haz normal estable

En la teoría de la cirugía , una rama de las matemáticas , el fibrado normal estable de una variedad diferenciable es un invariante que codifica los datos normales estables (o tangenciales). Existen análogos para generalizaciones de variedades, en particular las variedades PL y las variedades topológicas . También existe un análogo en la teoría de la homotopía para espacios de Poincaré , la fibración esférica de Spivak , que recibe su nombre de Michael Spivak . ^{[ 1 ]}

Construcción mediante incrustaciones

Dada una incrustación de una variedad en el espacio euclidiano (proporcionada por el teorema de Hassler Whitney ), tiene un fibrado normal . La incrustación no es única, pero para dimensiones altas del espacio euclidiano es única salvo isotopía , por lo que el fibrado (clase del fibrado) es único y se denomina fibrado normal estable .

Esta construcción funciona para cualquier espacio de Poincaré X : un complejo CW finito admite una incrustación estable y única (salvo homotopía) en el espacio euclidiano , mediante una posición general , y esta incrustación produce una fibración esférica sobre X. Para espacios más restringidos (en particular, variedades PL y variedades topológicas), se obtienen datos más robustos.

Detalles

Dos incrustaciones $i,i'\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ son isotópicos si son homotópicos a través de incrustaciones. Dado un espacio manifold u otro espacio adecuado X, con dos incrustaciones en el espacio euclidiano $i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m},$ $j\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n},$ En general, estos no serán isotópicos, ni siquiera se mapearán en el mismo espacio ( $m$ no tiene por qué ser igual $n$ ). Sin embargo, se pueden integrar en un espacio más grande. $\mathbf {R} ^{N}$ al dejar que el último $Nm$ Las coordenadas son 0:

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{Nm}\cong \mathbb {R} ^{N}

.

Este proceso de adjuntar copias triviales del espacio euclidiano se llama estabilización. Así, se puede disponer que cualesquiera dos incrustaciones en el espacio euclidiano se mapeen en el mismo espacio euclidiano (tomando $N=\max(m,n)$ ), y, además, si $N$ Si es suficientemente grande, estas incrustaciones son isotópicas, lo cual es un teorema.

Por lo tanto, existe una clase de isotopía estable única para las incrustaciones: no se trata de una incrustación particular (ya que existen muchas), ni de una clase de isotopía (ya que el espacio objetivo no es fijo, sino simplemente "un espacio euclidiano suficientemente grande"), sino más bien de una clase de isotopía estable de aplicaciones. El fibrado normal asociado a esta (clase estable de) incrustaciones es, por consiguiente, el fibrado normal estable.

Se puede reemplazar esta clase de isotopía estable con una clase de isotopía real fijando el espacio objetivo, ya sea utilizando el espacio de Hilbert como espacio objetivo, o (para una dimensión fija de la variedad) $n$ ) utilizando un fijo $N$ suficientemente grande, ya que N depende solo de n , no de la variedad en cuestión.

De forma más abstracta, en lugar de estabilizar la incrustación, se puede tomar cualquier incrustación y luego realizar una suma directa de haces vectoriales con un número suficiente de haces de líneas triviales; esto corresponde exactamente al haz normal de la incrustación estabilizada.

Construcción mediante la clasificación de espacios

Una n -variedad M tiene un fibrado tangente, que tiene una aplicación clasificadora (salvo homotopía).

\tau _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(n).

Componiendo con la inclusión $B{\textrm {O}}(n)\to B{\textrm {O}}$ produce (la clase de homotopía de un mapa clasificador de) el fibrado tangente estable. El fibrado normal de una incrustación $M\subset \mathbb {R} ^{n+k}$ ( $k$ grande) es una inversa $\nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)$ para $\tau _{M}$ , de tal manera que la suma de Whitney $\tau _{M}\oplus \nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(n+k)$ es trivial. La clase de homotopía del compuesto $\nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)\to B{\textrm {O}}$ es independiente de la elección de la incrustación, clasificando el haz normal estable $\nu _{M}$ .

Motivación

No existe una noción intrínseca de vector normal a una variedad, a diferencia de los vectores tangente o cotangente (por ejemplo, el espacio normal depende de la dimensión en la que se incruste), por lo que el fibrado normal estable proporciona una noción de espacio normal estable: un espacio normal (y vectores normales) salvo sumandos triviales.

¿Por qué se utilizan datos normales estables en lugar de datos tangenciales estables? Se utilizan datos normales estables en lugar de datos tangenciales inestables porque las generalizaciones de variedades tienen estructuras naturales de tipo normal estable, derivadas de entornos tubulares y generalizaciones, pero no estructuras tangenciales inestables, ya que la estructura local no es suave.

Las fibraciones esféricas sobre un espacio X se clasifican mediante las clases de homotopía de los mapas. $X\to BG$ a un espacio de clasificación $BG$ , con grupos de homotopía los grupos de homotopía estables de esferas

\pi _{*}(BG)=\pi _{*-1}^{S}

.

El mapa olvidadizo $B{\textrm {O}}\to BG$ se extiende a una secuencia de fibración

B{\textrm {O}}\to BG\to B(G/{\textrm {O}})

.

Un espacio de Poincaré X no tiene un fibrado tangente, pero sí tiene una fibración esférica estable bien definida , que para una variedad diferenciable es la fibración esférica asociada al fibrado normal estable; por lo tanto, una obstrucción primaria para que X tenga el tipo de homotopía de una variedad diferenciable es que la fibración esférica se eleva a un fibrado vectorial, es decir, la fibración esférica de Spivak. $X\to BG$ debe levantarse para $X\to B{\textrm {O}}$ , que es equivalente al mapa $X\to B(G/{\textrm {O}})$ siendo homotópico nulo Por lo tanto, la obstrucción del haz a la existencia de una estructura de variedad (suave) es la clase $X\to B(G/{\textrm {O}})$ . La obstrucción secundaria es la obstrucción de la cirugía de la pared .

Aplicaciones

El haz normal estable es fundamental en la teoría quirúrgica como obstrucción primaria:

Para que un espacio de Poincaré X tenga el tipo de homotopía de una variedad diferenciable, el mapa $X\to B(G/{\textrm {O}})$ debe ser homotópico nulo
Para una equivalencia homotópica $f\colon M\to N$ Para que entre dos variedades sea homotópico a un difeomorfismo, debe retraer el fibrado normal estable en N al fibrado normal estable en M.

En términos más generales, sus generalizaciones sirven como sustitutos del fibrado tangente (inestable).

Referencias

↑ Spivak, Michael (1967), "Espacios que satisfacen la dualidad de Poincaré", Topology , 6 (6): 77–101 , doi : 10.1016/0040-9383(67)90016-X , MR 0214071

[1] Spivak, Michael (1967), "Espacios que satisfacen la dualidad de Poincaré", Topology , 6 (6): 77–101 , doi : 10.1016/0040-9383(67)90016-X , MR 0214071

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