Grupos de homotopía de esferas

En el campo matemático de la topología algebraica , los grupos de homotopía de esferas describen cómo esferas de diversas dimensiones pueden envolverse unas a otras. Son ejemplos de invariantes topológicos , que reflejan, en términos algebraicos , la estructura de las esferas vistas como espacios topológicos , olvidándose de su geometría precisa. A diferencia de los grupos de homología , que también son invariantes topológicos, los grupos de homotopía son sorprendentemente complejos y difíciles de calcular.

La esfera unitaria de dimensión n —llamada n -esfera para abreviar, y denotada como S ^n— generaliza el círculo familiar ( S ¹ ) y la esfera ordinaria ( S ² ). La n -esfera puede definirse geométricamente como el conjunto de puntos en un espacio euclidiano de dimensión n + 1 ubicado a una distancia unitaria del origen. El i - ésimo grupo de homotopía π _i ( S ⁿ ) resume las diferentes formas en que la esfera i -dimensional S ⁱ puede mapearse continuamente en la esfera n -dimensional S ⁿ . Este resumen no distingue entre dos mapeos si uno puede deformarse continuamente en el otro; por lo tanto, solo se resumen las clases de equivalencia de mapeos. Una operación de "adición" definida en estas clases de equivalencia convierte el conjunto de clases de equivalencia en un grupo abeliano .

El problema de determinar π _i ( S ⁿ ) se divide en tres regímenes, dependiendo de si i es menor, igual o mayor que n :

• Para 0 < i < n , cualquier aplicación de S ⁱ a S ⁿ es homotópica (es decir, continuamente deformable) a una aplicación constante, es decir, una aplicación que aplica todo S ⁱ a un único punto de S ⁿ . Por lo tanto, el grupo de homotopía es el grupo trivial .
• Cuando i = n , cada función de S ⁿ sobre sí misma tiene un grado que mide cuántas veces la esfera se envuelve sobre sí misma. Este grado identifica el grupo de homotopía π _n ( S ⁿ ) con el grupo de números enteros bajo adición. Por ejemplo, cada punto de un círculo puede ser mapeado continuamente sobre un punto de otro círculo; a medida que el primer punto se mueve alrededor del primer círculo, el segundo punto puede girar varias veces alrededor del segundo círculo, dependiendo de la función en particular.
• Los resultados más interesantes y sorprendentes se producen cuando i > n . La primera de esas sorpresas fue el descubrimiento de una aplicación llamada fibración de Hopf , que envuelve la 3-esfera S ³ alrededor de la esfera habitual S ² de una manera no trivial y, por lo tanto, no es equivalente a una aplicación de un punto.

La cuestión de calcular el grupo de homotopía π _{n + k} ( S ⁿ ) para k positivo resultó ser una cuestión central en topología algebraica que ha contribuido al desarrollo de muchas de sus técnicas fundamentales y ha servido como un foco estimulante de investigación. Uno de los principales descubrimientos es que los grupos de homotopía π _{n + k} ( S ⁿ ) son independientes de n para n ≥ k + 2 . Estos se denominan grupos de homotopía estables de esferas y se han calculado para valores de k de hasta 90. ^[1] Los grupos de homotopía estables forman el anillo de coeficientes de una teoría de cohomología extraordinaria , llamada teoría de cohomotopía estable . Los grupos de homotopía inestables (para n < k + 2 ) son más erráticos; sin embargo, se han tabulado para k < 20 . La mayoría de los cálculos modernos utilizan secuencias espectrales , una técnica aplicada por primera vez a los grupos de homotopía de esferas por Jean-Pierre Serre . Se han establecido varios patrones importantes, pero aún queda mucho desconocido y sin explicación.

El estudio de los grupos de homotopía de esferas se basa en una gran cantidad de material de referencia, que aquí se analiza brevemente. La topología algebraica proporciona el contexto más amplio, que a su vez se basa en la topología y el álgebra abstracta , con los grupos de homotopía como ejemplo básico.

Una esfera ordinaria en el espacio tridimensional (la superficie, no la bola sólida) es sólo un ejemplo de lo que significa una esfera en topología. La geometría define una esfera de manera rígida, como una forma. A continuación se presentan algunas alternativas.

• Superficie implícita : x²
  ₀+ x²
  ₁+ x²
  ₂= 1

Este es el conjunto de puntos en el espacio euclidiano tridimensional que se encuentra exactamente a una unidad del origen. Se denomina 2-esfera, S ² , por las razones que se indican a continuación. La misma idea se aplica para cualquier dimensión n ; la ecuación x²
₀+ x²
₁+ ⋯ + x²
_n= 1 produce la n -esfera como un objeto geométrico en el espacio ( n + 1 )-dimensional. Por ejemplo, la 1-esfera S ¹ es un círculo . ^[2]

• Disco con borde colapsado : escrito en topología como D ² / S ¹

Esta construcción pasa de la geometría a la topología pura. El disco D ² es la región contenida por un círculo, descrito por la desigualdad x²
₀+ x²
₁≤ 1 , y su borde (o " límite ") es el círculo S ¹ , descrito por la igualdad x²
₀+ x²
₁= 1 . Si se pincha un globo y se extiende hasta quedar plano, se forma un disco; esta construcción repara el pinchazo, como si se tirara de un cordón. La barra oblicua , que se pronuncia "módulo", significa tomar el espacio topológico de la izquierda (el disco) y en él unir como uno solo todos los puntos de la derecha (el círculo). La región es bidimensional, por lo que la topología llama al espacio topológico resultante una 2-esfera. Generalizado, D ⁿ / S ^{n −1} produce S ⁿ . Por ejemplo, D ¹ es un segmento de línea , y la construcción une sus extremos para formar un círculo. Una descripción equivalente es que el límite de un disco n -dimensional está pegado a un punto, lo que produce un complejo CW . ^[3]

