Geometría algebraica derivada

Por encima de la característica 0, muchas de las geometrías derivadas coinciden ya que los anillos derivados son los mismos.${\displaystyle E_{\infty }}$Las álgebras son simplemente álgebras diferenciales graduadas conmutativas sobre característica cero. Podemos entonces definir esquemas derivados de forma similar a los esquemas en geometría algebraica. De forma similar a la geometría algebraica, también podríamos ver estos objetos como un par.${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X}^{\bullet })}$que es un espacio topológico${\displaystyle X}$con un haz de álgebras diferenciales graduadas conmutativas. A veces, los autores adoptan la convención de que estas son graduadas negativamente, por lo que${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}=0}$para${\displaystyle n>0}$. La condición del haz también podría debilitarse de modo que para una cubierta${\displaystyle U_{i}}$de${\displaystyle X}$, las gavillas${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U_{i}}^{\bullet }}$pegaría las superposiciones${\displaystyle U_{ij}}$solo por cuasi-isomorfismo .

Desafortunadamente, sobre la característica p, las álgebras graduadas diferenciales funcionan mal para la teoría de la homotopía, debido a que${\displaystyle d[x^{p}]=pd[x^{p-1}]}$Esto se puede superar utilizando álgebras simpliciales.

Los anillos derivados sobre una característica arbitraria se consideran anillos conmutativos simpliciales debido a las propiedades categóricas que poseen. En particular, la categoría de anillos simpliciales está enriquecida simplicialmente, lo que significa que los conjuntos de hom son, a su vez, conjuntos simpliciales. Además, existe una estructura de modelo canónica en los anillos conmutativos simpliciales derivada de los conjuntos simpliciales. ^{[ 4 ]} De hecho, es un teorema de Quillen que la estructura de modelo en los conjuntos simpliciales puede transferirse a los anillos conmutativos simpliciales.

Se conjetura que existe una teoría final de pilas superiores que modelan tipos de homotopía . Grothendieck conjeturó que estas se modelarían mediante grupoides globulares, o una forma débil de su definición. Simpson ^{[ 5 ]} proporciona una definición útil en el espíritu de las ideas de Grothendieck. Recordemos que una pila algebraica (aquí una 1-pila) se denomina representable si el producto fibrado de dos esquemas cualesquiera es isomorfo a un esquema. ^{[ 6 ]} Si tomamos el ansatz de que una 0-pila es simplemente un espacio algebraico y una 1-pila es simplemente una pila, podemos definir recursivamente una n-pila como un objeto tal que el producto fibrado a lo largo de dos esquemas cualesquiera es una (n-1)-pila. Si volvemos a la definición de una pila algebraica, esta nueva definición coincide.

Recordemos que el topos de un punto${\displaystyle {\text{Sh}}(*)}$es equivalente a la categoría de conjuntos. Entonces, en el${\displaystyle \infty }$-configuración de topos, en su lugar consideramos${\displaystyle \infty }$-gavillas de${\displaystyle \infty }$-grupoides (que son${\displaystyle \infty }$-categorías con todos los morfismos invertibles), denotado${\displaystyle {\text{Shv}}(*)}$, dando un análogo del topos de puntos en el${\displaystyle \infty }$-configuración de topos. Entonces, la estructura de un espacio espectralmente anillado se puede dar adjuntando un${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$-anillo${\displaystyle A}$Nótese que esto implica que los espacios espectralmente anillados se generalizan${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$-anillos desde cada${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$-ring puede estar asociado con un sitio espectralmente anular.

Este topos con anillo espectral puede ser un esquema espectral si el espectro de este anillo da un equivalente${\displaystyle \infty }$-topos, por lo que su espacio subyacente es un punto. Por ejemplo, esto puede estar dado por el espectro del anillo.${\displaystyle H\mathbb {Q} }$, llamado espectro de Eilenberg-Maclane, construido a partir de los espacios de Eilenberg-Maclane${\displaystyle K(\mathbb {Q} ,n)}$.

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