functor Ext

En matemáticas , los functores Ext son functores derivados del functor Hom . Junto con el functor Tor , Ext es uno de los conceptos centrales del álgebra homológica , en la que se utilizan ideas de la topología algebraica para definir invariantes de estructuras algebraicas. La cohomología de grupos , las álgebras de Lie y las álgebras asociativas pueden definirse en términos de Ext. El nombre proviene del hecho de que el primer grupo Ext, Ext ^1, clasifica las extensiones de un módulo por otro.

En el caso especial de los grupos abelianos , Ext fue introducido por Reinhold Baer en 1934. ^{[ 1 ]} Fue nombrado por Samuel Eilenberg y Saunders MacLane en 1942, ^{[ 2 ]} y aplicado a la topología (el teorema del coeficiente universal para la cohomología ). Para módulos sobre cualquier anillo , Ext fue definido por Henri Cartan y Eilenberg en 1956. ^{[ 3 ]}

Dejar${\displaystyle R}$ser un anillo y dejar${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$ser la categoría de módulos más${\displaystyle R}$. (Esto puede interpretarse como que se refiere a la izquierda o a la derecha).${\displaystyle R}$-módulos o derecha${\displaystyle R}$-módulos.) Para un fijo${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle A}$, dejar${\displaystyle T(B)={\text{Hom}}_{R}(A,B)}$para${\displaystyle B}$en${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$. (Aquí${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,B)}$es el grupo abeliano de${\displaystyle R}$-mapas lineales de${\displaystyle A}$a${\displaystyle B}$; esto es un${\displaystyle R}$-módulo si${\displaystyle R}$es conmutativo .) Este es un functor exacto por la izquierda de${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$a la categoría de grupos abelianos${\displaystyle \mathbf {Ab} }$y por lo tanto tiene functores derivados correctos${\displaystyle R^{i}T}$Los grupos Ext son los grupos abelianos definidos por

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T)(B),}$

para un entero i . Por definición, esto significa: tomar cualquier resolución inyectiva

${\displaystyle 0\to B\to I^{0}\to I^{1}\to \cdots ,}$

elimina el término B y forma el complejo cochain :

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\to \cdots .}$

Para cada número entero${\displaystyle i}$,${\displaystyle {\text{Ext}}_{R}^{i}(A,B)}$es la cohomología de este complejo en la posición${\displaystyle i}$Es cero para${\displaystyle i}$negativo. Por ejemplo,${\displaystyle {\text{Ext}}_{R}^{0}(A,B)}$es el núcleo del mapa${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,I^{0})\rightarrow {\text{Hom}}_{R}(A,I^{1})}$, que es isomorfo a${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,B)}$.

Una definición alternativa utiliza el functor${\displaystyle G(A)=\operatorname {Hom} _{R}(A,B)}$, para un fijo${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle B}$. Este es un functor contravariante , que puede verse como un functor exacto izquierdo de la categoría opuesta.${\displaystyle (R{\text{-Mod}})^{\text{op}}}$a${\displaystyle \mathbf {Ab} }$Los grupos Ext se definen como los functores derivados derechos.${\displaystyle R^{i}G}$:

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A).}$

Es decir, elija cualquier resolución proyectiva.

${\displaystyle \cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$

eliminar el término${\displaystyle A}$y forman el complejo de cocadena:

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots .}$

Entonces${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)}$es la cohomología de este complejo en la posición${\displaystyle i}$.

Uno podría preguntarse por qué la elección de la resolución se ha dejado vaga hasta ahora. De hecho, Cartan y Eilenberg demostraron que estas construcciones son independientes de la elección de resolución proyectiva o inyectiva, y que ambas construcciones producen los mismos grupos Ext. ^{[ 4 ]} Además, para un anillo fijo R , Ext es un functor en cada variable (contravariante en A , covariante en B ).

Para un anillo conmutativo R y R- módulos A y B , Ext ⁱ _R ( A , B ) es un R- módulo (usando que Hom _R ( A , B ) es un R- módulo en este caso). Para un anillo no conmutativo R , Ext ⁱ _R ( A , B ) es solo un grupo abeliano, en general. Si R es un álgebra sobre un anillo S (lo que significa en particular que S es conmutativo), entonces Ext ⁱ _R ( A , B ) es al menos un S -módulo.