• Suspensión del ecuador : escrita en topología como Σ S ¹

Esta construcción, aunque simple, es de gran importancia teórica. Tome el círculo S ¹ como el ecuador y barra cada punto en él hacia un punto por encima (el Polo Norte), produciendo el hemisferio norte, y hacia un punto por debajo (el Polo Sur), produciendo el hemisferio sur. Para cada entero positivo n , la n -esfera x²
₀+ x²
₁+ ⋯ + x²
_n= 1 tiene como ecuador la ( n − 1 )-esfera x²
₀+ x²
₁+ ⋯ + x²ⁿ
_{- 1}= 1 , y la suspensión Σ S ^{n −1} produce S ⁿ . ^[4]

Algunas teorías requieren seleccionar un punto fijo en la esfera, llamando al par (esfera, punto) una esfera puntiaguda . Para algunos espacios la elección importa, pero para una esfera todos los puntos son equivalentes, por lo que la elección es una cuestión de conveniencia. ^[5] Para esferas construidas como una suspensión repetida, el punto (1, 0, 0, ..., 0) , que está en el ecuador de todos los niveles de suspensión, funciona bien; para el disco con borde colapsado, el punto resultante del colapso del borde es otra elección obvia.

La característica distintiva de un espacio topológico es su estructura de continuidad, formalizada en términos de conjuntos abiertos o vecindades . Una función continua es una función entre espacios que preserva la continuidad. Una homotopía es un camino continuo entre funciones continuas; dos funciones conectadas por una homotopía se dice que son homotópicas. ^[6] La idea común a todos estos conceptos es descartar variaciones que no afecten los resultados de interés. Un ejemplo práctico importante es el teorema del residuo del análisis complejo , donde las "curvas cerradas" son funciones continuas del círculo al plano complejo, y donde dos curvas cerradas producen el mismo resultado integral si son homotópicas en el espacio topológico que consiste en el plano menos los puntos de singularidad. ^[7]

El primer grupo de homotopía, o grupo fundamental , π ₁ ( X ) de un espacio topológico ( conexo por caminos ) X comienza así con aplicaciones continuas desde un círculo puntiagudo ( S ¹ , s ) al espacio puntiagudo ( X , x ) , donde las aplicaciones de un par a otra aplicación s en x . Estas aplicaciones (o equivalentemente, curvas cerradas ) se agrupan en clases de equivalencia basadas en la homotopía (manteniendo fijo el "punto base" x ), de modo que dos aplicaciones están en la misma clase si son homotópicas. Así como se distingue un punto, también se distingue una clase: todas las aplicaciones (o curvas) homotópicas a la aplicación constante S ¹ ↦ x se denominan homotópicas nulas. Las clases se convierten en un grupo algebraico abstracto con la introducción de la adición, definida a través de un "pinzamiento del ecuador". Este pinchamiento asigna el ecuador de una esfera puntiaguda (aquí un círculo) al punto distinguido, produciendo un " ramo de esferas " —dos esferas puntiagudas unidas en su punto distinguido. Los dos mapas que se van a sumar mapean las esferas superior e inferior por separado, coincidiendo en el punto distinguido, y la composición con el pellizco da el mapa suma. ^[8]

En términos más generales, el i -ésimo grupo de homotopía, π _i ( X ) comienza con la i -esfera puntiaguda ( S ⁱ , s ) , y por lo demás sigue el mismo procedimiento. La clase homotópica nula actúa como la identidad de la adición de grupos, y para X igual a S ⁿ (para n positivo ) — los grupos de homotopía de esferas — los grupos son abelianos y finitamente generados . Si para algún i todos los mapas son homotópicos nulos, entonces el grupo π _i consta de un elemento, y se denomina grupo trivial .

Una función continua entre dos espacios topológicos induce un homomorfismo de grupo entre los grupos de homotopía asociados. En particular, si la función es una biyección continua (un homeomorfismo ), de modo que los dos espacios tienen la misma topología, entonces sus grupos de homotopía i -ésimos son isomorfos para todo i . Sin embargo, el plano real tiene exactamente los mismos grupos de homotopía que un punto solitario (al igual que un espacio euclidiano de cualquier dimensión), y el plano real con un punto eliminado tiene los mismos grupos que un círculo, por lo que los grupos por sí solos no son suficientes para distinguir espacios. Aunque la pérdida de poder de discriminación es desafortunada, también puede facilitar ciertos cálculos. ^{[ cita requerida ]}

Los ejemplos de baja dimensión de grupos homotópicos de esferas brindan una idea del tema, porque estos casos especiales pueden visualizarse en el espacio tridimensional ordinario. Sin embargo, dichas visualizaciones no son pruebas matemáticas y no capturan la posible complejidad de las funciones entre esferas.

El caso más simple se refiere a las formas en que un círculo (1-esfera) puede envolverse alrededor de otro círculo. Esto se puede visualizar envolviendo una banda elástica alrededor del dedo: se puede envolver una, dos, tres veces, etc. La envoltura puede ser en cualquiera de dos direcciones, y las envolturas en direcciones opuestas se cancelarán después de una deformación. El grupo de homotopía π ₁ ( S ¹ ) es, por lo tanto, un grupo cíclico infinito , y es isomorfo al grupo Z de números enteros bajo adición: una clase de homotopía se identifica con un número entero contando el número de veces que una aplicación en la clase de homotopía envuelve el círculo. Este número entero también se puede considerar como el número de vueltas de un bucle alrededor del origen en el plano . ^[9]

La identificación (un isomorfismo de grupo ) del grupo de homotopía con los números enteros se escribe a menudo como una igualdad: así π ₁ ( S ¹ ) = Z . ^[10]

