Mapa de ensamblaje

En matemáticas , los mapas de ensamblaje son un concepto importante en topología geométrica . Desde la perspectiva de la teoría de la homotopía , un mapa de ensamblaje es una aproximación universal de un functor invariante por homotopía mediante una teoría de homología por la izquierda. Desde la perspectiva geométrica, los mapas de ensamblaje corresponden a "ensamblar" datos locales sobre un espacio de parámetros para obtener datos globales.

Los mapas de ensamblaje para la teoría K algebraica y la teoría L juegan un papel central en la topología de las variedades de alta dimensión , ya que sus fibras de homotopía tienen una interpretación geométrica directa.

Es un resultado clásico que para cualquier teoría de homología generalizada${\displaystyle h_{*}}$En la categoría de espacios topológicos (que se suponen homotópicamente equivalentes a los complejos CW ), existe un espectro${\displaystyle E}$de tal manera que

${\displaystyle h_{*}(X)\cong \pi _{*}(X_{+}\wedge E),}$

dónde${\displaystyle X_{+}:=X\sqcup \{*\}}$.

El functor${\displaystyle X\mapsto X_{+}\wedge E}$La transformación de espacios a espectros tiene las siguientes propiedades:

• Es homotópicamente invariante (conserva las equivalencias homotópicas). Esto refleja el hecho de que${\displaystyle h_{*}}$es invariante por homotopía.
• Conserva los cuadrados co-cartesianos homotópicos. Esto refleja el hecho de que${\displaystyle h_{*}}$tiene secuencias de Mayer-Vietoris , una caracterización equivalente de la escisión.
• Preserva coproductos arbitrarios . Esto refleja el axioma de unión disjunta de${\displaystyle h_{*}}$.

Un functor de espacios a espectros que cumple estas propiedades se llama excisivo .

Ahora supongamos que${\displaystyle F}$es un functor invariante por homotopía, no necesariamente escisivo. Un mapa de ensamblaje es una transformación natural.${\displaystyle \alpha \colon F^{\%}\to F}$de algún functor exclusivo${\displaystyle F^{\%}}$a${\displaystyle F}$de tal manera que${\displaystyle F^{\%}(*)\to F(*)}$es una equivalencia homotópica.

Si denotamos por${\displaystyle h_{*}:=\pi _{*}\circ F^{\%}}$De la teoría de homología asociada, se deduce que la transformación natural inducida de grupos abelianos graduados${\displaystyle h_{*}\to \pi _{*}\circ F}$es la transformación universal de una teoría de homología a${\displaystyle \pi _{*}\circ F}$, es decir, cualquier otra transformación${\displaystyle k_{*}\to \pi _{*}\circ F}$de alguna teoría de homología${\displaystyle k_{*}}$factores de forma única a través de una transformación de las teorías de homología${\displaystyle k_{*}\to h_{*}}$.

Existen mapas de ensamblaje para cualquier functor invariante por homotopía, mediante una sencilla construcción basada en la teoría de la homotopía.

Como consecuencia de la secuencia de Mayer-Vietoris , el valor de un functor escisivo en un espacio${\displaystyle X}$solo depende de su valor en subespacios 'pequeños' de${\displaystyle X}$junto con el conocimiento de cómo se intersecan estos pequeños subespacios. En una representación cíclica de la teoría de homología asociada, esto significa que todos los ciclos deben poder representarse mediante ciclos pequeños. Por ejemplo, para la homología singular , la propiedad de escisión se demuestra mediante la subdivisión de símplices , obteniendo sumas de símplices pequeños que representan clases de homología arbitrarias.

En este sentido, para ciertos functores homotópicamente invariantes que no son excisivos, la teoría excisiva correspondiente puede construirse imponiendo "condiciones de control", lo que da lugar al campo de la topología controlada . En este contexto, los mapas de ensamblaje son mapas de "olvido de control", es decir, se inducen al olvidar las condiciones de control.

Los mapas de ensamblaje se estudian en topología geométrica principalmente para los dos functores.${\displaystyle L(X)}$, teoría L algebraica de${\displaystyle X}$, y${\displaystyle A(X)}$, K-teoría algebraica de espacios de${\displaystyle X}$. De hecho, las fibras de homotopía de ambos mapas de ensamblaje tienen una interpretación geométrica directa cuando${\displaystyle X}$es una variedad topológica compacta. Por lo tanto, el conocimiento sobre la geometría de las variedades topológicas compactas se puede obtener estudiando${\displaystyle K}$- y${\displaystyle L}$-teoría y sus respectivos mapas de ensamblaje.

En el caso de${\displaystyle L}$-teoría, la fibra homotópica${\displaystyle L_{\%}(M)}$del mapa de ensamblaje correspondiente${\displaystyle L^{\%}(M)\to L(M)}$, evaluado en una variedad topológica compacta${\displaystyle M}$, es homotópicamente equivalente al espacio de estructuras de bloques de${\displaystyle M}$Además, la secuencia de fibración

${\displaystyle L_{\%}(M)\to L^{\%}(M)\to L(M)}$

induce una larga secuencia exacta de grupos homotópicos que pueden identificarse con la secuencia exacta de cirugía de${\displaystyle M}$Esto puede denominarse el teorema fundamental de la teoría quirúrgica y fue desarrollado posteriormente por William Browder , Sergei Novikov , Dennis Sullivan , CTC Wall , Frank Quinn y Andrew Ranicki . ^{[ 1 ]}

Para${\displaystyle A}$-teoría, la fibra homotópica${\displaystyle A_{\%}(M)}$del mapa de ensamblaje correspondiente es homotópicamente equivalente al espacio de h-cobordismos estables en${\displaystyle M}$Este hecho se denomina teorema de h-cobordismo parametrizado estable , demostrado por Waldhausen-Jahren-Rognes. Puede considerarse una versión parametrizada del teorema clásico que establece que las clases de equivalencia de h-cobordismos en${\displaystyle M}$están en correspondencia uno a uno con elementos del grupo Whitehead de${\displaystyle \pi _{1}(M)}$.