothendieck es completa, siendo una subcategoría reflexiva de la categoría completa. $\operatorname {Mod} (R)$ para algunos $R$ .

Cada pequeña categoría abeliana ${\mathcal {C}}$ puede insertarse en una categoría de Grothendieck, de la siguiente manera. La categoría ${\mathcal {A}}:=\operatorname {Lex} ({\mathcal {C}}^{op},\mathrm {Ab} )$ de functores aditivos (covariantes) exactos por la izquierda ${\mathcal {C}}^{op}\rightarrow \mathrm {Ab}$ (dónde $\mathrm {Ab}$ denota la categoría de grupos abelianos ) es una categoría de Grothendieck, y el functor $h\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}$ , con $C\mapsto h_{C}=\operatorname {Hom} (-,C)$ , es completo, fiel y exacto. Un generador de ${\mathcal {A}}$ está dado por el coproducto de todos $h_{C}$ , con $C\in {\mathcal {C}}$ . ^{[ 2 ]} La categoría ${\mathcal {A}}$ es equivalente a la categoría ${\text{Ind}}({\mathcal {C}})$ de objetos ind de ${\mathcal {C}}$ y la incrustación $h$ corresponde a la incrustación natural ${\mathcal {C}}\to {\text{Ind}}({\mathcal {C}})$ Por lo tanto, podemos ver ${\mathcal {A}}$ como la finalización conjunta de ${\mathcal {C}}$ .

Tipos especiales de objetos y categorías de Grothendieck

Un objeto $X$ en una categoría de Grothendieck se dice que es finitamente generada si, siempre que $X$ se escribe como la suma de una familia de subobjetos de $X$ , entonces ya es la suma de una subfamilia finita. (En el caso ${\cal {A}}=\operatorname {Mod} (R)$ de categorías de módulos, esta noción es equivalente a la noción familiar de módulos finitamente generados . Las imágenes epimórficas de objetos finitamente generados también son finitamente generadas. Si $U\subseteq X$ y ambos $U$ y $X/U$ son finitamente generados, entonces también lo es $X$ . El objeto $X$ es finitamente generado si, y solo si, para cualquier sistema dirigido $(A_{i})$ en ${\cal {A}}$ en el que cada morfismo es un monomorfismo, el morfismo natural $\varinjlim \mathrm {Hom} (X,A_{i})\to \mathrm {Hom} (X,\varinjlim A_{i})$ es un isomorfismo. ^{[ 11 ]} Una categoría de Grothendieck no necesita contener ningún objeto finitamente generado distinto de cero.

Una categoría de Grothendieck se denomina localmente finitamente generada si tiene un conjunto de generadores finitamente generados (es decir, si existe una familia $(G_{i})_{i\in I}$ de objetos generados finitamente de tal manera que a cada objeto $X$ existen $i\in I$ y un morfismo distinto de cero $G_{i}\rightarrow X$ ; equivalentemente: $X$ es una imagen epimórfica de una suma directa de copias de la $G_{i}$ ). En tal categoría, cada objeto es la suma de sus subobjetos generados finitamente. ^{[ 5 ]} Cada categoría ${\cal {A}}=\operatorname {Mod} (R)$ es generado localmente de forma finita.

Un objeto $X$ en una categoría de Grothendieck se dice que está finitamente presentada si está finitamente generada y si cada epimorfismo $W\to X$ con dominio generado finitamente $W$ tiene un núcleo finitamente generado. Nuevamente, esto generaliza la noción de módulos finitamente presentados . Si $U\subseteq X$ y ambos $U$ y $X/U$ Si se presentan de forma finita, entonces también lo es. $X$ En una categoría de Grothendieck generada de forma finita local ${\cal {A}}$ , los objetos presentados de forma finita pueden caracterizarse de la siguiente manera: ^{[ 12 ]} $X$ en ${\cal {A}}$ está finitamente presentado si y solo si, para cada sistema dirigido $(A_{i})$ en ${\cal {A}}$ , el morfismo natural $\varinjlim \mathrm {Hom} (X,A_{i})\to \mathrm {Hom} (X,\varinjlim A_{i})$ es un isomorfismo.

