Teoría de la cirugía

En matemáticas , específicamente en topología geométrica , la teoría de la cirugía es un conjunto de técnicas utilizadas para producir una variedad de dimensión finita a partir de otra de manera "controlada", introducida por John Milnor  ( 1961 ). Milnor llamó a esta técnica cirugía , mientras que Andrew Wallace la llamó modificación esférica . ^{[ 1 ]} La "cirugía" en una variedad diferenciable M de dimensión podría describirse como la eliminación de una esfera incrustada de dimensión p de M. ^{[ 2} ] Originalmente desarrolladas para variedades diferenciables (o suaves ), las técnicas ^de cirugía también se aplican a variedades lineales a trozos (PL) y topológicas . ${\displaystyle n=p+q+1}$

La cirugía consiste en extirpar partes del colector y reemplazarlas con partes de otro colector, haciendo coincidir los bordes del corte o del límite. Esto guarda una estrecha relación con la descomposición del cuerpo del mango , aunque no es idéntico.

En términos más técnicos, la idea consiste en partir de una variedad M bien conocida y realizarle una cirugía para producir una variedad M ′ con alguna propiedad deseada, de manera que se conozcan los efectos sobre la homología , los grupos de homotopía u otros invariantes de la variedad. Un argumento relativamente sencillo que utiliza la teoría de Morse muestra que una variedad puede obtenerse a partir de otra mediante una secuencia de modificaciones esféricas si y solo si ambas pertenecen a la misma clase de cobordismo . ^{[ 1 ]}

La clasificación de esferas exóticas realizada por Michel Kervaire y Milnor  ( 1963 ) condujo al surgimiento de la teoría de la cirugía como una herramienta importante en la topología de alta dimensión.

Si X e Y son variedades con frontera, entonces la frontera de la variedad producto es

${\displaystyle \partial (X\times Y)=(\partial X\times Y)\cup (X\times \partial Y).}$

La observación básica que justifica la cirugía es que el espacio puede entenderse como el límite de o como el límite de . En símbolos, ${\displaystyle S^{p}\times S^{q-1}}$${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}}$${\displaystyle S^{p}\times D^{q}}$

${\displaystyle \partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)=S^{p}\times S^{q-1}=\partial \left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right)}$,

donde es el disco q- dimensional, es decir, el conjunto de puntos en que están a una distancia uno o menos de un punto fijo dado (el centro del disco); por ejemplo, entonces, es homeomorfo al intervalo unitario, mientras que es un círculo junto con los puntos en su interior. ${\displaystyle D^{q}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$${\displaystyle D^{1}}$${\displaystyle D^{2}}$

Ahora, dada una variedad M de dimensión y una incrustación , definamos otra variedad n -dimensional como ${\displaystyle n=p+q}$${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$${\displaystyle M'}$

${\displaystyle M':=\left(M\setminus \operatorname {int} (\operatorname {im} (\phi ))\right)\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times S^{q-1}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).}$

Dado que y a partir de la ecuación de nuestra observación básica anterior, el pegado está justificado entonces ${\displaystyle \operatorname {im} (\phi )=\phi (S^{p}\times D^{q})}$

${\displaystyle \phi \left(\partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)\right)=\phi \left(S^{p}\times S^{q-1}\right).}$

Se dice que la variedad M ′ se produce mediante una cirugía de recorte y pegado , o mediante una p - cirugía si se desea especificar el número p . Estrictamente hablando, M ′ es una variedad con esquinas, pero existe una forma canónica de suavizarlas. Nótese que la subvariedad que se reemplazó en M tenía la misma dimensión que M (era de codimensión 0). ${\displaystyle S^{p}\times D^{q}}$${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}}$

La cirugía está estrechamente relacionada con (pero no es lo mismo que) la fijación de asas . Dada una -variedad con frontera y una incrustación , donde , definimos otra -variedad con frontera L ′ mediante ${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle (L,\partial L)}$${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to \partial L}$${\displaystyle n=p+q}$${\displaystyle (n+1)}$

${\displaystyle L':=L\;\cup _{\phi }\left(D^{p+1}\times D^{q}\right).}$

La variedad L ′ se obtiene "adjuntando un asa", con obtenida a partir de una p -cirugía. ${\displaystyle (p+1)}$${\displaystyle \partial L'}$${\displaystyle \partial L}$

${\displaystyle \partial L'=(\partial L\setminus \operatorname {int} (\operatorname {im} (\phi )))\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times D^{q}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).}$

