paquete normal

Dejar${\displaystyle (M,g)}$sea ​​una variedad riemanniana y${\displaystyle S\subset M}$una subvariedad riemanniana . Definir, para una dada${\displaystyle p\in S}$, un vector${\displaystyle n\in \mathrm {T} _{p}M}$ser normal​${\displaystyle S}$cuando sea${\displaystyle g(n,v)=0}$a pesar de${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{p}S}$(de modo que${\displaystyle n}$es ortogonal a${\displaystyle \mathrm {T} _{p}S}$). El conjunto${\displaystyle \mathrm {N} _ {p}S}$de todos tales${\displaystyle n}$entonces se llama el espacio normal a${\displaystyle S}$en${\displaystyle p}$.

Así como el espacio total del fibrado tangente a una variedad se construye a partir de todos los espacios tangentes a la variedad, el espacio total del fibrado normal ^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathrm {N} S}$a${\displaystyle S}$se define como

${\displaystyle \mathrm {N} S:=\coprod _{p\in S}\mathrm {N} _{p}S}$.

El fibrado conormal se define como el fibrado dual del fibrado normal. Puede realizarse naturalmente como un subfibrado del fibrado cotangente (de${\displaystyle M}$).

De forma más abstracta, dada una inmersión${\displaystyle i:N\to M}$(por ejemplo, una incrustación), se puede definir un haz normal de${\displaystyle N}$en${\displaystyle M}$, en cada punto de${\displaystyle N}$, tomando el espacio cociente del espacio tangente en${\displaystyle M}$por el espacio tangente en${\displaystyle N}$Para una variedad riemanniana se puede identificar este cociente con el complemento ortogonal, pero en general no se puede (tal elección es equivalente a una sección de la proyección) .${\displaystyle p:V\to V/W}$).

Así, el fibrado normal es en general un cociente del fibrado tangente del espacio ambiente.${\displaystyle M}$restringido al subespacio${\displaystyle N}$.

Formalmente, el paquete normal ^{[ 2 ]} a${\displaystyle N}$en${\displaystyle M}$es un fibrado cociente del fibrado tangente en${\displaystyle M}$: uno tiene la secuencia corta exacta de haces vectoriales en${\displaystyle N}$:

${\displaystyle 0\to \mathrm {T} N\to \mathrm {T} M\vert _{i(N)}\to \mathrm {T} _{M/N}:=\mathrm {T} M\vert _{i(N)}/\mathrm {T} N\to 0}$

dónde${\displaystyle \mathrm {T} M\vert _{i(N)}}$es la restricción del fibrado tangente en ${\displaystyle M}$a${\displaystyle N}$(correctamente, el retroceso)${\displaystyle i^{*}\mathrm {T} M}$del fibrado tangente en${\displaystyle M}$a un haz vectorial en${\displaystyle N}$a través del mapa${\displaystyle i}$). La fibra del haz normal${\displaystyle \mathrm {T} _{M/N}{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}N}$en${\displaystyle p\in N}$se denomina espacio normal en${\displaystyle p}$(de${\displaystyle N}$en${\displaystyle M}$).

Si${\displaystyle Y\subsetequ X}$es un subcolector liso de un colector${\displaystyle X}$, podemos elegir coordenadas locales${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$alrededor${\displaystyle p\in Y}$de tal manera que${\displaystyle Y}$se define localmente por${\displaystyle x_{k+1}=\dots =x_{n}=0}$; entonces con esta elección de coordenadas

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} _{p}X&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\Big |}_{p}{\Big \rbrace }\\\mathrm {T} _{p}Y&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\Big |}_{p}{\Big \rbrace }\\{\mathrm {T} _{X/Y}}_{p}&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{k+1}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\Big |}_{p}{\Big \rbrace }\\\end{aligned}}}$

y el haz ideal se genera localmente por${\displaystyle x_{k+1},\dots ,x_{n}}$Por lo tanto, podemos definir un emparejamiento no degenerado.

${\displaystyle (I_{Y}/I_{Y}^{\ 2})_{p}\times {\mathrm {T} _{X/Y}}_{p}\longrightarrow \mathbb {R} }$

que induce un isomorfismo de haces${\displaystyle \mathrm {T} _{X/Y}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{\ 2})^{\vee }}$Podemos reformular este hecho introduciendo el fibrado conormal .${\displaystyle \mathrm {T} _{X/Y}^{*}}$definido mediante la secuencia exacta conormal

${\displaystyle 0\to \mathrm {T} _{X/Y}^{*}\rightarrowtail \Omega _{X}^{1}|_{Y}\twoheadrightarrow \Omega _{Y}^{1}\to 0}$,

entonces${\displaystyle \mathrm {T} _{X/Y}^{*}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{\ 2})}$, es decir, las secciones del fibrado conormal son los vectores cotangentes a${\displaystyle X}$desapareciendo en${\displaystyle \mathrm {T} Y}$.

Cuando${\displaystyle Y=\lbrace p\rbrace }$es un punto, entonces el haz ideal es el haz de gérmenes lisos que desaparecen en${\displaystyle p}$y el isomorfismo se reduce a la definición del espacio tangente en términos de gérmenes de funciones suaves en${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm {T} _{X/\lbrace p\rbrace }^{*}\simeq (\mathrm {T} _{p}X)^{\vee }\simeq {\frac {{\mathfrak {m}}_{p}}{{\mathfrak {m}}_{p}^{\ 2}}}}$.