Número de intersección

En matemáticas , y especialmente en geometría algebraica , el número de intersección generaliza la noción intuitiva de contar el número de veces que dos curvas se intersecan a dimensiones superiores, múltiples (más de 2) curvas y teniendo en cuenta adecuadamente la tangencia . Se necesita una definición de número de intersección para enunciar resultados como el teorema de Bézout .

El número de intersecciones es obvio en ciertos casos, como la intersección de los ejes x e y en un plano, que debería ser uno. La complejidad surge al calcular intersecciones en puntos de tangencia e intersecciones que no son simples puntos, sino que tienen dimensiones superiores. Por ejemplo, si un plano es tangente a una superficie a lo largo de una línea, el número de intersecciones a lo largo de la línea debería ser al menos dos. Estas cuestiones se analizan sistemáticamente en la teoría de intersecciones .

Sea X una superficie de Riemann . Entonces, el número de intersección de dos curvas cerradas en X tiene una definición simple en términos de una integral. Para cada curva cerrada c en X (es decir, función suave)${\displaystyle c:S^{1}\to X}$), podemos asociar una forma diferencial${\displaystyle \eta _{c}}$de soporte compacto, el dual de Poincaré de c , con la propiedad de que las integrales a lo largo de c se pueden calcular mediante integrales sobre X :

${\displaystyle \int _{c}\alpha =-\iint _{X}\alpha \wedge \eta _{c}=(\alpha ,*\eta _{c})}$, para cada diferencial (1-) cerrado${\displaystyle \alpha }$en X ,

dónde${\displaystyle \wedge }$es el producto exterior de diferenciales, y${\displaystyle *}$es la estrella de Hodge . Entonces, el número de intersección de dos curvas cerradas, a y b , en X se define como

${\displaystyle a\cdot b:=\iint _{X}\eta _{a}\wedge \eta _{b}=(\eta _{a},-*\eta _{b})=-\int _{b}\eta _{a}}$.

El${\displaystyle \eta _{c}}$tienen una definición intuitiva como sigue. Son una especie de delta de Dirac a lo largo de la curva c , que se obtiene tomando la diferencial de una función escalón unitario que disminuye de 1 a 0 a través de c . Más formalmente, comenzamos definiendo para una curva cerrada simple c en X , una función f _c mediante la siguiente expresión:${\displaystyle \Omega }$sea ​​una pequeña tira alrededor de c en forma de anillo. Nombre las partes izquierda y derecha de${\displaystyle \Omega \setminus c}$como${\displaystyle \Omega ^{+}}$y${\displaystyle \Omega ^{-}}$. Luego, tome una subfranja más pequeña alrededor de c ,${\displaystyle \Omega _{0}}$, con partes izquierda y derecha${\displaystyle \Omega _{0}^{-}}$y${\displaystyle \Omega _ {0}^{+}}$. Luego defina f _c por

${\displaystyle f_{c}(x)={\begin{cases}1,&x\in \Omega _{0}^{-}\\0,&x\in X\setminus \Omega ^{-}\\{\mbox{interpolación suave}},&x\in \Omega ^{-}\setminus \Omega _{0}^{-}\end{cases}}}$.

La definición se amplía entonces a curvas cerradas arbitrarias. Toda curva cerrada c en X es homóloga a${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}k_{i}c_{i}}$para algunas curvas cerradas simples c _i , es decir,

${\displaystyle \int _{c}\omega =\int _{\sum _{i}k_{i}c_{i}}\omega =\sum _{i=1}^{N}k_{i}\int _{c_{i}}\omega }$, para cada diferencial${\displaystyle \omega }$.

Defina el${\displaystyle \eta _{c}}$por

${\displaystyle \eta _{c}=\sum _{i=1}^{N}k_{i}\eta _{c_{i}}}$.

La definición constructiva habitual en el caso de variedades algebraicas procede por etapas. La definición que se da a continuación es para el número de intersección de divisores en una variedad no singular X.

