Módulo cruzado

En matemáticas , y especialmente en teoría de homotopía , un módulo cruzado consta de grupos${\displaystyle G}$y${\displaystyle H}$, dónde${\displaystyle G}$actúa en${\displaystyle H}$ mediante automorfismos (que escribiremos a la izquierda),${\displaystyle (g,h)\mapsto g\cdot h}$y un homomorfismo de grupos

${\displaystyle d\colon H\longrightarrow G,}$

que es equivariante con respecto a la acción de conjugación de${\displaystyle G}$sobre sí mismo:

${\displaystyle d(g\cdot h)=gd(h)g^{-1}}$

y también satisface la llamada identidad de Peiffer :

${\displaystyle d(h_{1})\cdot h_{2}=h_{1}h_{2}h_{1}^{-1}}$

La primera mención de la segunda identidad para un módulo cruzado parece estar en la nota al pie 25 de la página  422 del artículo de JHC Whitehead de 1941, citado más adelante, mientras que el término «módulo cruzado» se introduce en su artículo de 1946, también citado más adelante. Estas ideas se desarrollaron ampliamente en su artículo de 1949, «Homotopía combinatoria II», que también introdujo la importante idea de un módulo cruzado libre. Las ideas de Whitehead sobre módulos cruzados y sus aplicaciones se desarrollan y explican en el libro de Brown, Higgins y Sivera, que se menciona más adelante. Algunas generalizaciones de la idea de módulo cruzado se explican en el artículo de Janelidze.

Dejar${\displaystyle N}$ser un subgrupo normal de un grupo${\displaystyle G}$. Luego, la inclusión

${\displaystyle d\colon N\longrightarrow G}$

es un módulo cruzado con la acción de conjugación de${\displaystyle G}$en${\displaystyle N}$.

Para cualquier grupo G , los módulos sobre el anillo del grupo son módulos G cruzados con d = 0.

Para cualquier grupo H , el homomorfismo de H a Aut( H ) que envía cualquier elemento de H al automorfismo interno correspondiente es un módulo cruzado.

Dada cualquier extensión central de los grupos

${\displaystyle 1\to A\to H\to G\to 1\!}$

el homomorfismo sobreyectivo

${\displaystyle d\colon H\to G\!}$

junto con la acción de${\displaystyle G}$en${\displaystyle H}$define un módulo cruzado. Por lo tanto, las extensiones centrales pueden considerarse módulos cruzados especiales. A la inversa, un módulo cruzado con frontera sobreyectiva define una extensión central.

Si ( X , A , x ) es un par apuntado de espacios topológicos (es decir,${\displaystyle A}$es un subespacio de${\displaystyle X}$, y${\displaystyle x}$es un punto en${\displaystyle A}$), entonces el límite de homotopía

${\displaystyle d\colon \pi _{2}(X,A,x)\rightarrow \pi _{1}(A,x)\!}$

del segundo grupo de homotopía relativa al grupo fundamental , se puede dar la estructura de módulo cruzado. El functor

${\displaystyle \Pi \colon ({\text{pairs of pointed spaces}})\rightarrow ({\text{crossed modules}})}$

Satisface una forma del teorema de van Kampen , ya que conserva ciertos colímites.

El resultado en el módulo cruzado de un par también se puede expresar como: si

${\displaystyle F\rightarrow E\rightarrow B\!}$

es una fibración puntiaguda de espacios, entonces el mapa inducido de grupos fundamentales

${\displaystyle d\colon \pi _{1}(F)\rightarrow \pi _{1}(E)\!}$

Se le puede dar la estructura de módulo cruzado. Este ejemplo es útil en la teoría K algebraica . Existen versiones de este hecho en dimensiones superiores que utilizan n -cubos de espacios.

Estos ejemplos sugieren que los módulos cruzados pueden considerarse como "grupos bidimensionales". De hecho, esta idea puede precisarse mediante la teoría de categorías . Se puede demostrar que un módulo cruzado es esencialmente lo mismo que un grupo categórico o 2-grupo : es decir, un objeto de grupo en la categoría de categorías, o equivalentemente un objeto de categoría en la categoría de grupos. Esto significa que el concepto de módulo cruzado es una versión del resultado de combinar los conceptos de "grupo" y "categoría". Esta equivalencia es importante para las versiones de grupos de dimensiones superiores.

Cualquier módulo cruzado

${\displaystyle M=(d\colon H\longrightarrow G)\!}$

Tiene un espacio clasificador BM con la propiedad de que sus grupos de homotopía son Coker d en dimensión 1, Ker d en dimensión 2 y 0 en dimensiones superiores a 2. Es posible describir las clases de homotopía de aplicaciones de un complejo CW a BM . Esto permite demostrar que los 2-tipos de homotopía (puntuales y débiles) se describen completamente mediante módulos cruzados.