obstrucción quirúrgica

En matemáticas , específicamente en la teoría quirúrgica , las obstrucciones quirúrgicas definen un mapa.${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))}$de los invariantes normales a los L-grupos que en primera instancia es un mapa de teoría de conjuntos (es decir, no necesariamente un homomorfismo ) con la siguiente propiedad cuando${\displaystyle n\geq 5}$:

Un mapa normal de grado uno${\displaystyle (f,b)\colon M\to X}$es normalmente cobordante a una equivalencia homotópica si y solo si la imagen${\displaystyle \theta (f,b)=0}$en${\displaystyle L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _ {1}(X)])}$.

La obstrucción quirúrgica de un mapa normal de grado uno tiene una definición relativamente compleja.

Consideremos un mapa normal de grado uno.${\displaystyle (f,b)\colon M\to X}$La idea al decidir la cuestión de si normalmente es cobordante a una equivalencia homotópica es tratar de mejorar sistemáticamente${\displaystyle (f,b)}$para que el mapa${\displaystyle f}$se convierte${\displaystyle m}$-conectados (es decir, los grupos homotópicos)${\displaystyle \pi _{*}(f)=0}$para${\displaystyle *\leq m}$) para alto${\displaystyle m}$. Es una consecuencia de la dualidad de Poincaré que si podemos lograr esto para${\displaystyle m>\lfloor n/2\rfloor }$luego el mapa${\displaystyle f}$ya es una equivalencia homotópica. La palabra sistemáticamente arriba se refiere al hecho de que uno intenta realizar cirugías en${\displaystyle M}$matar elementos de${\displaystyle \pi _{i}(f)}$De hecho, es más conveniente utilizar la homología de las cubiertas universales para observar cuán conectado está el mapa.${\displaystyle f}$Es. Más precisamente, se trabaja con los núcleos quirúrgicos.${\displaystyle K_{i}({\tilde {M}}):=\mathrm {ker} \{f_{*}\colon H_{i}({\tilde {M}})\rightarrow H_{i}({\tilde {X}})\}}$que uno considera como${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$-módulos. Si todos estos desaparecen, entonces el mapa${\displaystyle f}$es una equivalencia homotópica. Como consecuencia de la dualidad de Poincaré en${\displaystyle M}$y${\displaystyle X}$hay un${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$-módulos de dualidad de Poincaré${\displaystyle K^{n-i}({\tilde {M}})\cong K_{i}({\tilde {M}})}$, así que uno solo tiene que ver la mitad de ellos, es decir, aquellos para los que${\displaystyle i\leq \lfloor n/2\rfloor }$.

Se puede hacer cualquier mapa normal de grado uno.${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$-conectado por el proceso llamado cirugía por debajo de la dimensión media. Este es el proceso de matar elementos de${\displaystyle K_{i}({\tilde {M}})}$para${\displaystyle i<\lfloor n/2\rfloor }$descrito aquí cuando tenemos${\displaystyle p+q=n}$de tal manera que${\displaystyle i=p<\lfloor n/2\rfloor }$. Una vez hecho esto, hay dos casos.

1. Si${\displaystyle n=2k}$Entonces, el único grupo de homología no trivial es el núcleo.${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}}):=\mathrm {ker} \{f_{*}\colon H_{k}({\tilde {M}})\rightarrow H_{k}({\tilde {X}})\}}$Resulta que las combinaciones de tazas y productos en${\displaystyle M}$y${\displaystyle X}$inducir un emparejamiento de taza-producto en${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}})}$. Esto define una forma bilineal simétrica en caso${\displaystyle k=2l}$y una forma bilineal antisimétrica en caso${\displaystyle k=2l+1}$Resulta que estas formas pueden ser refinadas para${\displaystyle \varepsilon }$-formas cuadráticas, donde${\displaystyle \varepsilon =(-1)^{k}}$. Estos${\displaystyle \varepsilon }$Las formas cuadráticas definen elementos en los grupos L.${\displaystyle L_{n}(\pi _{1}(X))}$.

2. Si${\displaystyle n=2k+1}$La definición es más complicada. En lugar de una forma cuadrática, se obtiene de la geometría una formación cuadrática, que es una especie de automorfismo de formas cuadráticas. Tal cosa define un elemento en el grupo L de dimensión impar.${\displaystyle L_{n}(\pi _{1}(X))}$.

Si el elemento${\displaystyle \theta (f,b)}$es cero en el grupo L la cirugía se puede realizar en${\displaystyle M}$modificar${\displaystyle f}$a una equivalencia homotópica.

Geométricamente, la razón por la que esto no siempre es posible es que realizar una cirugía en la dimensión media para matar un elemento en${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}})}$posiblemente crea un elemento en${\displaystyle K_{k-1}({\tilde {M}})}$cuando${\displaystyle n=2k}$o en${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}})}$cuando${\displaystyle n=2k+1}$. Por lo tanto, esto posiblemente destruya lo que ya se ha logrado. Sin embargo, si${\displaystyle \theta (f,b)}$Si es cero, las cirugías se pueden organizar de tal manera que esto no suceda.

En el caso de conexiones simples ocurre lo siguiente.

Si${\displaystyle n=2k+1}$No hay ninguna obstrucción.

Si${\displaystyle n=4l}$Entonces, la obstrucción quirúrgica se puede calcular como la diferencia de las firmas de M y X.

Si${\displaystyle n=4l+2}$entonces la obstrucción quirúrgica es el Arf-invariante de la forma cuadrática del núcleo asociado sobre${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$.

• Browder, William (1972), Cirugía en variedades simplemente conexas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR 0358813 
• Lück, Wolfgang (2002), Introducción básica a la teoría de la cirugía (PDF) , ICTP Lecture Notes Series 9, Band 1, de la escuela "Teoría de variedades de alta dimensión" en Trieste, mayo/junio de 2001, Centro Internacional Abdus Salam de Física Teórica, Trieste 1-224
• Ranicki, Andrew (2002), Cirugía algebraica y geométrica , Monografías matemáticas de Oxford, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0, MR 2061749 
• Wall, CTC (1999), Cirugía en variedades compactas , Mathematical Surveys and Monographs, vol.  69 (2.ª  ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0942-6, MR 1687388