Las aplicaciones de una esfera 2 a una esfera 2 se pueden visualizar como si envolviéramos una bolsa de plástico alrededor de una pelota y luego la selláramos. La bolsa sellada es topológicamente equivalente a una esfera 2, al igual que la superficie de la pelota. La bolsa se puede envolver más de una vez torciéndola y envolviéndola nuevamente sobre la pelota. (No hay ningún requisito para que la aplicación continua sea inyectiva y, por lo tanto, se permite que la bolsa pase a través de sí misma). La torsión puede ser en una de dos direcciones y las torsiones opuestas pueden cancelarse por deformación. El número total de torsiones después de la cancelación es un entero, llamado grado de la aplicación. Como en el caso de las aplicaciones del círculo al círculo, este grado identifica el grupo de homotopía con el grupo de enteros, Z . ^{[ cita requerida ]}

Estos dos resultados se generalizan: para todo n > 0 , π _n ( S ⁿ ) = Z (ver más abajo).

Cualquier aplicación continua de un círculo a una esfera ordinaria puede deformarse continuamente hasta convertirse en una aplicación de un punto, por lo que su clase de homotopía es trivial. Una forma de visualizar esto es imaginar una banda elástica enrollada alrededor de una pelota sin fricción: la banda siempre se puede deslizar fuera de la pelota. El grupo de homotopía es, por lo tanto, un grupo trivial , con un solo elemento, el elemento identidad, y por lo tanto se puede identificar con el subgrupo de Z que consiste únicamente en el número cero. Este grupo se denota a menudo por 0. Sin embargo, demostrar esto rigurosamente requiere más cuidado, debido a la existencia de curvas que llenan el espacio . ^[11]

Este resultado se puede generalizar a dimensiones superiores. Todas las aplicaciones de una esfera de dimensión inferior a una esfera de dimensión superior son igualmente triviales: si i < n , entonces π _i ( S ⁿ ) = 0 . Esto se puede demostrar como una consecuencia del teorema de aproximación celular . ^[12]

Todos los casos interesantes de grupos de homotopía de esferas implican aplicaciones de una esfera de dimensión superior a una de dimensión inferior. Desafortunadamente, el único ejemplo que se puede visualizar fácilmente no es interesante: no hay aplicaciones no triviales de la esfera ordinaria al círculo. Por lo tanto, π ₂ ( S ¹ ) = 0 . Esto se debe a que S ¹ tiene la línea real como su cobertura universal que es contráctil (tiene el tipo de homotopía de un punto). Además, debido a que S ² está simplemente conexo, por el criterio de elevación , ^[13] cualquier aplicación de S ² a S ¹ puede elevarse a una aplicación en la línea real y la homotopía nula desciende al espacio de abajo (a través de la composición).

El primer ejemplo no trivial con i > n se refiere a aplicaciones de la 3-esfera a la 2-esfera ordinaria, y fue descubierto por Heinz Hopf , quien construyó una aplicación no trivial de S ³ a S ² , ahora conocida como fibración de Hopf . ^[14] Esta aplicación genera el grupo de homotopía π ₃ ( S ² ) = Z . ^[15]

A finales del siglo XIX, Camille Jordan introdujo la noción de homotopía y utilizó la noción de grupo de homotopía, sin utilizar el lenguaje de la teoría de grupos. ^[16] Henri Poincaré adoptó un enfoque más riguroso en su conjunto de artículos de 1895 Analysis situs donde también se introdujeron los conceptos relacionados de homología y grupo fundamental . ^[17]

Los grupos de homotopía superiores fueron definidos por primera vez por Eduard Čech en 1932. ^[18] (Su ​​primer artículo fue retirado por consejo de Pavel Sergeyevich Alexandrov y Heinz Hopf, con el argumento de que los grupos eran conmutativos, por lo que no podían ser las generalizaciones correctas del grupo fundamental). A Witold Hurewicz también se le atribuye la introducción de los grupos de homotopía en su artículo de 1935 y también el teorema de Hurewicz que se puede utilizar para calcular algunos de los grupos. ^[19] Un método importante para calcular los diversos grupos es el concepto de topología algebraica estable, que encuentra propiedades que son independientes de las dimensiones. Normalmente, estas solo se cumplen para dimensiones mayores. El primer resultado de este tipo fue el teorema de suspensión de Hans Freudenthal , publicado en 1937. La topología algebraica estable floreció entre 1945 y 1966 con muchos resultados importantes. ^[19] En 1953 George W. Whitehead demostró que existe un rango metaestable para los grupos de homotopía de esferas. Jean-Pierre Serre utilizó secuencias espectrales para demostrar que la mayoría de estos grupos son finitos, siendo las excepciones π _n ( S ⁿ ) y π _{4 n −1} ( S ^{2 n} ) . Otros que trabajaron en esta área fueron José Adem , Hiroshi Toda , Frank Adams , J. Peter May , Mark Mahowald , Daniel Isaksen , Guozhen Wang y Zhouli Xu . Los grupos de homotopía estables π _{n + k} ( S ⁿ ) son conocidos para k hasta 90 y, a partir de 2023, desconocidos para k mayores . ^[1]

Como ya se ha señalado, cuando i es menor que n , π _i ( S ⁿ ) = 0 , el grupo trivial . La razón es que una aplicación continua de una i -esfera a una n -esfera con i < n siempre se puede deformar de modo que no sea sobreyectiva . En consecuencia, su imagen está contenida en S ⁿ con un punto eliminado; este es un espacio contráctil , y cualquier aplicación a dicho espacio se puede deformar en una aplicación de un punto. ^[12]