Una categoría de Grothendieck es localmente finitamente presentada si tiene un conjunto de generadores finitamente presentados, lo que equivale a decir que todo objeto es un límite directo de objetos finitamente presentados.

Un objeto $X$ en una categoría Grothendieck ${\cal {A}}$ Se denomina coherente si está finitamente presentado y si cada uno de sus subobjetos finitamente generados también está finitamente presentado. ^{[ 13 ]} (Esto generaliza la noción de haces coherentes en un espacio anillado). La subcategoría completa de todos los objetos coherentes en ${\cal {A}}$ es abeliano y el functor de inclusión es exacto . ^{[ 13 ]}

Un objeto $X$ En una categoría de Grothendieck, se dice que un conjunto de sus subobjetos satisface la condición de cadena ascendente , es decir, si cada secuencia $X_{1}\subseteq X_{2}\subseteq \cdots$ de subobjetos de $X$ eventualmente se vuelve estacionario. Este es el caso si y solo si cada subobjeto de X es finitamente generado. (En el caso ${\cal {A}}=\operatorname {Mod} (R)$ (Esta noción es equivalente a la noción familiar de módulos noetherianos ). Una categoría de Grothendieck se llama localmente noetheriana si tiene un conjunto de generadores noetherianos; un ejemplo es la categoría de módulos izquierdos sobre un anillo izquierdo-noetheriano .

Una categoría de Grothendieck se llama espectral si toda secuencia exacta corta se divide en . A una categoría de Grothendieck dada ${\cal {A}}$ Se puede definir una categoría espectral de Grothendieck. $\operatorname {Spec} {\cal {A}}$ y un functor canónico $P:{\cal {A}}\to \operatorname {Spec} {\cal {A}}$ . Los objetos de $\operatorname {Spec} {\cal {A}}$ corresponden, salvo isomorfismo, a los objetos inyectivos de ${\cal {A}}$ . ^{[ 14 ]} El functor $P$ convierte todos los monomorfismos esenciales en isomorfismos y, por lo tanto, identifica cada objeto de ${\cal {A}}$ con su envoltura inyectiva. Esto permite definir funciones útiles similares a dimensiones en ${\cal {A}}$ : para cada objeto inyectivo indescomponible $I$ en ${\cal {A}}$ y cada objeto $A$ en ${\cal {A}}$ , el número cardinal $r_{I}(A)$ mide, en términos generales, cuántos sumandos directos isomorfos a $I$ aparecen en el casco inyectivo de $A$ .

Notas

^ Grothendieck , Alexander ( 1957 ), "Sur quelques point d'algèbre homologique" , Tôhoku Mathematical Journal , (2), 9 ( 2 ): 119– 221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , MR 0102537 . Traducción al inglés .
1 2 3 4 5 Gabriel, Pierre (1962), "Des catégories abéliennes" (PDF) , Toro. Soc. Matemáticas. P. , 90 : 323–448 , doi : 10.24033/bsmf.1583
↑ Van, Hoang Dinh; Liu, Liyu; Lowen, Wendy (2016), "Deformaciones no conmutativas y módulos cuasi-coherentes", Selecta Mathematica , 23 : 1061–1119 , arXiv : 1411.0331 , doi : 10.1007/s00029-016-0263-9 , MR 3624905
↑ Proyecto Stacks, Etiqueta 077P; Proyecto Stacks, Etiqueta 0781.
1 2 3 Faith, Carl (1973). Álgebra: Anillos, Módulos y Categorías I. Springer. págs. 486–498 . ISBN 9783642806346.
↑ Stenström, Prop. V.1.1
↑ Stenström, Cor. X.4.4
↑ Mac Lane, Saunders (1978). Categorías para el matemático práctico (2.ª ed.). Springer. pág. 130.
↑ Popescu, Nicolae ; Gabriel, Pierre (1964). "Caracterización de las categorías abeliennes avec générateurs et limites inductivos exactos". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . 258 : 4188-4190 .
↑ Šťovíček, Jan (2013-01-01). "Deconstructibility and the Hill Lemma in Grothendieck categories". Forum Mathematicum . 25 (1). arXiv : 1005.3251 . Bibcode : 2010arXiv1005.3251S . doi : 10.1515/FORM.2011.113 . S2CID 119129714 .
↑ Stenström, Prop. V.3.2
↑ Stenström, Prop. V.3.4
1 2 Herzog, I. (1997). "El espectro de Ziegler de una categoría de Grothendieck localmente coherente" . Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 74 (3): 503– 558. doi : 10.1112/S002461159700018X . S2CID 121827768 .
^ Gabriel, Pedro; Oberst, Ulrich (1 de octubre de 1966). "Spektralkategorien und reguläre Ringe in Von-Neumannschen Sinn" . Mathematische Zeitschrift (en alemán). 92 (5): 389– 395. doi : 10.1007/BF01112218 . ISSN 1432-1823 .

