Conjunto completo de invariantes

En matemáticas , un conjunto completo de invariantes para un problema de clasificación es una colección de mapas.

${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$

(donde es la colección de objetos que se están clasificando, hasta cierta relación de equivalencia , y son algunos conjuntos), tales que si y solo si para todos . En palabras, tales que dos objetos son equivalentes si y solo si todos los invariantes son iguales. ^[1]${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización \sim}$${\displaystyle Y_{i}}$${\estilo de visualización x\sim x'}$${\displaystyle f_{i}(x)=f_{i}(x')}$${\estilo de visualización i}$

Simbólicamente, un conjunto completo de invariantes es una colección de mapas tales que

${\displaystyle \left(\prod f_{i}\right):(X/\sim )\to \left(\prod Y_{i}\right)}$

es inyectiva​

Como los invariantes son, por definición, iguales en objetos equivalentes, la igualdad de los invariantes es una condición necesaria para la equivalencia; un conjunto completo de invariantes es un conjunto tal que la igualdad de estos también es suficiente para la equivalencia. En el contexto de una acción de grupo, esto puede expresarse como: los invariantes son funciones de los coinvariantes (clases de equivalencia, órbitas), y un conjunto completo de invariantes caracteriza a los coinvariantes (es un conjunto de ecuaciones definitorias para los coinvariantes).

• En la clasificación de variedades cerradas bidimensionales , la característica de Euler (o género ) y la orientabilidad son un conjunto completo de invariantes.
• La forma normal de Jordan de una matriz es un invariante completo para matrices hasta la conjugación, pero los valores propios (con multiplicidades) no lo son.

Un conjunto completo de invariantes no produce inmediatamente un teorema de clasificación : no todas las combinaciones de invariantes pueden realizarse. Simbólicamente, también hay que determinar la imagen de

${\displaystyle \prod f_{i}:X\to \prod Y_{i}.}$