1. El único número de intersección que se puede calcular directamente a partir de la definición es la intersección de hipersuperficies (subvariedades de X de codimensión uno) que se encuentran en posición general en x . Específicamente, supongamos que tenemos una variedad no singular X y n hipersuperficies Z ₁ , ..., Z _n que tienen ecuaciones locales f ₁ , ..., f _n cerca de x para polinomios f _i ( t ₁ , ..., t _n ), tales que se cumplen las siguientes condiciones:

• ${\displaystyle n=\dim _{k}X}$.
• ${\displaystyle f_{i}(x)=0}$para todo i . (es decir, x está en la intersección de las hipersuperficies).
• ${\displaystyle \dim _{x}\cap _{i=1}^{n}Z_{i}=0}$(Es decir, los divisores están en posición general).
• El${\displaystyle f_{i}}$son no singulares en x .

Entonces, el número de intersección en el punto x (llamado multiplicidad de intersección en x ) es

${\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}:=\dim _{k}{\mathcal {O}}_{X,x}/(f_{1},\dots ,f_{n})}$,

dónde${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$es el anillo local de X en x , y la dimensión es dimensión como un espacio vectorial k . Se puede calcular como la localización${\displaystyle k[U]_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$, dónde${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$es el ideal máximo de polinomios que se anulan en x , y U es un conjunto afín abierto que contiene a x y que no contiene ninguna de las singularidades de los f _i .

2. El número de intersección de hipersuperficies en posición general se define entonces como la suma de los números de intersección en cada punto de intersección.

${\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n})=\sum _{x\in \cap _{i}Z_{i}}(Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}}$

3. Extender la definición a divisores efectivos por linealidad, es decir,

${\ Displaystyle (nZ_ {1} \ cdots Z_ {n}) = n (Z_ {1} \ cdots Z_ {n})}$y${\ Displaystyle ((Y_ {1} + Z_ {1}) Z_ {2} \ cdots Z_ {n}) = (Y_ {1} Z_ {2} \ cdots Z_ {n}) + (Z_ {1} Z_ {2} \ cdots Z_ {n})}$.

4. Extendemos la definición a divisores arbitrarios en posición general, observando que cada divisor tiene una expresión única como D = P – N para algunos divisores efectivos P y N. Así pues, sea D _i = P _i – N _i , y usemos reglas de la forma

${\displaystyle ((P_{1}-N_{1})P_{2}\cdots P_{n})=(P_{1}P_{2}\cdots P_{n})-(N_{1}P_{2}\cdots P_{n})}$

transformar la intersección.

5. El número de intersección de divisores arbitrarios se define entonces utilizando un " lema móvil de Chow " que garantiza que podemos encontrar divisores linealmente equivalentes que están en posición general, los cuales podemos intersecar.

Cabe señalar que la definición del número de intersección no depende del orden en que aparecen los divisores en el cálculo de dicho número.

Sean V y W dos subvariedades de una variedad proyectiva no singular X tales que dim( V ) + dim( W ) = dim( X ). Entonces esperamos que la intersección V ∩ W sea un conjunto finito de puntos. Si intentamos contarlos, pueden surgir dos tipos de problemas. Primero, incluso si la dimensión esperada de V ∩ W es cero, la intersección real puede ser de una dimensión grande: por ejemplo, el número de autointersección de una línea proyectiva en un plano proyectivo . El segundo problema potencial es que incluso si la intersección es de dimensión cero, puede no ser transversal, por ejemplo, si V es una curva plana y W es una de sus líneas tangentes .

El primer problema requiere la maquinaria de la teoría de la intersección , discutida anteriormente en detalle, que reemplaza V y W por subvariedades más convenientes usando el lema de movimiento . Por otro lado, el segundo problema puede resolverse directamente, sin mover V o W. En 1965 Jean-Pierre Serre describió cómo encontrar la multiplicidad de cada punto de intersección mediante métodos de álgebra conmutativa y álgebra homológica . ^{[ 1 ]} Esta conexión entre una noción geométrica de intersección y una noción homológica de un producto tensorial derivado ha sido influyente y ha llevado en particular a varias conjeturas homológicas en álgebra conmutativa .