Una cirugía en M no solo produce una nueva variedad M ′, sino también un cobordismo W entre M y M ′. La huella de la cirugía es el cobordismo , con ${\displaystyle (W;M,M')}$

${\displaystyle W:=(M\times I)\;\cup _{\phi \times \{1\}}\left(D^{p+1}\times D^{q}\right)}$

la variedad -dimensional con frontera obtenida a partir del producto al adjuntar un -asa . ${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle \partial W=M\cup M'}$${\displaystyle M\times I}$${\displaystyle (p+1)}$${\displaystyle D^{p+1}\times D^{q}}$

La cirugía es simétrica en el sentido de que la variedad M puede ser re-obtenida a partir de M ′ mediante una cirugía, cuya traza coincide con la traza de la cirugía original, salvo orientación. ${\displaystyle (q-1)}$

En la mayoría de las aplicaciones, la variedad M viene con una estructura geométrica adicional, como un mapeo a algún espacio de referencia o datos de fibrados adicionales. Entonces se busca que el proceso de cirugía dote a M ′ con el mismo tipo de estructura adicional. Por ejemplo, una herramienta estándar en la teoría de la cirugía es la cirugía de mapas normales : dicho proceso cambia un mapa normal por otro mapa normal dentro de la misma clase de bordismo.

Intuitivamente, el proceso de cirugía es el análogo en variedad de la unión de una célula a un espacio topológico, donde la incrustación reemplaza al mapa de unión. Una simple unión de una célula a una variedad de dimensión n destruiría la estructura de la variedad por razones dimensionales, por lo que debe reforzarse mediante el cruce con otra célula. ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle (p+1)}$

Hasta la homotopía, el proceso de cirugía en una incrustación puede describirse como la unión de una -celda, que da el tipo de homotopía de la traza, y el desprendimiento de una q- celda para obtener N. La necesidad del proceso de desprendimiento puede entenderse como un efecto de la dualidad de Poincaré . ${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$${\displaystyle (p+1)}$

De la misma manera que se puede adjuntar una celda a un espacio para eliminar un elemento en algún grupo de homotopía de dicho espacio, una p -cirugía en una variedad M a menudo puede usarse para eliminar un elemento . Sin embargo, dos puntos son importantes: Primero, el elemento debe ser representable mediante una incrustación (lo que significa incrustar la esfera correspondiente con un fibrado normal trivial ). Por ejemplo, no es posible realizar una cirugía en un bucle de inversión de orientación. Segundo, debe considerarse el efecto del proceso de desprendimiento, ya que también podría afectar al grupo de homotopía en cuestión. En términos generales, este segundo punto solo es importante cuando p es al menos del orden de la mitad de la dimensión  de M.${\displaystyle \alpha \in \pi _{p}(M)}$${\displaystyle \alpha \in \pi _{p}(M)}$${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$

El origen y la principal aplicación de la teoría quirúrgica radican en la clasificación de variedades de dimensión mayor que cuatro. En términos generales, las cuestiones organizativas de la teoría quirúrgica son:

• ¿Es X un colector?
• ¿Es f un difeomorfismo?

De manera más formal, se plantean estas preguntas hasta la homotopía :

• ¿Tiene un espacio X el tipo de homotopía de una variedad diferenciable de una dimensión dada?
• ¿ Es una equivalencia homotópica entre dos variedades diferenciables homotópica a un difeomorfismo?${\displaystyle f\colon M\to N}$

Resulta que la segunda pregunta ("de unicidad") es una versión relativa de una pregunta del primer tipo ("de existencia"); por lo tanto, ambas preguntas pueden tratarse con los mismos métodos.

Cabe señalar que la teoría quirúrgica no proporciona un conjunto completo de invariantes para estas cuestiones. En cambio, se basa en la teoría de la obstrucción : existe una obstrucción primaria y una obstrucción secundaria, denominada obstrucción quirúrgica , que solo se define si la obstrucción primaria desaparece y que depende de la elección realizada para verificar dicha desaparición.