Aquí están algunas de las propiedades y cálculos básicos de${\displaystyle \operatorname {Ext} }$grupos. ^{[ 5 ]}

• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{0}(A,B)\cong \operatorname {Hom} _{R}(A,B)}$para cualquier${\displaystyle R}$-módulos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$.
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=0}$a pesar de${\displaystyle i>0}$si el${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle A}$es proyectivo (por ejemplo, libre ) o si${\displaystyle B}$es inyectivo .
• Lo contrario también es cierto:
  • Si Ext ¹ _R ( A , B ) = 0 para todo B , entonces A es proyectivo (y por lo tanto Ext ⁱ _R ( A , B ) = 0 para todo i > 0).
  • Si Ext ¹ _R ( A , B ) = 0 para todo A , entonces B es inyectiva (y por lo tanto Ext ⁱ _R ( A , B ) = 0 para todo i > 0).
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0}$a pesar de${\displaystyle i\geq 2}$y todos los grupos abelianos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$. ^{[ 6 ]}
• Generalizando el ejemplo anterior,${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=0}$a pesar de${\displaystyle i\geq 2}$si${\displaystyle R}$es un dominio ideal principal .
• Si${\displaystyle R}$es un anillo conmutativo y${\displaystyle u}$en${\displaystyle R}$no es un divisor de cero , entonces

$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text{en otro caso,}}\end{cases}}}$$

para cualquier${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle B}$. Aquí${\displaystyle B[u]}$denota el${\displaystyle u}$- subgrupo de torsión de${\displaystyle B}$,${\displaystyle \{x\in B:ux=0\}}$. Tomando${\displaystyle R}$ser el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} }$de enteros, este cálculo se puede utilizar para calcular${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)}$para cualquier grupo abeliano finitamente generado${\displaystyle A}$.

• Generalizando el ejemplo anterior, se puede calcular${\displaystyle \operatorname {Ext} }$grupos cuando el primer módulo es el cociente de un anillo conmutativo por cualquier secuencia regular , utilizando el complejo de Koszul . ^{[ 7 ]} Por ejemplo, si${\displaystyle R}$es el anillo de polinomios${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$sobre un campo${\displaystyle k}$, entonces${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)}$es el álgebra exterior${\displaystyle S}$encima${\displaystyle k}$en${\displaystyle n}$generadores en${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{1}}$. Además,${\displaystyle \operatorname {Ext} _{S}^{*}(k,k)}$es el anillo de polinomios${\displaystyle R}$; este es un ejemplo de dualidad de Koszul .
• Por las propiedades generales de los functores derivados, existen dos secuencias exactas básicas para${\displaystyle \operatorname {Ext} }$. ^{[ 8 ]} Primero, una secuencia corta exacta${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow 0}$de${\displaystyle R}$-módulos induce una larga secuencia exacta de la forma

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(A,K)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,L)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,M)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,K)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots ,}$

para cualquier${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle A}$Además, una secuencia corta exacta${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow 0}$induce una larga secuencia exacta de la forma

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(M,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(L,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(K,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots ,}$

para cualquier${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle B}$.

• Ext toma sumas directas (posiblemente infinitas) en la primera variable y productos en la segunda variable para obtener productos. ^{[ 9 ]} Es decir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{aligned}}}$

• Sea A un módulo finitamente generado sobre un anillo noetheriano conmutativo R. Entonces Ext conmuta con la localización , en el sentido de que para cada conjunto multiplicativamente cerrado S en R , cada R -módulo B y cada entero i , ^{[ 10 ]}

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{i}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$

Nobuo Yoneda definió los grupos abelianos Ext ⁿ _C ( A , B ) para objetos A y B en cualquier categoría abeliana C ; esto concuerda con la definición en términos de resoluciones si C tiene suficientes proyectivos o suficientes inyectivos . Primero, Ext ⁰ _C ( A , B ) = Hom _C ( A , B ). Luego, Ext ¹ _C ( A , B ) es el conjunto de clases de equivalencia de extensiones de A por B , formando un grupo abeliano bajo la suma de Baer. Finalmente, los grupos Ext superiores Ext ⁿ _C ( A , B ) se definen como clases de equivalencia de n-extensiones , que son secuencias exactas

${\displaystyle 0\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0,}$

bajo la relación de equivalencia generada por la relación que identifica dos extensiones

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi :0&\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0\\\xi ':0&\to B\to X'_{n}\to \cdots \to X'_{1}\to A\to 0\end{aligned}}}$

si hay mapas${\displaystyle X_{m}\to X'_{m}}$para todo m en {1, 2, ..., n } de modo que cada cuadrado resultante conmuta$${\displaystyle {\begin{array}{cc cc cc c cc cc cc}0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\\&&{\Bigg \Vert }&&{\Bigg \downarrow }\iota _{n}\!&&&&{\Bigg \downarrow }\iota _{1}&&{\Bigg \Vert }&&\\0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X'_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X'_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\end{array}}}$$ es decir, si hay un mapa de cadena${\displaystyle \iota \colon \xi \to \xi '}$que es la identidad en A y B.

