Colector paralelizable

En matemáticas , una variedad diferenciable${\displaystyle M}$de dimensión n se denomina paralelizable ^{[ 1 ]} si existen campos vectoriales suaves$${\displaystyle \{V_{1},\ldots,V_{n}\}}$$ en la variedad, de tal manera que en cada punto${\displaystyle p}$de${\displaystyle M}$los vectores tangentes$${\displaystyle \{V_{1}(p),\ldots,V_{n}(p)\}}$$ proporcionar una base del espacio tangente en${\displaystyle p}$. De forma equivalente, el fibrado tangente es un fibrado trivial , ^{[ 2 ]} de modo que el fibrado principal asociado de marcos lineales tiene una sección global en${\displaystyle M.}$

Una elección particular de dicha base de campos vectoriales en${\displaystyle M}$se denomina paralelización (o paralelismo absoluto ) de${\displaystyle M}$.

• Un ejemplo con${\displaystyle n=1}$es el círculo : podemos tomar V ₁ como el campo vectorial tangente unitario, digamos que apunta en sentido antihorario. El toro de dimensión${\displaystyle n}$También es paralelizable, como se puede ver al expresarlo como un producto cartesiano de círculos. Por ejemplo, tomemos${\displaystyle n=2,}$y construir un toro a partir de un cuadrado de papel cuadriculado con los bordes opuestos pegados, para obtener una idea de las dos direcciones tangentes en cada punto. De manera más general, todo grupo de Lie G es paralelizable, ya que una base para el espacio tangente en el elemento identidad puede moverse por la acción del grupo de traslación de G sobre G (toda traslación es un difeomorfismo y, por lo tanto, estas traslaciones inducen isomorfismos lineales entre espacios tangentes de puntos en G ).
• Un problema clásico era determinar cuáles de las esferas S ⁿ son paralelizable. El caso cero-dimensional S ⁰ es trivialmente paralelizable. El caso S ¹ es el círculo, que es paralelizable como ya se ha explicado. El teorema de la bola peluda muestra que S ² no es paralelizable. Sin embargo, S ³ es paralelizable, ya que es el grupo de Lie SU(2) . La única otra esfera paralelizable es S ⁷ ; esto fue demostrado en 1958 por Friedrich Hirzebruch , Michel Kervaire , y por Raoul Bott y John Milnor , en un trabajo independiente. Las esferas paralelizable corresponden precisamente a elementos de norma unitaria en las álgebras de división normadas de los números reales, números complejos, cuaterniones y octoniones , lo que permite construir un paralelismo para cada uno. Demostrar que otras esferas no son paralelizable es más difícil y requiere topología algebraica .
• El producto de variedades paralelizable es paralelizable.
• Toda variedad tridimensional cerrada y orientable es paralelizable. ^{[ 3 ]}

• Cualquier variedad paralelizable es orientable .
• El término variedad enmarcada (ocasionalmente variedad manipulada ) se aplica más comúnmente a una variedad incrustada con una trivialización dada del fibrado normal , y también a una variedad abstracta (es decir, no incrustada) con una trivialización estable dada del fibrado tangente .
• Una noción relacionada es el concepto de π-variedad . ^{[ 4 ]} Una variedad diferenciable${\displaystyle M}$Se denomina variedad π a aquella que, al estar incrustada en un espacio euclidiano de alta dimensión, tiene un fibrado normal trivial. En particular, toda variedad paralelizable es una variedad π.

• Diagrama (topología)
• variedad diferenciable
• Paquete de marcos
• invariante de Kervaire
• paquete de marcos ortonormales
• Paquete principal
• Conexión (matemáticas)
• Estructura G

• Bishop, Richard L.; Goldberg, Samuel I. (1968), Análisis tensorial en variedades (Primera  edición de Dover, 1980), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Milnor, John W.; Stasheff , James D. (1974), Clases características , Princeton University Press
• Milnor, John W. (1958), Variedades diferenciables que son esferas homotópicas (PDF) , notas mimeografiadas