En el enfoque clásico, desarrollado por William Browder , Sergei Novikov , Dennis Sullivan y CTC Wall , la cirugía se realiza sobre mapas normales de grado uno. Mediante la cirugía, la pregunta "¿Es el mapa normal de grado uno cobordante a una equivalencia homotópica?" puede traducirse (en dimensiones mayores que cuatro) a una afirmación algebraica sobre algún elemento en un L-grupo del anillo de grupo . Más precisamente, la pregunta tiene una respuesta positiva si y solo si la obstrucción de la cirugía es cero, donde n es la dimensión de M.${\displaystyle f\colon M\to X}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$${\displaystyle \sigma (f)\in L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])}$

Por ejemplo, consideremos el caso en que la dimensión n = 4k es un múltiplo de cuatro, y . Se sabe que es isomorfo a los enteros ; bajo este isomorfismo, la obstrucción quirúrgica de f es proporcional a la diferencia de las signaturas de X y M. Por lo tanto, una aplicación normal de grado uno es cobordante a una equivalencia homotópica si y solo si las signaturas del dominio y el codominio coinciden. ${\displaystyle \pi _{1}(X)=0}$${\displaystyle L_{4k}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \sigma (X)-\sigma (M)}$

Volviendo a la cuestión de la "existencia" planteada anteriormente, vemos que un espacio X tiene el tipo de homotopía de una variedad diferenciable si y solo si recibe una aplicación normal de grado uno cuya obstrucción quirúrgica se anula. Esto conduce a un proceso de obstrucción de varios pasos: para hablar de aplicaciones normales, X debe satisfacer una versión apropiada de la dualidad de Poincaré que lo convierte en un complejo de Poincaré . Suponiendo que X es un complejo de Poincaré, la construcción de Pontryagin-Thom muestra que existe una aplicación normal de grado uno a X si y solo si la fibración normal de Spivak de X tiene una reducción a un fibrado vectorial estable . Si existen aplicaciones normales de grado uno a X , sus clases de bordismo (llamadas invariantes normales ) se clasifican mediante el conjunto de clases de homotopía . Cada uno de estos invariantes normales tiene una obstrucción quirúrgica; X tiene el tipo de homotopía de una variedad diferenciable si y solo si una de estas obstrucciones es cero. Dicho de otro modo, esto significa que hay una opción de invariante normal con imagen cero bajo el mapa de obstrucción quirúrgica.${\displaystyle [X,G/O]}$

${\displaystyle [X,G/O]\to L_{n}\left(\mathbb {Z} \left[\pi _{1}(X)\right]\right).}$

El concepto de conjunto de estructura es el marco unificador para las cuestiones de existencia y unicidad. En términos generales, el conjunto de estructura de un espacio X consiste en equivalencias homotópicas M → X de alguna variedad a X , donde dos aplicaciones se identifican bajo una relación de tipo bordismo. Una condición necesaria (pero no suficiente en general) para que el conjunto de estructura de un espacio X no sea vacío es que X sea un complejo de Poincaré n- dimensional, es decir, que los grupos de homología y cohomología estén relacionados por isomorfismos de una variedad n -dimensional, para algún entero n . Dependiendo de la definición precisa y la categoría de variedades ( lisas , PL o topológicas ), existen diversas versiones de conjuntos de estructura. Dado que, por el teorema de s-cobordismo , ciertos bordismos entre variedades son isomorfos (en la categoría correspondiente) a cilindros, el concepto de conjunto de estructura permite una clasificación incluso hasta el difeomorfismo . ${\displaystyle H^{*}(X)\cong H_{n-*}(X)}$

El conjunto de estructuras y el mapa de obstrucción quirúrgica se combinan en la secuencia exacta quirúrgica . Esta secuencia permite determinar el conjunto de estructuras de un complejo de Poincaré una vez que se comprende el mapa de obstrucción quirúrgica (y una versión relativa del mismo). En casos importantes, el conjunto de estructuras liso o topológico puede calcularse mediante la secuencia exacta quirúrgica. Ejemplos de ello son la clasificación de esferas exóticas y las demostraciones de la conjetura de Borel para variedades de curvatura negativa y variedades con grupo fundamental hiperbólico .

En la categoría topológica, la secuencia exacta de cirugía es la secuencia exacta larga inducida por una secuencia de fibración de espectros . Esto implica que todos los conjuntos involucrados en la secuencia son, de hecho, grupos abelianos. A nivel de espectro, el mapa de obstrucción de cirugía es un mapa de ensamblaje cuya fibra es el espacio de estructura de bloques de la variedad correspondiente.

• teorema de s-cobordismo
• teorema de h-cobordismo
• torsión de Whitehead
• Cirugía de Dehn
• Descomposición de variedades
• Carácter de orientación
• Fontanería (matemáticas)

• Surgery Theory for Amateurs
• Edinburgh Surgery Theory Study Group
• 2012 Oberwolfach Seminar on Surgery theory on the Manifold Atlas Project
• 2012 Regensburg Blockseminar on Surgery theory on the Manifold Atlas Project
• Jacob Lurie's 2011 Harvard surgery courseLecture notes
• Andrew Ranicki's homepage
• Shmuel Weinberger's homepage