Secuencia regular

En álgebra conmutativa , una sucesión regular es una sucesión de elementos de un anillo conmutativo que son lo más independientes posible, en un sentido preciso. Este es el análogo algebraico de la noción geométrica de intersección completa .

Dado un anillo conmutativo R y un R - módulo M , un elemento r en R se llama divisor no nulo en M si rm = 0 implica m = 0 para m en M. Una secuencia M -regular es una secuencia r ₁ , ..., r _d de elementos de R tales que r ₁ no es un divisor nulo en M y r _i no es un divisor nulo en M /( r ₁ , ..., r _{i −1} ) M para i = 2, ..., d . ^{[ 1 ]} Algunos autores también requieren que M /( r ₁ , ..., r _d ) M no sea nulo. Intuitivamente, decir que r ₁ , ..., r _d es una secuencia M -regular significa que estos elementos "reducen M " tanto como sea posible, cuando pasamos sucesivamente de M a M /( r ₁ ) M , a M /( r ₁ , r ₂ ) M , y así sucesivamente.

Una sucesión R -regular se llama simplemente sucesión regular . Es decir, r ₁ , ..., r _d es una sucesión regular si r ₁ es un divisor no nulo en R , r ₂ es un divisor no nulo en el anillo R /( r ₁ ), y así sucesivamente. En lenguaje geométrico, si X es un esquema afín y r ₁ , ..., r _d es una sucesión regular en el anillo de funciones regulares en X , entonces decimos que el subesquema cerrado { r ₁ =0, ..., r _d =0} ⊂ X es un subesquema de intersección completa de X .

Ser una secuencia regular puede depender del orden de los elementos. Por ejemplo, x , y (1- x ), z (1- x ) es una secuencia regular en el anillo de polinomios C [ x , y , z ], mientras que y (1- x ), z (1- x ), x no es una secuencia regular. Geométricamente, en el espacio xyz C ³ , intersectando sucesivamente las variedades V( x ), V( y (1- x )), V( z (1- x )) da el plano ( x = 0 ), luego la línea ( x = y = 0 ), y finalmente el punto ( x = y = z = 0 ), disminuyendo la dimensión en 1 en cada paso. Sin embargo, intersectando sucesivamente V( y (1- x )), V( z (1- x )), V( x ) da: la unión de los planos ( y = 0) y ( x = 1); luego la unión del eje x ( y = z = 0) y el plano ( x = 1); y finalmente el punto ( x = y = z = 0). El segundo paso contiene un plano, sin disminuir la dimensión, y de hecho z (1- x ) es un divisor de cero en el anillo C [ x , y , z ]/( y (1- x )) ya que z (1- x ), y ≠ 0 pero z (1- x ) y = 0.

Sin embargo, si R es un anillo local noetheriano y los elementos r _i pertenecen al ideal máximo, o si R es un anillo graduado y los r _i son homogéneos de grado positivo, entonces cualquier permutación de una sucesión regular es una sucesión regular. De hecho, en el ejemplo anterior, la falta de regularidad se produjo debido a un plano adicional alejado del punto de intersección final ( x = y = z = 0): esto no podría ocurrir en un anillo local, cuyos ideales solo ven la vecindad del punto de intersección.

Sea R un anillo noetheriano, I un ideal en R y M un R -módulo finitamente generado . La profundidad de I en M , escrita profundidad _R ( I , M ) o simplemente profundidad( I , M ), es el supremo de las longitudes de todas las secuencias M -regulares de elementos de I . Cuando R es un anillo local noetheriano y M es un R -módulo finitamente generado, la profundidad de M , escrita profundidad _R ( M ) o simplemente profundidad( M ), significa profundidad _R ( m , M ); es decir, es el supremo de las longitudes de todas las secuencias M -regulares en el ideal maximal m de R . En particular, la profundidad de un anillo local noetheriano R significa la profundidad de R como R -módulo. Es decir, la profundidad de R es la longitud máxima de una secuencia regular en el ideal maximal.