El caso i = n también se ha observado ya, y es una consecuencia fácil del teorema de Hurewicz : este teorema vincula los grupos de homotopía con los grupos de homología , que son generalmente más fáciles de calcular; en particular, muestra que para un espacio simplemente conexo X , el primer grupo de homotopía distinto de cero π _k ( X ) , con k > 0 , es isomorfo al primer grupo de homología distinto de cero H _k ( X ) . Para la n -esfera, esto implica inmediatamente que para n ≥ 2 , π _n ( S ⁿ ) = H _n ( S ⁿ ) = Z. [ ^{cita requerida ]}

Los grupos de homología H _i ( S ⁿ ) , con i > n , son todos triviales. Por lo tanto, fue una gran sorpresa histórica que los grupos de homotopía correspondientes no sean triviales en general. Este es el caso que tiene verdadera importancia: los grupos de homotopía superiores π _i ( S ⁿ ) , para i > n , son sorprendentemente complejos y difíciles de calcular, y el esfuerzo para calcularlos ha generado una cantidad significativa de nuevas matemáticas. ^{[ cita requerida ]}

La siguiente tabla da una idea de la complejidad de los grupos de homotopía superiores incluso para esferas de dimensión 8 o menos. En esta tabla, las entradas son a) el grupo trivial 0, el grupo cíclico infinito Z , b) los grupos cíclicos finitos de orden n (escritos como Z _n ), o c) los productos directos de tales grupos (escritos, por ejemplo, como Z ₂₄ ×Z ₃ o Z²
₂= Z ₂ ×Z ₂ ). Al final del artículo se dan tablas extendidas de grupos de homotopía de esferas.

La primera fila de esta tabla es sencilla. Los grupos de homotopía π _i ( S ¹ ) de la 1-esfera son triviales para i > 1 , porque el espacio de recubrimiento universal , , que tiene los mismos grupos de homotopía superiores, es contráctil. ^[20]${\displaystyle \mathbb {R}}$

Más allá de la primera fila, los grupos de homotopía superior ( i > n ) parecen ser caóticos, pero de hecho hay muchos patrones, algunos obvios y otros muy sutiles.

• Los grupos debajo de la línea negra dentada son constantes a lo largo de las diagonales (como lo indican los colores rojo, verde y azul).
• La mayoría de los grupos son finitos. Los únicos grupos infinitos están en la diagonal principal o inmediatamente encima de la línea dentada (resaltada en amarillo).
• La segunda y tercera filas de la tabla son las mismas a partir de la tercera columna (es decir, π _i ( S ² ) = π _i ( S ³ ) para i ≥ 3 ). Este isomorfismo es inducido por la fibración de Hopf S ³ → S ² .
• Para n = 2, 3, 4, 5 e i ≥ n los grupos de homotopía π _i ( S ⁿ ) no se anulan. Sin embargo, π _{n +4} ( S ⁿ ) = 0 para n ≥ 6 .

Estos patrones se desprenden de muchos resultados teóricos diferentes. ^{[ cita requerida ]}

El hecho de que los grupos debajo de la línea dentada en la tabla anterior sean constantes a lo largo de las diagonales se explica por el teorema de suspensión de Hans Freudenthal , que implica que el homomorfismo de suspensión de π _{n + k} ( S ⁿ ) a π _{n + k +1} ( S ^{n +1} ) es un isomorfismo para n > k + 1 . Los grupos π _{n + k} ( S ⁿ ) con n > k + 1 se denominan grupos de homotopía estable de esferas y se denotan π^S
_k: son grupos abelianos finitos para k ≠ 0 , y se han calculado en numerosos casos, aunque el patrón general aún es difícil de alcanzar. ^[21] Para n ≤ k +1 , los grupos se denominan grupos de homotopía inestable de esferas . ^{[ cita requerida ]}

La fibración de Hopf clásica es un haz de fibras :

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}.}$

La teoría general de los haces de fibras F → E → B muestra que existe una secuencia larga y exacta de grupos de homotopía.

${\displaystyle \cdots \a \pi _{i}(F)\a \pi _{i}(E)\a \pi _{i}(B)\a \pi _{i-1}(F)\a \cdots .}$

Para este fibrado específico, cada homomorfismo de grupo π _i ( S ¹ ) → π _i ( S ³ ) , inducido por la inclusión S ¹ → S ³ , asigna todo π _i ( S ¹ ) a cero, ya que la esfera de menor dimensión S ¹ se puede deformar hasta un punto dentro de la de mayor dimensión S ³ . Esto corresponde a la desaparición de π ₁ ( S ³ ) . Por lo tanto, la secuencia exacta larga se divide en secuencias exactas cortas ,

${\displaystyle 0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \pi _{i-1}(S^{1})\rightarrow 0.}$

Como S ^{n +1} es una suspensión de S ⁿ , estas secuencias se dividen por el homomorfismo de suspensión π _{i −1} ( S ¹ ) → π _i ( S ² ) , dando isomorfismos

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2})=\pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).}$

Dado que π _{i −1} ( S ¹ ) se desvanece para i al menos 3, la primera fila muestra que π _i ( S ² ) y π _i ( S ³ ) son isomorfos siempre que i sea al menos 3, como se observó anteriormente.

La fibración de Hopf se puede construir de la siguiente manera: pares de números complejos ( z ₀ , z ₁ ) con | z ₀ | ² + | z ₁ | ² = 1 forman una 3-esfera, y sus razones ⁠el ₀/el ₁⁠ cubre el plano complejo más el infinito , una 2-esfera. La función de Hopf S ³ → S ² envía cualquier par de este tipo a su razón. ^{[ cita requerida ]}

De manera similar (además de la fibración de Hopf , donde la proyección del haz es una doble cobertura), existen fibraciones de Hopf generalizadas .${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1}}$

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4}}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}}$

construidos usando pares de cuaterniones u octoniones en lugar de números complejos. ^[22] Aquí, también, π ₃ ( S ⁷ ) y π ₇ ( S ¹⁵ ) son cero. Por lo tanto, las secuencias exactas largas se dividen nuevamente en familias de secuencias exactas cortas divididas, lo que implica dos familias de relaciones.