La fórmula de Tor de Serre establece: sea X una variedad regular , V y W dos subvariedades de dimensión complementaria tales que V ∩ W es de dimensión cero. Para cualquier punto x ∈ V ∩ W , sea A el anillo local.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$de x . Los haces estructurales de V y W en x corresponden a los ideales I , J ⊆ A. Entonces, la multiplicidad de V ∩ W en el punto x es

${\displaystyle e(X;V,W;x)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\mathrm {length} _{A}(\operatorname {Tor} _{i}^{A}(A/I,A/J))}$

donde longitud es la longitud de un módulo sobre un anillo local, y Tor es el functor Tor . Cuando V y W pueden moverse a una posición transversal, esta fórmula homológica produce la respuesta esperada. Así, por ejemplo, si V y W se encuentran transversalmente en x , la multiplicidad es 1. Si V es una recta tangente en un punto x a una parábola W en un plano en un punto x , entonces la multiplicidad en x es 2.

Si tanto V como W están localmente recortados por secuencias regulares , por ejemplo, si son no singulares , entonces en la fórmula anterior todos los Tor superiores se anulan, por lo tanto la multiplicidad es positiva. La positividad en el caso arbitrario es una de las conjeturas de multiplicidad de Serre .

La definición puede generalizarse enormemente, por ejemplo, a intersecciones a lo largo de subvariedades en lugar de solo en puntos, o a variedades completas arbitrarias.

En topología algebraica , el número de intersección aparece como el dual de Poincaré del producto de copas . Específicamente, si dos variedades, X e Y , se intersecan transversalmente en una variedad M , la clase de homología de la intersección es el dual de Poincaré del producto de copas.${\displaystyle D_{M}X\smile D_{M}Y}$de los duales de Poincaré de X e Y.

Existe un método para calcular el número de intersección, introducido por Snapper en 1959-60 y desarrollado posteriormente por Cartier y Kleiman, que define un número de intersección como una característica de Euler .

Sea X un esquema sobre un esquema S , Pic( X ) el grupo de Picard de X y G el grupo de Grothendieck de la categoría de haces coherentes en X cuyo soporte es propio sobre un subesquema artiniano de S.

Para cada L en Pic( X ), definimos el endomorfismo c ₁ ( L ) de G (llamado la primera clase de Chern de L ) mediante

${\displaystyle c_{1}(L)F=FL^{-1}\otimes F.}$

Es aditivo en G ya que la tensorización con un fibrado de líneas es exacta. También se tiene:

• ${\ Displaystyle c_ {1} (L_ {1}) c_ {1} (L_ {2}) = c_ {1} (L_ {1}) + c_ {1} (L_ {2}) -c_ {1} (L_ {1} \ otimes L_ {2})}$; En particular,${\displaystyle c_{1}(L_{1})}$y${\displaystyle c_{1}(L_{2})}$desplazarse.
• ${\displaystyle c_{1}(L)c_{1}(L^{-1})=c_{1}(L)+c_{1}(L^{-1}).}$
• ${\displaystyle \dim \operatorname {supp} c_{1}(L)F\leq \dim \operatorname {supp} F-1}$(Esto no es trivial y se deriva de un argumento de dévissage ).

El número de intersección

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}}$

El conjunto de líneas L _i 's se define entonces por:

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\chi (c_{1}(L_{1})\cdots c_{1}(L_{r})F)}$

donde χ denota la característica de Euler. Alternativamente, por inducción se tiene:

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\sum _{0}^{r}(-1)^{i}\chi (\wedge ^{i}(\oplus _{0}^{r}L_{j}^{-1})\otimes F).}$

Cada vez que F es fijo,${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F}$es un funcional simétrico en L _i 's.

Si L _i = O _X ( D _i ) para algunos divisores de Cartier D _i , entonces escribiremos${\displaystyle D_{1}\cdot {\dots }\cdot D_{r}}$para el número de intersección.

