módulo artiniano

En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , un módulo artiniano es un módulo que satisface la condición de cadena descendente en su conjunto parcialmente ordenado de submódulos . Son para los módulos lo que los anillos artinianos son para los anillos , y un anillo es artiniano si y solo si es un módulo artiniano sobre sí mismo (con multiplicación por la izquierda o por la derecha). Ambos conceptos reciben su nombre de Emil Artin .

En presencia del axioma de elección ( dependiente ) , la condición de cadena descendente se vuelve equivalente a la condición mínima , y ​​por lo tanto puede usarse en la definición en su lugar.

Al igual que los módulos noetherianos , los módulos artinianos gozan de la siguiente propiedad de herencia:

• Si M es un R -módulo artiniano, entonces también lo es cualquier submódulo y cualquier cociente de M.

Lo contrario también es cierto:

• Si M es cualquier R -módulo y N cualquier submódulo artiniano tal que M / N es artiniano, entonces M es artiniano.

Como consecuencia, cualquier módulo finitamente generado sobre un anillo artiniano es artiniano. ^{[ 1 ]} Dado que un anillo artiniano es también un anillo noetheriano , y los módulos finitamente generados sobre un anillo noetheriano son noetherianos, ^{[ 1 ]} es cierto que para un anillo artiniano R , cualquier R -módulo finitamente generado es tanto noetheriano como artiniano, y se dice que tiene longitud finita . También se sigue que cualquier módulo artiniano finitamente generado es noetheriano incluso sin la suposición de que R sea artiniano. Sin embargo, si R no es artiniano y M no es finitamente generado, hay contraejemplos .

El anillo R puede considerarse como un módulo derecho, donde la acción es la natural dada por la multiplicación del anillo por la derecha. Se dice que R es artiniano por la derecha cuando este módulo derecho R es un módulo artiniano. La definición de "anillo artiniano por la izquierda" se realiza de forma análoga. Para anillos no conmutativos , esta distinción es necesaria, ya que es posible que un anillo sea artiniano por un lado pero no por el otro.

Los adjetivos izquierda-derecha no suelen ser necesarios para los módulos, ya que el módulo M se suele especificar inicialmente como un R -módulo izquierdo o derecho. Sin embargo, es posible que M tenga una estructura de R -módulo tanto izquierda como derecha, en cuyo caso llamar a M artiniano resulta ambiguo y es necesario aclarar qué estructura de módulo es artiniana. Para diferenciar las propiedades de ambas estructuras, se puede abusar de la terminología y referirse a M como artiniano izquierdo o derecho cuando, estrictamente hablando, lo correcto es decir que M , con su estructura de R -módulo izquierdo, es artiniano.

La aparición de módulos con estructura izquierda y derecha no es inusual: por ejemplo, R mismo tiene una estructura de R -módulo izquierda y derecha. De hecho, este es un ejemplo de bimódulo , y es posible que un grupo abeliano M se convierta en un bimódulo R- izquierdo , S- derecho para un anillo S diferente . En efecto, para cualquier módulo derecho M , es automáticamente un módulo izquierdo sobre el anillo de los enteros Z , y además es un bimódulo Z - R . Por ejemplo, consideremos los números racionales Q como un bimódulo Z - Q de forma natural. Entonces Q no es artiniano como Z -módulo izquierdo, pero sí lo es como Q -módulo derecho.

La condición artiniana también puede definirse en estructuras de bimódulos: un bimódulo artiniano es aquel cuyo conjunto parcialmente ordenado de subbimódulos satisface la condición de cadena descendente. Dado que un subbimódulo de un R - S -bimódulo M es, por consiguiente, un R- módulo izquierdo, si M, considerado como un R -módulo izquierdo, fuera artiniano, entonces M sería automáticamente un bimódulo artiniano. Sin embargo, puede ocurrir que un bimódulo sea artiniano sin que sus estructuras izquierda o derecha lo sean, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Es bien sabido que un anillo simple es artiniano por la izquierda si y solo si es artiniano por la derecha, en cuyo caso es un anillo semisimple . Sea R un anillo simple que no es artiniano por la derecha. Entonces tampoco es artiniano por la izquierda. Considerando R como un R - R -bimódulo de forma natural, sus subbimódulos son precisamente los ideales de R. Como R es simple, solo hay dos: R y el ideal cero . Por lo tanto, el bimódulo R es artiniano como bimódulo, pero no como R -módulo por la izquierda o por la derecha sobre sí mismo.

A diferencia del caso de los anillos, existen módulos artinianos que no son módulos noetherianos . Por ejemplo, consideremos el componente p -primario de${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$, eso es${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$, que es isomorfo al grupo p - cuasicíclico${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$, considerado como${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo. La cadena${\displaystyle \langle 1/p\rangle \subset \langle 1/p^{2}\rangle \subset \langle 1/p^{3}\rangle \subset \cdots }$no termina, por lo tanto${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$(y por lo tanto${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$) no es noetheriano. Sin embargo, toda cadena descendente de submódulos termina, ya que cualquier submódulo propio tiene la forma${\displaystyle \langle 1/n\rangle }$ para algún número entero${\displaystyle n}$y por lo tanto es un conjunto finito ; así que${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$es artiniano.

Tenga en cuenta que${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$También es un fiel${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo. Por lo tanto, esto también proporciona un ejemplo de un módulo artiniano fiel sobre un anillo no artiniano. Esto no sucede en el caso noetheriano; si M es un módulo noetheriano fiel sobre A, entonces A también es noetheriano.

Sobre un anillo conmutativo , todo módulo artiniano cíclico es también noetheriano, pero sobre anillos no conmutativos, los módulos artinianos cíclicos pueden tener una longitud no numerable , como se muestra en el artículo de Hartley y se resume en el artículo de Paul Cohn dedicado a la memoria de Hartley.

Otro resultado relevante es el teorema de Akizuki-Hopkins-Levitzki , que establece que las condiciones artinianas y noetherianas son equivalentes para módulos sobre un anillo semiprimario .

• Serie de composición
• Dimensión de Krull

• Atiyah, MF ; Macdonald, IG (1969). «Capítulo 6. Condiciones de cadena; Capítulo 8. Anillos de Artin». Introducción al álgebra conmutativa . Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.
• Cohn, PM (1997). "Módulos artinianos cíclicos sin una serie de composición". J. London Math. Soc . Serie 2. 55 (2): 231– 235. doi : 10.1112/S0024610797004912 . MR 1438626 . 
• Hartley, B. (1977). "Módulos artinianos no numerables y grupos solubles no numerables que satisfacen Min-n". Proc. London Math. Soc . Serie 3. 35 (1): 55– 75. doi : 10.1112/plms/s3-35.1.55 . MR 0442091 . 
• Lam, TY (2001). "Capítulo 1. Teoría de Wedderburn-Artin". Un primer curso sobre anillos no conmutativos . Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95325-0.