${\displaystyle \pi _{i}(S^{4})=\pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3}),}$

${\displaystyle \pi _{i}(S^{8})=\pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).}$

Las tres fibraciones tienen un espacio base S ⁿ con n = 2 ^m , para m = 1, 2, 3 . Existe una fibración para S ¹ ( m = 0 ) como se mencionó anteriormente, pero no para S ¹⁶ ( m = 4 ) y más allá. Aunque las generalizaciones de las relaciones con S ¹⁶ son a menudo verdaderas, a veces fallan; por ejemplo,

${\displaystyle \pi _{30}(S^{16})\neq \pi _{30}(S^{31})\oplus \pi _{29}(S^{15}).}$

Por lo tanto no puede haber fibración.

${\displaystyle S^{15}\hookrightarrow S^{31}\rightarrow S^{16},}$

el primer caso no trivial del problema del invariante de Hopf , porque tal fibración implicaría que la relación fallida es verdadera. ^{[ cita requerida ]}

Los grupos de homotopía de esferas están estrechamente relacionados con las clases de cobordismo de variedades. En 1938, Lev Pontryagin estableció un isomorfismo entre el grupo de homotopía π _{n + k} ( S ⁿ ) y el grupo Ω^enmarcado
_k( S ^{n + k} ) de clases de cobordismo de subvariedades k diferenciables de S ^{n + k} que están "enmarcadas", es decir, tienen un fibrado normal trivializado . Toda función f  : S ^{n + k} → S ⁿ es homotópica a una función diferenciable con M ^k = f ⁻¹ (1, 0, ..., 0) ⊂ S ^{n + k} una subvariedad k -dimensional enmarcada. Por ejemplo, π _n ( S ⁿ ) = Z es el grupo de cobordismo de subvariedades 0-dimensionales enmarcadas de S ⁿ , calculado por la suma algebraica de sus puntos, correspondiente al grado de las funciones f  : S ⁿ → S ⁿ . La proyección de la fibración de Hopf S ³ → S ² representa un generador de π ₃ ( S ² ) = Ω ^enmarcado
₁( S ³ ) = Z que corresponde a la subvariedad unidimensional enmarcada de S ³ definida por la incrustación estándar S ¹ ⊂ S ³ con una trivialización no estándar del fibrado normal de 2 planos. Hasta la llegada de métodos algebraicos más sofisticados a principios de la década de 1950 (Serre), el isomorfismo de Pontrjagin era la herramienta principal para calcular los grupos de homotopía de esferas. En 1954, René Thom generalizó el isomorfismo de Pontrjagin a un isomorfismo que expresa otros grupos de clases de cobordismo (por ejemplo, de todas las variedades) como grupos de homotopía de espacios y espectros . En trabajos más recientes, el argumento suele invertirse, y los grupos de cobordismo se calculan en términos de grupos de homotopía. ^[23]

En 1951, Jean-Pierre Serre demostró que los grupos de homotopía de esferas son todos finitos excepto aquellos de la forma π _n ( S ⁿ ) o π _{4 n −1} ( S ^{2 n} ) (para n positivo ), cuando el grupo es el producto del grupo cíclico infinito con un grupo abeliano finito. ^[24] En particular, los grupos de homotopía están determinados por sus p -componentes para todos los primos p . Los 2-componentes son los más difíciles de calcular, y en varios sentidos se comportan de manera diferente a los p -componentes para primos impares. ^{[ cita requerida ]}

En el mismo artículo, Serre encontró el primer lugar en el que ocurre la p -torsión en los grupos de homotopía de esferas de n dimensiones, al mostrar que π _{n + k} ( S ⁿ ) no tiene p - torsión si k < 2 p − 3 , y tiene un único subgrupo de orden p si n ≥ 3 y k = 2 p − 3 . El caso de esferas bidimensionales es ligeramente diferente: la primera p- torsión ocurre para k = 2 p − 3 + 1 . En el caso de torsión impar hay resultados más precisos; en este caso hay una gran diferencia entre esferas de dimensión par e impar. Si p es un primo impar y n = 2 i + 1 , entonces los elementos del componente p de π _{n + k} ( S n ⁾ tienen orden como máximo p ⁱ . ^[25] Este es en cierto sentido el mejor resultado posible, ya que se sabe que estos grupos tienen elementos de este orden para algunos valores de k . ^[26] Además, el rango estable se puede extender en este caso: si n es impar, entonces la doble suspensión de π _k ( S ⁿ ) a π _{k +2} ( S ^{n +2} ) es un isomorfismo de p -componentes si k < p ( n + 1) − 3 , y un epimorfismo si se cumple la igualdad. ^[27] La ​​p -torsión del grupo intermedio π _{k +1} ( S ^{n +1} ) puede ser estrictamente mayor. ^{[ cita requerida ]}

Los resultados anteriores sobre la torsión impar solo son válidos para esferas de dimensión impar: para esferas de dimensión par, la fibración de James da la torsión en primos impares p en términos de la de esferas de dimensión impar,

${\displaystyle \pi _{2m+k}(S^{2m})(p)=\pi _{2m+k-1}(S^{2m-1})(p)\oplus \pi _{2m+k}(S^{4m-1})(p)}$

(donde ( p ) significa tomar el componente p ). ^[28] Esta secuencia exacta es similar a las que provienen de la fibración de Hopf; la diferencia es que funciona para todas las esferas de dimensión par, aunque a expensas de ignorar la 2-torsión. La combinación de los resultados para esferas de dimensión par e impar muestra que gran parte de la torsión impar de los grupos de homotopía inestables está determinada por la torsión impar de los grupos de homotopía estables. ^{[ cita requerida ]}