Dejar${\displaystyle f:X\to Y}$ser un morfismo de esquemas S ,${\displaystyle L_{i},1\leq i\leq m}$paquetes de líneas en X y F en G con${\displaystyle m\geq \dim \operatorname {supp} F}$. Entonces

${\displaystyle f^{*}L_{1}\cdots f^{*}L_{m}\cdot F=L_{1}\cdots L_{m}\cdot f_{*}F}$. ^{[ 2 ]}

Hay una función única que se asigna a cada triplete.${\displaystyle (P,Q,p)}$que consta de un par de curvas proyectivas,${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$, en${\displaystyle K[x,y]}$y un punto${\displaystyle p\in K^{2}}$, un número${\displaystyle I_{p}(P,Q)}$llamada la intersección multiplicidad de${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$en${\displaystyle p}$que satisface las siguientes propiedades:

1. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=I_{p}(Q,P)}$
2. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=\infty }$si y solo si${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$tienen un factor común que es cero en${\displaystyle p}$
3. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=0}$si y solo si uno de${\displaystyle P(p)}$o${\displaystyle Q(p)}$es distinto de cero (es decir, el punto${\displaystyle p}$no está en la intersección de las dos curvas)
4. ${\displaystyle I_{p}(x,y)=1}$dónde${\displaystyle p=(0,0)}$
5. ${\displaystyle I_{p}(P,Q_{1}Q_{2})=I_{p}(P,Q_{1})+I_{p}(P,Q_{2})}$
6. ${\displaystyle I_{p}(P+QR,Q)=I_{p}(P,Q)}$para cualquier${\displaystyle R\in K[x,y]}$

Si bien estas propiedades caracterizan completamente la multiplicidad de intersección, en la práctica se realiza de varias maneras diferentes.

Una realización de la multiplicidad de intersección es a través de la dimensión de un cierto espacio cociente del anillo de series de potencias .${\displaystyle K[[x,y]]}$. Si es necesario, podemos realizar un cambio de variables y asumir que${\displaystyle p=(0,0)}$. Dejar${\displaystyle P(x,y)}$y${\displaystyle Q(x,y)}$sean los polinomios que definen las curvas algebraicas que nos interesan. Si las ecuaciones originales se dan en forma homogénea, estas se pueden obtener estableciendo${\displaystyle z=1}$. Dejar${\displaystyle I=(P,Q)}$denotan el ideal de${\displaystyle K[[x,y]]}$generado por${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$. La multiplicidad de intersección es la dimensión de${\displaystyle K[[x,y]]/I}$como un espacio vectorial sobre${\displaystyle K}$.

Otra realización de la multiplicidad de intersección proviene del resultante de los dos polinomios.${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$. En coordenadas donde${\displaystyle p=(0,0)}$, las curvas no tienen otras intersecciones con${\displaystyle y=0}$y el grado de${\displaystyle P}$con respecto a${\displaystyle x}$es igual al grado total de${\displaystyle P}$,${\displaystyle I_{p}(P,Q)}$puede definirse como la potencia más alta de${\displaystyle y}$que divide la resultante de${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$(con${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$vistos como polinomios sobre${\displaystyle K[x]}$).

La multiplicidad de intersecciones también puede realizarse como el número de intersecciones distintas que existen si las curvas se perturban ligeramente. Más específicamente, si${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$definen curvas que se intersecan solo una vez en el cierre de un conjunto abierto.${\displaystyle U}$, entonces para un conjunto denso de${\displaystyle (\epsilon ,\delta )\in K^{2}}$,${\displaystyle P-\epsilon }$y${\displaystyle Q-\delta }$son suaves y se intersecan transversalmente (es decir, tienen líneas tangentes diferentes) en un número exacto${\displaystyle n}$puntos en${\displaystyle U}$Entonces decimos que${\displaystyle I_{p}(P,Q)=n}$.

Algunos de los números de intersección más interesantes para calcular son los números de autointersección . Esto significa que un divisor se mueve a otro divisor equivalente en posición general con respecto al primero, y ambos se intersecan. De esta manera, los números de autointersección pueden estar bien definidos e incluso ser negativos.

El número de intersección está motivado en parte por el deseo de definir la intersección para satisfacer el teorema de Bézout .

El número de intersección surge en el estudio de los puntos fijos , que pueden definirse ingeniosamente como intersecciones de gráficas de funciones con diagonales . El cálculo de los números de intersección en los puntos fijos cuenta los puntos fijos con multiplicidad y conduce al teorema del punto fijo de Lefschetz en forma cuantitativa.

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