Para un anillo local noetheriano R , la profundidad del módulo cero es ∞, ^{[ 2 ]} mientras que la profundidad de un R -módulo no nulo finitamente generado M es como máximo la dimensión de Krull de M (también llamada dimensión del soporte de M ). ^{[ 3 ]}

• Dado un dominio integral${\displaystyle R}$cualquier valor distinto de cero${\displaystyle f\in R}$da una secuencia regular.
• Para un número primo p , el anillo local Z _{( p )} es el subanillo de los números racionales formado por fracciones cuyo denominador no es múltiplo de p . El elemento p es un divisor no nulo en Z _{( p )} , y el anillo cociente de Z _{( p )} por el ideal generado por p es el cuerpo Z /( p ). Por lo tanto, p no puede extenderse a una sucesión regular más larga en el ideal maximal ( p ), y de hecho el anillo local Z _{( p )} tiene profundidad 1.
• Para cualquier cuerpo k , los elementos x ₁ , ..., x _n en el anillo de polinomios A = k [ x ₁ , ..., x _n ] forman una sucesión regular. De ello se deduce que la localización R de A en el ideal maximal m = ( x ₁ , ..., x _n ) tiene una profundidad de al menos n . De hecho, R tiene una profundidad igual a n ; es decir, no existe ninguna sucesión regular en el ideal maximal de longitud mayor que n .
• De forma más general, sea R un anillo local regular con ideal maximal m . Entonces, cualesquiera elementos r ₁ , ..., r _d de m que se mapean a una base para m / m ² como un espacio vectorial R / m forman una secuencia regular.

Un caso importante se da cuando la profundidad de un anillo local R es igual a su dimensión de Krull : entonces se dice que R es un anillo de Cohen-Macaulay . Los tres ejemplos mostrados son anillos de Cohen-Macaulay. De manera similar, un R -módulo finitamente generado M se denomina anillo de Cohen-Macaulay si su profundidad es igual a su dimensión.

• Si r ₁ , ..., r _d es una secuencia regular en un anillo R , entonces el complejo de Koszul es una resolución libre explícita de R /( r ₁ , ..., r _d ) como un R -módulo, de la forma:

${\displaystyle 0\rightarrow R^{\binom {d}{d}}\rightarrow \cdots \rightarrow R^{\binom {d}{1}}\rightarrow R\rightarrow R/(r_{1},\ldots ,r_{d})\rightarrow 0}$

En el caso especial en que R es el anillo de polinomios k [ r ₁ , ..., r _d ], esto da una resolución de k como un R -módulo.

• Si I es un ideal generado por una secuencia regular en un anillo R , entonces el anillo graduado asociado

${\displaystyle \oplus _{j\geq 0}I^{j}/I^{j+1}}$

es isomorfo al anillo de polinomios ( R / I )[ x ₁ , ..., x _d ]. En términos geométricos, se deduce que un subesquema de intersección completa local Y de cualquier esquema X tiene un fibrado normal que es un fibrado vectorial, aunque Y pueda ser singular.

• Anillo de intersección completo
• Complejo de Koszul
• Profundidad (teoría de anillos)
• Anillo Cohen-Macaulay

• Bourbaki, Nicolas (2006), Algèbre. Capítulo 10. Algèbre Homologique , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-34493-3 , ISBN 978-3-540-34492-6, MR 2327161 
• Bourbaki, Nicolas (2007), Algèbre Conmutativo. Capítulo 10 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-34395-0 , ISBN 978-3-540-34394-3, MR 2333539 
• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Anillos de Cohen-Macaulay . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1
• David Eisenbud , Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica . Springer Graduate Texts in Mathematics, n.º 150. ISBN 0-387-94268-8
• Grothendieck, Alexander (1964), "Éléments de géometrie algébrique IV. Première partie" , Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 20 : 1– 259, MR 0173675 , archivado desde el original el 13 de julio de 2012 , recuperado 2013-04-11