Para los grupos de homotopía estables hay resultados más precisos sobre la p -torsión. Por ejemplo, si k < 2 p ( p − 1) − 2 para un primo p entonces el componente p -primario del grupo de homotopía estable π^S
_kse desvanece a menos que k + 1 sea divisible por 2( p − 1) , en cuyo caso es cíclico de orden p . ^[29]

Un subgrupo importante de π _{n + k} ( S ⁿ ) , para k ≥ 2 , es la imagen del J-homomorfismo J  : π _k (SO( n )) → π _{n + k} ( S ⁿ ) , donde SO( n ) denota el grupo ortogonal especial . ^[30] En el rango estable n ≥ k + 2 , los grupos de homotopía π _k (SO( n )) solo dependen de k (mod 8) . Este patrón de periodo 8 se conoce como periodicidad de Bott , y se refleja en los grupos de homotopía estables de esferas a través de la imagen del J -homomorfismo que es:

• un grupo cíclico de orden 2 si k es congruente con 0 o 1 módulo 8;
• trivial si k es congruente con 2, 4, 5 o 6 módulo 8; y
• un grupo cíclico de orden igual al denominador de ⁠B _{2 m}/4 metros⁠ , donde B _{2 m} es un número de Bernoulli , si k = 4 m − 1 ≡ 3 (mod 4) .

Este último caso explica los elementos de orden finito inusualmente grande en π _{n + k} ( S ⁿ ) para tales valores de k . Por ejemplo, los grupos estables π _{n +11} ( S ⁿ ) tienen un subgrupo cíclico de orden 504, el denominador de ⁠B6_​/12⁠ = ⁠1/504⁠ . ^{[ cita requerida ]}

Los grupos de homotopía estables de esferas son la suma directa de la imagen del J -homomorfismo, y el núcleo del e -invariante de Adams, un homomorfismo de estos grupos a . En términos generales, la imagen del J -homomorfismo es el subgrupo de elementos "bien entendidos" o "fáciles" de los grupos de homotopía estables. Estos elementos bien entendidos representan la mayoría de los elementos de los grupos de homotopía estables de esferas en pequeñas dimensiones. El cociente de π${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$^S
_nPor la imagen del J -homomorfismo se considera la parte "dura" de los grupos de homotopía estable de esferas (Adams 1966). (Adams también introdujo ciertos elementos de orden 2 μ _n de π^S
_npara n ≡ 1 o 2 (mod 8) , y también se consideran "bien entendidos".) Las tablas de grupos de homotopía de esferas a veces omiten la parte "fácil" im( J ) para ahorrar espacio. ^{[ cita requerida ]}

La suma directa

${\displaystyle \pi _{\ast }^{S}=\bigoplus _{k\geq 0}\pi _{k}^{S}}$

de los grupos de homotopía estable de esferas es un anillo graduado supercommutativo , donde la multiplicación se da por composición de mapas representativos, y cualquier elemento de grado distinto de cero es nilpotente ; ^[31] el teorema de nilpotencia sobre cobordismo complejo implica el teorema de Nishida. ^{[ cita requerida ]}

Ejemplo: Si η es el generador de π^S
₁(de orden 2), entonces η ² es distinto de cero y genera π^S
₂, y η ³ es distinto de cero y es 12 veces un generador de π^S
₃, mientras que η ⁴ es cero porque el grupo π^S
₄es trivial. ^{[ cita requerida ]}

Si f , g y h son elementos de π^S
_*con f g = 0 y g ⋅ h = 0 , hay un corchete de Toda ⟨ f , g , h ⟩ de estos elementos. ^[32] El corchete de Toda no es exactamente un elemento de un grupo de homotopía estable, porque solo se define hasta la adición de productos de ciertos otros elementos. Hiroshi Toda usó el producto de composición y los corchetes de Toda para etiquetar muchos de los elementos de los grupos de homotopía. También hay corchetes de Toda superiores de varios elementos, definidos cuando los corchetes de Toda inferiores adecuados desaparecen. Esto es paralelo a la teoría de los productos de Massey en cohomología . ^{[ cita requerida ]} Cada elemento de los grupos de homotopía estables de esferas se puede expresar usando productos de composición y corchetes de Toda superiores en términos de ciertos elementos bien conocidos, llamados elementos de Hopf. ^[33]

Si X es cualquier complejo simplicial finito con un grupo fundamental finito, en particular si X es una esfera de dimensión al menos 2, entonces sus grupos de homotopía son todos grupos abelianos finitamente generados . Para calcular estos grupos, a menudo se factorizan en sus p -componentes para cada primo p , y se calcula cada uno de estos p -grupos por separado. Los primeros grupos de homotopía de esferas se pueden calcular utilizando variaciones ad hoc de las ideas anteriores; más allá de este punto, la mayoría de los métodos para calcular grupos de homotopía de esferas se basan en secuencias espectrales . ^[34] Esto se hace generalmente construyendo fibraciones adecuadas y tomando las secuencias exactas largas asociadas de grupos de homotopía; las secuencias espectrales son una forma sistemática de organizar la información complicada que este proceso genera. ^{[ cita requerida ]}