Referencias

Popescu, Nicolae (1973). Categorías abelianas con aplicaciones a anillos y módulos . Academic Press.
Stenström, Bo T. (1975). Anillos de cocientes: Una introducción a los métodos de la teoría de anillos . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-07117-6.

Enlaces externos

Categorías abelianas , notas de Daniel Murfet. La sección 2.3 trata sobre las categorías de Grothendieck.
Autores del Proyecto Stacks, El Proyecto Stacks
Tsalenko, M.Sh. (2001) [1994], "Categoría de Grothendieck" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

[tohoku-1] Grothendieck , Alexander ( 1957 ), "Sur quelques point d'algèbre homologique" , Tôhoku Mathematical Journal , (2), 9 ( 2 ): 119– 221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , MR 0102537 . Traducción al inglés .

[gabriel-these-2] 1 2 3 4 5 Gabriel, Pierre (1962), "Des catégories abéliennes" (PDF) , Toro. Soc. Matemáticas. P. , 90 : 323–448 , doi : 10.24033/bsmf.1583

[3] Van, Hoang Dinh; Liu, Liyu; Lowen, Wendy (2016), "Deformaciones no conmutativas y módulos cuasi-coherentes", Selecta Mathematica , 23 : 1061–1119 , arXiv : 1411.0331 , doi : 10.1007/s00029-016-0263-9 , MR 3624905

[4] Proyecto Stacks, Etiqueta 077P; Proyecto Stacks, Etiqueta 0781.

[:0-5] 1 2 3 Faith, Carl (1973). Álgebra: Anillos, Módulos y Categorías I. Springer. págs. 486–498 . ISBN 9783642806346.

[6] Stenström, Prop. V.1.1

[7] Stenström, Cor. X.4.4

[8] Mac Lane, Saunders (1978). Categorías para el matemático práctico (2.ª ed.). Springer. pág. 130.

[9] Popescu, Nicolae ; Gabriel, Pierre (1964). "Caracterización de las categorías abeliennes avec générateurs et limites inductivos exactos". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . 258 : 4188-4190 .

[10] Šťovíček, Jan (2013-01-01). "Deconstructibility and the Hill Lemma in Grothendieck categories". Forum Mathematicum . 25 (1). arXiv : 1005.3251 . Bibcode : 2010arXiv1005.3251S . doi : 10.1515/FORM.2011.113 . S2CID 119129714 .

[11] Stenström, Prop. V.3.2

[12] Stenström, Prop. V.3.4

[herzog-13] 1 2 Herzog, I. (1997). "El espectro de Ziegler de una categoría de Grothendieck localmente coherente" . Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 74 (3): 503– 558. doi : 10.1112/S002461159700018X . S2CID 121827768 .

[14] Gabriel, Pedro; Oberst, Ulrich (1 de octubre de 1966). "Spektralkategorien und reguläre Ringe in Von-Neumannschen Sinn" . Mathematische Zeitschrift (en alemán). 92 (5): 389– 395. doi : 10.1007/BF01112218 . ISSN 1432-1823 .

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