La suma de Baer de dos n -extensiones como la anterior se forma dejando${\displaystyle X''_{1}}$ser el retroceso de${\displaystyle X_{1}}$y${\displaystyle X'_{1}}$sobre A y${\displaystyle X''_{n}}$ser el empuje de${\displaystyle X_{n}}$y${\displaystyle X'_{n}}$bajo B . ^{[ 13 ]} Entonces la suma de Baer de las extensiones es

${\displaystyle 0\to B\to X''_{n}\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to \cdots \to X_{2}\oplus X'_{2}\to X''_{1}\to A\to 0.}$

Un punto importante es que los grupos Ext en una categoría abeliana C pueden verse como conjuntos de morfismos en una categoría asociada a C , la categoría derivada D ( C ). ^{[ 14 ]} Los objetos de la categoría derivada son complejos de objetos en C. Específicamente, se tiene

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)=\operatorname {Hom} _{D({\mathbf {C} })}(A,B[i]),}$

donde un objeto de C se considera un complejo concentrado en grado cero, y [ i ] significa desplazar un complejo i pasos a la izquierda. A partir de esta interpretación, hay una aplicación bilineal , a veces llamada producto de Yoneda :

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)\times \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{j}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i+j}(A,C),}$

que es simplemente la composición de morfismos en la categoría derivada.

El producto de Yoneda también puede describirse en términos más elementales. Para i = j = 0, el producto es la composición de mapas en la categoría C. En general, el producto puede definirse mediante la combinación de dos extensiones de Yoneda.

Alternativamente, el producto de Yoneda puede definirse en términos de resoluciones. (Esto se asemeja a la definición de la categoría derivada). Por ejemplo, sea R un anillo con R -módulos A , B , C , y sean P , Q y T resoluciones proyectivas de A , B , C. Entonces Ext ⁱ _R ( A , B ) puede identificarse con el grupo de clases de homotopía de cadenas de aplicaciones de cadena P → Q [ i ]. El producto de Yoneda se obtiene componiendo aplicaciones de cadena:

${\displaystyle P\to Q[i]\to T[i+j].}$

Según cualquiera de estas interpretaciones, el producto de Yoneda es asociativo. Como resultado,${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$es un anillo graduado , para cualquier R -módulo A. Por ejemplo, esto da la estructura de anillo en la cohomología de grupos.${\displaystyle H^{*}(G,\mathbb {Z} ),}$ya que esto puede ser visto como${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}$. También por la asociatividad del producto de Yoneda: para cualesquiera R- módulos A y B ,${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,B)}$es un módulo sobre${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$.

• La cohomología de grupos se define por

  ${\displaystyle H^{*}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M)}$,

dónde${\displaystyle G}$es un grupo,${\displaystyle M}$es una representación de${\displaystyle G}$sobre los enteros, y${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$es el anillo grupal de${\displaystyle G}$.

• Para un álgebra${\displaystyle A}$sobre un campo${\displaystyle k}$y un${\displaystyle A}$- bimódulo${\displaystyle M}$La cohomología de Hochschild se define por

  ${\displaystyle HH^{*}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}^{*}(A,M).}$

• La cohomología del álgebra de Lie se define por${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{*}(k,M)}$, dónde${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie sobre un anillo conmutativo${\displaystyle k}$,${\displaystyle M}$es un${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulo, y${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$es el álgebra envolvente universal .

• Para un espacio topológico${\displaystyle X}$, la cohomología de haces se puede definir como${\displaystyle H^{*}(X,A)=\operatorname {Ext} ^{*}(\mathbb {Z} _{X},A).}$Aquí Ext se toma en la categoría abeliana de haces de grupos abelianos en${\displaystyle X}$, y${\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}$es el haz de constantes locales${\displaystyle \mathbb {Z} }$funciones con valor. En lugar de${\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}$, se puede considerar cualquier haz de anillos${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$en${\displaystyle X}$y tome Ext en la categoría de haces de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos .

• Para un haz de módulos${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en un espacio anillado${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$, tomando los functores derivados correctos del haz Hom${\displaystyle {\mathcal {Hom}}_{X}({\mathcal {F}},-)}$, el Hom interno en la categoría de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos, proporciona los haces Ext${\displaystyle {\mathcal {Ext}}_{X}^{*}({\mathcal {F}},-)}$. ^{[ 15 ]} Están relacionados con los grupos Ext globales a través de la secuencia espectral Ext de local a global .

• Para un anillo local noetheriano conmutativo${\displaystyle R}$con campo de residuos${\displaystyle k}$,${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)}$es el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie graduada${\displaystyle \pi ^{*}(R)}$encima${\displaystyle k}$, conocida como el álgebra de Lie homotópica de${\displaystyle R}$. (Para ser precisos, cuando${\displaystyle k}$tiene característica 2,${\displaystyle \pi ^{*}(R)}$debe ser visto como un "álgebra de Lie ajustada". ^{[ 16 ]} ) Existe un homomorfismo natural de álgebras de Lie graduadas a partir de la cohomología de André-Quillen${\displaystyle D^{*}(k/R,k)}$a${\displaystyle \pi ^{*}(R)}$, que es un isomorfismo si${\displaystyle k}$tiene característica cero. ^{[ 17 ]}

• dimensión global
• resolución de barra
• Grupo Grothendieck
• Dualidad local de Grothendieck

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• Baer, ​​Reinhold (1934), "Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen", Mathematische Zeitschrift , 38 (1): 375– 416, doi : 10.1007/BF01170643 , Zbl 0009.01101 
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