• "El método de matar grupos de homotopía", debido a Cartan y Serre (1952a, 1952b) implica el uso repetido del teorema de Hurewicz para calcular el primer grupo de homotopía no trivial y luego matarlo (eliminarlo) con una fibración que involucra un espacio de Eilenberg-MacLane . En principio, esto proporciona un algoritmo efectivo para calcular todos los grupos de homotopía de cualquier complejo simplicial finito simplemente conexo, pero en la práctica es demasiado engorroso usarlo para calcular algo más que los primeros grupos de homotopía no triviales ya que el complejo simplicial se vuelve mucho más complicado cada vez que uno mata un grupo de homotopía.
• La secuencia espectral de Serre fue utilizada por Serre para demostrar algunos de los resultados mencionados anteriormente. Utilizó el hecho de que tomar el espacio de bucles de un espacio con buen comportamiento desplaza todos los grupos de homotopía hacia abajo en 1, por lo que el n- ésimo grupo de homotopía de un espacio X es el primer grupo de homotopía de su espacio de bucles repetido ( n −1 ) veces, que es igual al primer grupo de homología del espacio de bucles ( n −1 ) veces por el teorema de Hurewicz. Esto reduce el cálculo de los grupos de homotopía de X al cálculo de los grupos de homología de sus espacios de bucles repetidos. La secuencia espectral de Serre relaciona la homología de un espacio con la de su espacio de bucles, por lo que a veces se puede utilizar para calcular la homología de los espacios de bucles. La secuencia espectral de Serre tiende a tener muchos diferenciales distintos de cero, que son difíciles de controlar, y aparecen demasiadas ambigüedades para los grupos de homotopía superiores. En consecuencia, ha sido reemplazada por secuencias espectrales más potentes con menos diferenciales distintos de cero, que brindan más información. ^{[ cita requerida ]}
• La secuencia espectral EHP se puede utilizar para calcular muchos grupos de homotopía de esferas; se basa en algunas fibraciones utilizadas por Toda en sus cálculos de grupos de homotopía. ^{[35] [32]}
• La secuencia espectral clásica de Adams tiene el término E ₂ dado por los grupos Ext Ext^∗,∗
  _{A ( p )}(Z _p , Z _p ) sobre el álgebra de Steenrod mod p A ( p ) , y converge a algo estrechamente relacionado con el componente p de los grupos de homotopía estable. Los términos iniciales de la secuencia espectral de Adams son en sí mismos bastante difíciles de calcular: esto a veces se hace utilizando una secuencia espectral auxiliar llamada secuencia espectral de May . ^[36]
• En los primos impares, la secuencia espectral de Adams-Novikov es una versión más potente de la secuencia espectral de Adams que reemplaza la cohomología ordinaria módulo p con una teoría de cohomología generalizada, como el cobordismo complejo o, más habitualmente, una parte de ella llamada cohomología de Brown-Peterson . El término inicial es nuevamente bastante difícil de calcular; para ello se puede utilizar la secuencia espectral cromática . ^[37]

• Una variación de este último enfoque utiliza una versión inversa de la secuencia espectral de Adams-Novikov para la cohomología de Brown-Peterson: se conoce el límite y los términos iniciales involucran grupos de homotopía estables desconocidos de esferas que uno está tratando de encontrar. ^[38]

• La secuencia espectral motívica de Adams converge a los grupos de homotopía estables motívicos de esferas. Al comparar la motívica sobre los números complejos con la clásica, Isaksen proporciona una prueba rigurosa de los cálculos hasta el tallo 59. En particular, Isaksen calcula que el J de Coker del tallo 56 es 0 y, por lo tanto, por el trabajo de Kervaire-Milnor, la esfera S ⁵⁶ tiene una estructura suave única. ^[39]

• El mapa de Kahn-Priddy induce un mapa de secuencias espectrales de Adams desde el espectro de suspensión del espacio proyectivo real infinito hasta el espectro de esferas. Es sobreyectivo en la página Adams E ₂ en tallos positivos. Wang y Xu desarrollan un método que utiliza el mapa de Kahn-Priddy para deducir diferenciales de Adams para el espectro de esferas de manera inductiva. Ofrecen argumentos detallados para varios diferenciales de Adams y calculan los tallos 60 y 61. Un corolario geométrico de su resultado es que la esfera S ⁶¹ tiene una estructura suave única, y es la última de dimensión impar; las únicas son S ¹ , S ³ , S ⁵ y S ⁶¹ . ^[40]

• El método de la cofibra motívica de τ es hasta ahora el método más eficiente en el primo 2. La clase τ es un mapa entre esferas motívicas. El teorema de Gheorghe–Wang–Xu identifica la secuencia espectral motívica de Adams para la cofibra de τ como la secuencia espectral algebraica de Novikov para BP _* , lo que permite deducir diferenciales motívicos de Adams para la cofibra de τ a partir de datos puramente algebraicos. Luego, se pueden retrotraer estos diferenciales motívicos de Adams a la esfera motívica y luego usar el funtor de realización de Betti para empujarlos hacia adelante a la esfera clásica. ^[41] Usando este método, Isaksen, Wang & Xu (2023) calcula hasta el tallo 90. ^[1]

El cálculo de los grupos de homotopía de S ² se ha reducido a una cuestión de teoría de grupos combinatoria . Berrick et al. (2006) identifican estos grupos de homotopía como ciertos cocientes de los grupos trenzados de Brunnian de S ² . Bajo esta correspondencia, cada elemento no trivial en π _n ( S ² ) para n > 2 puede ser representado por un trenzado de Brunnian sobre S ² que no es de Brunnian sobre el disco D ² . Por ejemplo, la función de Hopf S ³ → S ² corresponde a los anillos de Borromeo . ^[42]

