Módulo noetheriano

En álgebra abstracta , un módulo noetheriano es un módulo que satisface la condición de cadena ascendente en sus submódulos , donde los submódulos están parcialmente ordenados por inclusión . ^[1]

Históricamente, Hilbert fue el primer matemático que trabajó con las propiedades de los submódulos finitamente generados . Demostró un teorema importante conocido como el teorema de la base de Hilbert , que dice que cualquier ideal en el anillo polinómico multivariante de un cuerpo arbitrario es finitamente generado . Sin embargo, la propiedad recibe su nombre de Emmy Noether , quien fue la primera en descubrir la verdadera importancia de la propiedad.

En presencia del axioma de elección , ^{[2] [ se necesita una mejor fuente ]} son ​​posibles otras dos caracterizaciones:

• Cualquier conjunto no vacío S de submódulos del módulo tiene un elemento máximo (con respecto a la inclusión del conjunto ). Esto se conoce como condición máxima .
• Todos los submódulos del módulo se generan de forma finita . ^[3]

Si M es un módulo y K un submódulo, entonces M es noetheriano si y solo si K y M / K son noetherianos. Esto contrasta con la situación general con módulos finitamente generados: un submódulo de un módulo finitamente generado no necesita ser finitamente generado. ^[4]

• Los números enteros , considerados como un módulo sobre el anillo de los enteros, son un módulo noetheriano.
• Si R  = M _n ( F ) es el anillo matricial completo sobre un cuerpo, y M  = M _{n 1} ( F ) es el conjunto de vectores columna sobre F , entonces M puede convertirse en un módulo utilizando la multiplicación de matrices por elementos de R a la izquierda de los elementos de M . Este es un módulo noetheriano.
• Cualquier módulo que sea finito como conjunto es noetheriano.
• Cualquier módulo recto finitamente generado sobre un anillo noetheriano recto es un módulo noetheriano.

Un anillo noetheriano derecho R es, por definición, un módulo noetheriano derecho sobre sí mismo que utiliza la multiplicación por la derecha. Asimismo, un anillo se denomina anillo noetheriano izquierdo cuando R es noetheriano considerado como un módulo R izquierdo. Cuando R es un anillo conmutativo, los adjetivos izquierda-derecha pueden omitirse, ya que son innecesarios. Además, si R es noetheriano en ambos lados, se acostumbra a llamarlo noetheriano y no "noetheriano izquierdo y derecho".

La condición noetheriana también se puede definir en estructuras bimódulo : un bimódulo noetheriano es un bimódulo cuyo conjunto de sub-bimódulos satisface la condición de cadena ascendente. Dado que un sub-bimódulo de un bimódulo R - S M es en particular un R -módulo izquierdo, si M considerado como un R -módulo izquierdo fuera noetheriano, entonces M sería automáticamente un bimódulo noetheriano. Puede ocurrir, sin embargo, que un bimódulo sea noetheriano sin que sus estructuras izquierda o derecha sean noetherianas.

• Módulo Artiniano
• Condición de cadena ascendente/descendente
• Serie de composiciones
• Módulo generado de forma finita
• Dimensión de Krull

• Álgebra conmutativa de Eisenbud con vistas a la geometría algebraica , Springer-Verlag, 1995.

• Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera edición), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5