Grupo de homotopía

En matemáticas , los grupos de homotopía se utilizan en topología algebraica para clasificar espacios topológicos . El primer y más simple grupo de homotopía es el grupo fundamental , denotado${\displaystyle \pi _{1}(X),}$que registra información sobre bucles en un espacio . Intuitivamente, los grupos de homotopía registran información sobre la forma básica, o agujeros , de un espacio topológico.

Para definir el n -ésimo grupo de homotopía, las aplicaciones que preservan el punto base desde una esfera n- dimensional (con punto base ) a un espacio dado (con punto base ) se agrupan en clases de equivalencia , llamadas clases de homotopía . Dos aplicaciones son homotópicas si una puede deformarse continuamente en la otra. Estas clases de homotopía forman un grupo , llamado el n -ésimo grupo de homotopía ,${\displaystyle \pi _{n}(X),}$del espacio dado X con punto base. Los espacios topológicos con grupos de homotopía diferentes nunca son homeomorfos , pero los espacios topológicos que no son homeomorfos pueden tener los mismos grupos de homotopía.

La noción de homotopía de caminos fue introducida por Camille Jordan . ^{[ 1 ]}

En matemáticas modernas , es común estudiar una categoría asociando a cada objeto de dicha categoría un objeto más simple que aún conserva información suficiente sobre el objeto de interés. Los grupos de homotopía son una forma de asociar grupos a espacios topológicos.

Esa conexión entre topología y grupos permite a los matemáticos aplicar ideas de la teoría de grupos a la topología . Por ejemplo, si dos objetos topológicos tienen grupos de homotopía diferentes, no pueden tener la misma estructura topológica , un hecho que puede ser difícil de demostrar utilizando únicamente métodos topológicos. Por ejemplo, el toro es diferente de la esfera : el toro tiene un "agujero"; la esfera no. Sin embargo, dado que la continuidad (la noción básica de topología) solo se ocupa de la estructura local, puede ser difícil definir formalmente la obvia diferencia global. Los grupos de homotopía, en cambio, contienen información sobre la estructura global.

En cuanto al ejemplo: el primer grupo de homotopía del toro${\displaystyle T}$es $${\displaystyle \pi _{1}(T)=\mathbb {Z} ^{2},}$$ porque la cubierta universal del toro es el plano euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$mapeo al toro${\displaystyle T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.}$Aquí el cociente pertenece a la categoría de espacios topológicos, en lugar de grupos o anillos. Por otro lado, la esfera${\displaystyle S^{2}}$Satisface: $${\displaystyle \pi _{1}\left(S^{2}\right)=0,}$$ porque cada bucle puede contraerse a una función constante (véanse los grupos de homotopía de esferas para este y otros ejemplos más complejos). Por lo tanto, el toro no es homeomorfo a la esfera.

En la n -esfera${\displaystyle S^{n}}$Elegimos un punto base a . Para un espacio X con punto base b , definimos${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ser el conjunto de clases de homotopía de mapas $${\displaystyle f:S^{n}\to X\mid f(a)=b}$$ que mapean el punto base a al punto base b . En particular, las clases de equivalencia vienen dadas por homotopías que son constantes en el punto base de la esfera. De forma equivalente, definimos${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ser el grupo de clases de homotopía de mapas${\displaystyle g:[0,1]^{n}\to X}$del n -cubo a X que toman el límite del n -cubo a b .

Para${\displaystyle n\geq 1,}$Las clases de homotopía forman un grupo . Para definir la operación de grupo, recordemos que en el grupo fundamental , el producto${\displaystyle f\ast g}$de dos bucles${\displaystyle f,g:[0,1]\to X}$se define mediante la configuración $${\displaystyle (f*g)(t)={\begin{cases}f(2t)&t\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t-1)&t\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$$

La idea de composición en el grupo fundamental es la de recorrer el primer camino y el segundo sucesivamente, o, equivalentemente, unir sus dos dominios. El concepto de composición que buscamos para el n -ésimo grupo de homotopía es el mismo, excepto que ahora los dominios que unimos son cubos, y debemos pegarlos a lo largo de una cara. Por lo tanto, definimos la suma de mapas${\displaystyle f,g:[0,1]^{n}\to X}$por la fórmula $${\displaystyle (f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})={\begin{cases}f(2t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$$

Para la definición correspondiente en términos de esferas, defina la suma${\displaystyle f+g}$de mapas${\displaystyle f,g:S^{n}\to X}$ser${\displaystyle \Psi }$compuesto con h , donde${\displaystyle \Psi }$es el mapa de${\displaystyle S^{n}}$a la suma de cuñas de dos n- esferas que colapsa el ecuador y h es el mapeo de la suma de cuñas de dos n- esferas a X que se define como f en la primera esfera y g en la segunda.

Si${\displaystyle n\geq 2,}$entonces${\displaystyle \pi _{n}}$es abeliano . ^{[ 2 ]} Además, de forma similar al grupo fundamental, para un espacio conexo por caminos cualesquiera dos elecciones de punto base dan lugar a isomorfos${\displaystyle \pi _{n}.}$^{[ 3 ]}

Resulta tentador intentar simplificar la definición de grupos de homotopía omitiendo los puntos base, pero esto no suele funcionar para espacios que no son simplemente conexos , ni siquiera para espacios conexos por caminos. El conjunto de clases de homotopía de aplicaciones de una esfera a un espacio conexo por caminos no es el grupo de homotopía, sino que es esencialmente el conjunto de órbitas del grupo fundamental sobre el grupo de homotopía, y en general no posee una estructura de grupo natural.

Se ha encontrado una solución a estas dificultades definiendo grupoides de homotopía superior de espacios filtrados y de n -cubos de espacios. Estos se relacionan con grupos de homotopía relativa y con grupos de homotopía n -ádica, respectivamente. Un teorema de homotopía superior de van Kampen permite entonces derivar nueva información sobre grupos de homotopía e incluso sobre tipos de homotopía. Para más información y referencias, véase «Teoría de grupos de dimensiones superiores» y las referencias que aparecen a continuación.

Dejar${\displaystyle p:E\to B}$ser una fibración de Serre que preserva el punto base con fibra${\displaystyle F,}$Es decir, un mapa que posee la propiedad de levantamiento de homotopía con respecto a complejos CW . Supongamos que B es conexo por caminos. Entonces existe una larga sucesión exacta de grupos de homotopía. $${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to 0.}$$

Aquí los mapas que involucran${\displaystyle \pi _{0}}$no son homomorfismos de grupo porque el${\displaystyle \pi _{0}}$no son grupos, pero son exactos en el sentido de que la imagen es igual al núcleo .

Ejemplo: la fibración de Hopf . Sea B igual${\displaystyle S^{2}}$y E igual${\displaystyle S^{3}.}$Sea p la fibración de Hopf , que tiene fibra${\displaystyle S^{1}.}$De la secuencia exacta larga $${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(S^{1})\to \pi _{n}(S^{3})\to \pi _{n}(S^{2})\to \pi _{n-1}(S^{1})\to \cdots }$$

y el hecho de que${\displaystyle \pi _{n}(S^{1})=0}$para${\displaystyle n\geq 2,}$encontramos que${\displaystyle \pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})}$para${\displaystyle n\geq 3.}$En particular,${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})=\pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z}.}$

En el caso de un espacio de cobertura, cuando la fibra es discreta, tenemos que${\displaystyle \pi _{n}(E)}$es isomorfo a${\displaystyle \pi _{n}(B)}$para${\displaystyle n>1,}$eso${\displaystyle \pi _{n}(E)}$se incrusta de forma inyectiva en${\displaystyle \pi _{n}(B)}$para todos los positivos${\displaystyle n,}$y que el subgrupo de${\displaystyle \pi _{1}(B)}$que corresponde a la incrustación de${\displaystyle \pi _{1}(E)}$tiene clases laterales en biyección con los elementos de la fibra.

Cuando la fibración es la fibra de mapeo , o dualmente, la cofibración es el cono de mapeo , entonces la secuencia exacta resultante (o dualmente, coexacta) viene dada por la secuencia de Puppe .

El cálculo de grupos de homotopía es, en general, mucho más difícil que el de otros invariantes de homotopía estudiados en topología algebraica. A diferencia del teorema de Seifert-van Kampen para el grupo fundamental y del teorema de escisión para la homología y cohomología singulares , no existe un método sencillo conocido para calcular los grupos de homotopía de un espacio dividiéndolo en espacios más pequeños. Sin embargo, los métodos desarrollados en la década de 1980, que involucran un teorema de tipo van Kampen para grupoides de homotopía superior, han permitido nuevos cálculos sobre tipos de homotopía y, por ende, sobre grupos de homotopía. Véase, como ejemplo, el artículo de Ellis y Mikhailov de 2010. ^{[ 6 ]}

Para algunos espacios, como los toros , todos los grupos de homotopía superiores (es decir, los grupos de homotopía de segundo orden y superiores) son triviales . Estos son los llamados espacios asféricos . Sin embargo, a pesar de la intensa investigación en el cálculo de los grupos de homotopía de las esferas, incluso en dos dimensiones no se conoce una lista completa. Para calcular incluso el cuarto grupo de homotopía de${\displaystyle S^{2}}$Se necesitan técnicas mucho más avanzadas de lo que sugieren las definiciones. En particular, la secuencia espectral de Serre se construyó precisamente con este propósito.

Ciertos grupos de homotopía de espacios n -conexos pueden calcularse por comparación con grupos de homología mediante el teorema de Hurewicz .

• La secuencia exacta larga de grupos de homotopía de una fibración.
• El teorema de Hurewicz , que tiene varias versiones.
• Teorema de Blakers-Massey , también conocido como escisión para grupos de homotopía .
• Teorema de suspensión de Freudenthal , un corolario de la escisión para grupos homotópicos.

También existe una generalización útil de los grupos de homotopía,${\displaystyle \pi _{n}(X),}$denominados grupos de homotopía relativa${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$para un par${\displaystyle (X,A),}$donde A es un subespacio de${\displaystyle X.}$

La construcción está motivada por la observación de que para una inclusión${\displaystyle i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),}$Hay un mapa inducido en cada grupo de homotopía.${\displaystyle i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)}$lo cual no es, en general, una inyección. De hecho, los elementos del núcleo se conocen considerando un representante${\displaystyle f:I^{n}\to X}$y tomando una homotopía basada${\displaystyle F:I^{n}\times I\to X}$al mapa constante${\displaystyle x_{0},}$o en otras palabras${\displaystyle H_{I^{n}\times 1}=f,}$mientras que la restricción a cualquier otro componente límite de${\displaystyle I^{n+1}}$es trivial. Por lo tanto, tenemos la siguiente construcción:

Los elementos de dicho grupo son clases de homotopía de mapas basados${\displaystyle D^{n}\to X}$que llevan el límite${\displaystyle S^{n-1}}$en A. Dos mapas${\displaystyle f,g}$Se denominan homotópicos en relación con A si son homotópicos mediante una homotopía que preserva el punto base.${\displaystyle F:D_{n}\times [0,1]\to X}$de tal manera que, para cada p en${\displaystyle S^{n-1}}$y t en ⁠${\displaystyle [0,1]}$⁠ , el elemento${\displaystyle F(p,t)}$está en A. Nótese que los grupos de homotopía ordinarios se recuperan para el caso especial en el que${\displaystyle A=\{x_{0}\}}$es el singleton que contiene el punto base.

Estos grupos son abelianos para${\displaystyle n\geq 3}$si no fuera por${\displaystyle n=2}$forman el grupo superior de un módulo cruzado con el grupo inferior${\displaystyle \pi _{1}(A).}$

También existe una larga secuencia exacta de grupos de homotopía relativa que se puede obtener mediante la secuencia de Puppe :

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)\to \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n-1}(A)\to \cdots }$

Los grupos de homotopía son fundamentales para la teoría de la homotopía , que a su vez impulsó el desarrollo de las categorías modelo . Es posible definir grupos de homotopía abstractos para conjuntos simpliciales .

Los grupos de homología son similares a los grupos de homotopía en que pueden representar "agujeros" en un espacio topológico. Sin embargo, los grupos de homotopía suelen ser muy complejos y difíciles de calcular. En cambio, los grupos de homología son conmutativos (al igual que los grupos de homotopía de orden superior). Dado un espacio topológico${\displaystyle X,}$Su n- ésimo grupo de homotopía se denota por${\displaystyle \pi _{n}(X),}$y su n- ésimo grupo de homología se denota por${\displaystyle H_{n}(X)}$o${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} ).}$

• Fibración
• Fibración de Hopf
• invariante de Hopf
• Teoría de nudos
• Clase homotópica
• Grupos homotópicos de esferas
• Invariante topológico
• Grupo homotópico con coeficientes
• Conjunto puntiagudo

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