• El número de bobinado (que corresponde a un entero de π ₁ ( S ¹ ) = Z) se puede utilizar para demostrar el teorema fundamental del álgebra , que establece que todo polinomio complejo no constante tiene un cero. ^[43]
• El hecho de que π _{n −1} ( S ^{n −1} ) = Z implica el teorema del punto fijo de Brouwer , que establece que cada mapa continuo de la bola n -dimensional hacia sí misma tiene un punto fijo. ^[44]
• Los grupos de homotopía estables de esferas son importantes en la teoría de singularidades , que estudia la estructura de puntos singulares de aplicaciones suaves o variedades algebraicas . Tales singularidades surgen como puntos críticos de aplicaciones suaves de ^m a ⁿ . La geometría cerca de un punto crítico de tal aplicación puede describirse mediante un elemento de π _{m −1} ( S ^{n −1} ) , considerando la forma en que una pequeña esfera m − 1 alrededor del punto crítico se transforma en una esfera topológica n − 1 alrededor del valor crítico . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$
• El hecho de que el tercer grupo de homotopía estable de esferas sea cíclico de orden 24, demostrado por primera vez por Vladimir Rokhlin , implica el teorema de Rokhlin de que la firma de una 4-variedad compacta de espín suave es divisible por 16. ^[23]
• Los grupos de homotopía estable de esferas se utilizan para describir el grupo Θ _n de clases de h-cobordismo de n- esferas de homotopía orientada (para n ≠ 4 , este es el grupo de estructuras suaves en n -esferas, hasta el difeomorfismo que preserva la orientación; los elementos no triviales de este grupo están representados por esferas exóticas ). Más precisamente, existe una función inyectiva

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,}$

donde bP _{n +1} es el subgrupo cíclico representado por esferas de homotopía que delimitan una variedad paralelizable , π^S
_nes el n -ésimo grupo de homotopía estable de esferas, y J es la imagen del J -homomorfismo . Este es un isomorfismo a menos que n tenga la forma 2 ^k − 2 , en cuyo caso la imagen tiene índice 1 o 2. ^[45]

• Los grupos Θ _n anteriores, y por lo tanto los grupos de homotopía estable de esferas, se utilizan en la clasificación de posibles estructuras suaves en una variedad topológica o lineal por partes . ^[23]
• El problema del invariante de Kervaire , sobre la existencia de variedades del invariante de Kervaire 1 en dimensiones 2 ^k − 2, se puede reducir a una cuestión sobre grupos de homotopía estables de esferas. Por ejemplo, el conocimiento de grupos de homotopía estables de grado hasta 48 se ha utilizado para resolver el problema del invariante de Kervaire en dimensión 2 ⁶ − 2 = 62 . (Éste era el valor más pequeño de k para el que la cuestión estaba abierta en ese momento.) ^[46]
• El teorema de Barratt-Priddy dice que los grupos de homotopía estables de las esferas pueden expresarse en términos de la construcción plus aplicada al espacio de clasificación del grupo simétrico , lo que conduce a una identificación de la K-teoría del campo con un elemento con grupos de homotopía estables. ^[47]

Las tablas de grupos de homotopía de esferas se organizan más convenientemente mostrando π _{n + k} ( S ⁿ ) .

La siguiente tabla muestra muchos de los grupos π _{n + k} ( S ⁿ ) . Los grupos de homotopía estables están resaltados en azul, los inestables en rojo. Cada grupo de homotopía es el producto de los grupos cíclicos de los órdenes dados en la tabla, utilizando las siguientes convenciones: ^[48]

• La entrada "⋅" denota el grupo trivial.
• Cuando la entrada es un entero , m , el grupo de homotopía es el grupo cíclico de ese orden (generalmente escrito Z _m ).
• Donde la entrada es ∞, el grupo de homotopía es el grupo cíclico infinito , Z.
• Donde la entrada es un producto, el grupo de homotopía es el producto cartesiano (equivalentemente, la suma directa ) de los grupos cíclicos de esos órdenes. Las potencias indican productos repetidos. (Obsérvese que cuando a y b no tienen ningún factor común , Z _a ×Z _b es isomorfo a Z _ab ).

Ejemplo : π ₁₉ ( S ¹⁰ ) = π ₉₊₁₀ ( S ¹⁰ ) = Z×Z ₂ ×Z ₂ ×Z ₂ , que se denota por ∞⋅2 ³ en la tabla.

Los grupos de homotopía estable π^S
_kson los productos de grupos cíclicos de los órdenes de potencia infinitos o primos que se muestran en la tabla. (Por razones principalmente históricas, los grupos de homotopía estables suelen darse como productos de grupos cíclicos de orden de potencia primo, mientras que las tablas de grupos de homotopía inestables a menudo los dan como productos del menor número de grupos cíclicos). Para p > 5 , la parte del componente p que se explica por el J -homomorfismo es cíclica de orden p si 2( p − 1) divide a k + 1 y 0 en caso contrario. ^[49] El comportamiento módulo 8 de la tabla proviene de la periodicidad de Bott a través del J-homomorfismo , cuya imagen está subrayada.

• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1, Sr.  1867354.
• May, J. Peter (1999b), Un curso conciso de topología algebraica, Chicago Lecciones de matemáticas (edición revisada), University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-51183-2, Sr.  1702278.

• Čech, Eduard (1932), "Höherdimensionale Homotopiegruppen", Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Zúrich.
• Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen , 104 (1): 637–665, doi :10.1007/BF01457962, S2CID  123533891.
• May, J. Peter (1999a), "Topología algebraica estable 1945-1966", en IM James (ed.), Historia de la topología , Elsevier Science , págs. 665-723, ISBN 978-0-444-82375-5.

• Baez, John (21 de abril de 1997), Hallazgos de esta semana en física matemática 102 , consultado el 9 de octubre de 2007
• Hatcher, Allen , Grupos de homotopía estable de esferas (PDF) , consultado el 20 de octubre de 2007
• O'Connor, JJ; Robertson, EF (1996), Una historia de la topología , consultado el 14 de noviembre de 2007en el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor .
• O'Connor, JJ; Robertson, EF (2001), Marie Ennemond Camille Jordan , consultado el 14 de noviembre de 2007en el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor.