Gajo (matemáticas)

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio topológico. Un prehaz${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de conjuntos en${\displaystyle X}$Consta de los siguientes datos:

• Para cada conjunto abierto${\displaystyle U\subsetequ X}$, existe un conjunto${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$Este conjunto también se denota${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {F}})}$. Los elementos de este conjunto se denominan secciones de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$encima${\displaystyle U}$Las secciones de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$encima${\displaystyle X}$se denominan secciones globales de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.
• Para cada inclusión de conjuntos abiertos${\displaystyle V\subsetequ U}$, una función${\displaystyle \operatorname {res} _{V}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(V)}$. En vista de muchos de los ejemplos que se muestran a continuación, los morfismos${\displaystyle {\text{res}}_{V}^{U}}$se denominan morfismos de restricción . Si${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)}$, entonces su restricción${\displaystyle {\text{res}}_{V}^{U}(s)}$a menudo se denota${\displaystyle s|_{V}}$por analogía con la restricción de funciones.

Los morfismos de restricción deben satisfacer dos propiedades ( funtoriales ) adicionales:

• Para cada conjunto abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle X}$, el morfismo de restricción${\displaystyle \operatorname {res} _{U}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(U)}$es el morfismo identidad en${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$.
• Si tenemos tres conjuntos abiertos${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$, luego el compuesto${\displaystyle {\text{res}}_{W}^{V}\circ {\text{res}}_{V}^{U}={\text{res}}_{W}^{U}}$.

De manera informal, el segundo axioma dice que no importa si nos restringimos a${\displaystyle W}$en un paso o restringir primero a${\displaystyle V}$, luego a${\displaystyle W}$Más adelante se ofrece una reformulación functorial concisa de esta definición.

Muchos ejemplos de prehaces provienen de diferentes clases de funciones: a cualquier${\displaystyle U}$, se puede asignar el conjunto${\displaystyle C^{0}(U)}$de funciones continuas de valor real en${\displaystyle U}$. Los mapas de restricción se obtienen simplemente restringiendo una función continua en${\displaystyle U}$a un subconjunto abierto más pequeño${\displaystyle V\subseteq U}$, que de nuevo es una función continua. Los dos axiomas de prehaz se comprueban inmediatamente, dando así un ejemplo de un prehaz. Esto se puede extender a un prehaz de funciones holomorfas.${\displaystyle {\mathcal {H}}(-)}$y un haz previo de funciones suaves${\displaystyle C^{\infty }(-)}$.

Otra clase común de ejemplos es la asignación a${\displaystyle U}$el conjunto de funciones constantes de valor real en${\displaystyle U}$. Este prehaz se llama prehaz constante asociado a${\displaystyle \mathbb {R} }$y se denota${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}^{\text{psh}}}$.

Dado un haz previo, una pregunta natural que cabe plantearse es hasta qué punto sus secciones sobre un conjunto abierto${\displaystyle U}$se especifican por sus restricciones a subconjuntos abiertos de${\displaystyle U}$. Un haz es un prehaz cuyas secciones están, en un sentido técnico, determinadas de forma única por sus restricciones.

Axiomáticamente, un haz es un prehaz que satisface ambos axiomas siguientes:

1. ( Localidad ) Supongamos${\displaystyle U}$es un conjunto abierto,${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$es una cubierta abierta de${\displaystyle U}$con${\displaystyle U_{i}\subseteq U}$a pesar de${\displaystyle i\in I}$, y${\displaystyle s,t\in {\mathcal {F}}(U)}$son secciones. Si${\displaystyle s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}}$a pesar de${\displaystyle i\in I}$, entonces${\displaystyle s=t}$.
2. ( Pegado ) Supongamos${\displaystyle U}$es un conjunto abierto,${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$es una cubierta abierta de${\displaystyle U}$con${\displaystyle U_{i}\subseteq U}$a pesar de${\displaystyle i\in I}$, y${\displaystyle \{s_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})\}_{i\in I}}$es una familia de secciones. Si todos los pares de secciones coinciden en la superposición de sus dominios, es decir, si${\displaystyle s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$a pesar de${\displaystyle i,j\in I}$, entonces existe una sección${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)}$de tal manera que${\displaystyle s|_{U_{i}}=s_{i}}$a pesar de${\displaystyle i\in I}$. ^{[ 1 ]}

• 
  Secciones sobre dos aberturas del espacio de dos puntos.
• 
  Pegar secciones locales compatibles a una sección sobre la unión.

En ambos axiomas, la hipótesis sobre la cubierta abierta es equivalente a la suposición de que${\textstyle \bigcup _{i\in I}U_{i}=U}$.

La sección${\displaystyle s}$cuya existencia está garantizada por el axioma 2 se denomina pegado , concatenación o cotejo de las secciones.${\displaystyle s_{i}}$. Por el axioma 1 es único. Secciones${\displaystyle s_{i}}$y${\displaystyle s_{j}}$Las secciones que satisfacen la condición previa de acuerdo del axioma 2 se denominan a menudo compatibles  ; por lo tanto, los axiomas 1 y 2 juntos establecen que cualquier colección de secciones compatibles por pares puede unirse de forma única . Un prehaz separado , o monoprehaz , es un prehaz que satisface el axioma 1. ^{[ 2 ]}

El prehaz que consta de las funciones continuas mencionadas anteriormente es un haz. Esta afirmación se reduce a comprobar que, dadas las funciones continuas${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to \mathbb {R} }$que coinciden en las intersecciones${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$, existe una función continua única${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$cuya restricción es igual a la${\displaystyle f_{i}}$. Por el contrario, el prehaz constante generalmente no es un haz, ya que no satisface el axioma de localidad en el conjunto vacío (esto se explica con más detalle en haz constante ).

Las gavillas previas y las gavillas se suelen indicar con letras mayúsculas,${\displaystyle F}$siendo particularmente común, presumiblemente para la palabra francesa para gavilla, faisceau . Uso de letras caligráficas como${\displaystyle {\mathcal {F}}}$También es común.

Se puede demostrar que para especificar un haz, basta con especificar su restricción a los conjuntos abiertos de una base para la topología del espacio subyacente. Además, también se puede demostrar que basta con verificar los axiomas de haz anteriores con respecto a los conjuntos abiertos de un recubrimiento. Esta observación se utiliza para construir otro ejemplo crucial en geometría algebraica, a saber, los haces cuasi-coherentes . Aquí, el espacio topológico en cuestión es el espectro de un anillo conmutativo.${\displaystyle R}$cuyos puntos son los ideales primordiales${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$en${\displaystyle R}$Los conjuntos abiertos${\displaystyle D_{f}:=\{{\mathfrak {p}}\subseteq R,f\notin {\mathfrak {p}}\}}$forman una base para la topología de Zariski en este espacio. Dado un${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle M}$, hay un haz, denotado por${\displaystyle {\tilde {M}}}$en el${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$, que satisface $${\displaystyle {\tilde {M}}(D_{f}):=M[1/f],}$$ dónde${\displaystyle M[1/f]}$es la localización de${\displaystyle M}$en${\displaystyle f}$.

Existe otra caracterización de las gavillas que es equivalente a la discutida anteriormente. Una pregavilla${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un haz si y solo si para cualquier apertura${\displaystyle U}$y cualquier cubierta abierta${\displaystyle \{U_{a}\}}$de${\displaystyle U}$,${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$es el producto de fibra${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\cong {\mathcal {F}}(U_{a})\times _{{\mathcal {F}}(U_{a}\cap U_{b})}{\mathcal {F}}(U_{b})}$Esta caracterización es útil en la construcción de haces, por ejemplo, si${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$son haces abelianos , entonces el núcleo del morfismo de haces${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$es un haz, ya que los límites proyectivos conmutan con los límites proyectivos. Por otro lado, el conúcleo no siempre es un haz porque los límites inductivos no necesariamente conmutan con los límites proyectivos. Una forma de solucionar esto es considerar los espacios topológicos noetherianos; todos los conjuntos abiertos son compactos, por lo que el conúcleo es un haz, ya que los límites proyectivos finitos conmutan con los límites inductivos.

Una de las motivaciones históricas para los haces proviene del estudio de variedades complejas , ^{[ 4 ]} geometría analítica compleja , ^{[ 5 ]} y teoría de esquemas de geometría algebraica . Esto se debe a que en todos los casos anteriores, consideramos un espacio topológico.${\displaystyle X}$junto con una estructura de haz${\displaystyle {\mathcal {O}}}$Esto le confiere la estructura de una variedad compleja, un espacio analítico complejo o un esquema. Esta perspectiva de dotar a un espacio topológico de un haz es fundamental para la teoría de los espacios localmente anillados (véase más adelante).

En términos generales, los morfismos de haces son análogos a las funciones entre ellos. A diferencia de una función entre conjuntos, que simplemente asigna salidas a entradas, los morfismos de haces también deben ser compatibles con las estructuras locales y globales de los haces subyacentes. Esta idea se precisa en la siguiente definición.

Dejar${\displaystyle {\mathcal {F}}}$y${\displaystyle {\mathcal {G}}}$sean dos haces de conjuntos (respectivamente grupos abelianos, anillos, etc.) en${\displaystyle X}$Un morfismo${\displaystyle \varphi$ :{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}} consiste en un morfismo${\displaystyle \varphi _{U}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)}$de conjuntos (respectivamente grupos abelianos, anillos, etc.) para cada conjunto abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle X}$, sujeto a la condición de que este morfismo sea compatible con restricciones. En otras palabras, para cada subconjunto abierto${\displaystyle V}$de un conjunto abierto${\displaystyle U}$, el siguiente diagrama es conmutativo .

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {F}}(U)&\xrightarrow {\quad \varphi _{U}\quad } &{\mathcal {G}}(U)\\r_{V}^{U}{\Biggl \downarrow }&&{\Biggl \downarrow }{r'}_{V}^{U}\\{\mathcal {F}}(V)&{\xrightarrow[{\quad \varphi _{V}\quad }]{}}&{\mathcal {G}}(V)\end{array}}}$$

Por ejemplo, al tomar la derivada se obtiene un morfismo de haces en${\displaystyle \mathbb {R} }$,

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n-1}.}$$

De hecho, dado un (${\displaystyle n}$-veces continuamente diferenciable) función${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$(con${\displaystyle U}$en${\displaystyle \mathbb {R} }$abierto), la restricción (a un subconjunto abierto más pequeño)${\displaystyle V}$) de su derivada es igual a la derivada de${\displaystyle f|_{V}}$.

Con esta noción de morfismo, haces de conjuntos (respectivamente grupos abelianos, anillos, etc.) en un espacio topológico fijo${\displaystyle X}$forman una categoría . Por lo tanto, las nociones categóricas generales de monomorfismos , epimorfismos e isomorfismos pueden aplicarse a los haces.

De hecho, desde el punto de vista de la teoría de categorías, la categoría de haces sobre una (pequeña) categoría${\displaystyle C}$con valores en otra categoría${\displaystyle D}$es una subcategoría completa de la categoría de prehazillas sobre${\displaystyle C}$con valores en${\displaystyle D}$, que es simplemente la categoría${\displaystyle D^{C^{\text{op}}}}$de functores contravariantes de${\displaystyle C}$a${\displaystyle D}$con transformaciones naturales entre ellos como morfismos: la noción de morfismo definida anteriormente puede simplemente enunciarse como${\displaystyle \varphi }$siendo una transformación natural entre los dos haces vistos como functores.

Un morfismo${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$de gavillas en${\displaystyle X}$es un isomorfismo (respectivamente un monomorfismo) si y solo si para cada conjunto abierto${\displaystyle U\subseteq X}$, tenemos un isomorfismo${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\approx {\mathcal {G}}(U)}$lo cual es natural con respecto a los mapas de restricción. Estas afirmaciones dan ejemplos de cómo trabajar con haces usando información local, pero es importante señalar que no podemos comprobar si un morfismo de haces es un epimorfismo de la misma manera. De hecho, la afirmación de que los mapas en el nivel de conjuntos abiertos${\displaystyle \varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {G}}(U)}$El hecho de que no siempre sean sobreyectivos para epimorfismos de haces es equivalente a la no exactitud del functor de secciones globales, o equivalentemente, a la no trivialidad de la cohomología de haces .

El tallo${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$de un haz${\displaystyle {\mathcal {F}}}$captura las propiedades de un haz "alrededor" de un punto${\displaystyle x\in X}$, generalizando los gérmenes de las funciones . Aquí, "alrededor" significa que, conceptualmente hablando, se observan vecindarios cada vez más pequeños del punto. Por supuesto, ningún vecindario individual será lo suficientemente pequeño, lo que requiere considerar algún tipo de límite. Más precisamente, el tallo se define por

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U),}$$

el límite directo es sobre todos los subconjuntos abiertos de${\displaystyle X}$que contiene el punto dado${\displaystyle x}$. En otras palabras, un elemento del tallo viene dado por una sección sobre algún entorno abierto de${\displaystyle x}$y dos de esas secciones se consideran equivalentes si sus restricciones coinciden en un vecindario más pequeño.

El morfismo natural${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}_{x}}$toma una sección${\displaystyle s}$en${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$a su germen${\displaystyle s_{x}}$en${\displaystyle x}$Esto generaliza la definición habitual de germen .

En muchas situaciones, conocer los tallos de un haz es suficiente para controlar el haz mismo. Por ejemplo, se puede comprobar si un morfismo de haces es un monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo en los tallos. En este sentido, un haz está determinado por sus tallos, que son datos locales. Por el contrario, la información global presente en un haz, es decir, las secciones globales , es decir, las secciones${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$en todo el espacio${\displaystyle X}$, normalmente contienen menos información. Por ejemplo, para un colector complejo compacto${\displaystyle X}$, las secciones globales del haz de funciones holomorfas son simplemente${\displaystyle \mathbb {C} }$, ya que cualquier función holomorfa${\displaystyle X\to \mathbb {C} }$es constante según el teorema de Liouville . ^{[ 6 ]}

Con frecuencia es útil tomar los datos contenidos en un prehaz y expresarlos como un haz. Resulta que hay una mejor manera posible de hacerlo. Se toma un prehaz${\displaystyle {\mathcal {F}}}$y produce un nuevo haz${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$llamada gavilla o gavilla asociada a la pregavilla${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Por ejemplo, la formación de haces del prehaz constante (véase más arriba) se denomina haz constante . A pesar de su nombre, sus secciones son funciones localmente constantes .

El haz${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$se puede construir utilizando el espacio étalé${\displaystyle E}$de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, es decir, como el haz de secciones del mapa

$${\displaystyle E\to X.}$$

Otra construcción del haz${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$procede mediante un functor${\displaystyle L}$de prehazillas a prehazillas que mejora gradualmente las propiedades de una prehazilla: para cualquier prehazilla${\displaystyle {\mathcal {F}}}$,${\displaystyle L{\mathcal {F}}}$es una gavilla separada, y para cualquier gavilla separada${\displaystyle {\mathcal {F}}}$,${\displaystyle L{\mathcal {F}}}$es un haz. El haz asociado${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$es dado por${\displaystyle LL{\mathcal {F}}}$. ^{[ 8 ]}

La idea de que el haz${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$es la mejor aproximación posible a${\displaystyle {\mathcal {F}}}$mediante un haz se hace preciso utilizando la siguiente propiedad universal : existe un morfismo natural de prehaces.${\displaystyle i\colon {\mathcal {F}}\to a{\mathcal {F}}}$de modo que para cualquier haz${\displaystyle {\mathcal {G}}}$y cualquier morfismo de prehaces${\displaystyle f\colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$, existe un morfismo único de haces${\displaystyle {\tilde {f}}\colon a{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$de tal manera que${\displaystyle f={\tilde {f}}i}$. De hecho,${\displaystyle a}$es el functor adjunto izquierdo del functor de inclusión (o functor de olvido ) de la categoría de haces a la categoría de prehaces, y${\displaystyle i}$es la unidad de la adjunción. De esta forma, la categoría de haces se convierte en una subcategoría de Giraud de prehaces. Esta situación categórica es la razón por la que el functor de hazificación aparece en la construcción de conúcleos de morfismos de haces o productos tensoriales de haces, pero no para núcleos, por ejemplo.

Si${\displaystyle K}$es un subhaz de un haz${\displaystyle F}$de grupos abelianos, entonces el haz cociente${\displaystyle Q}$es la gavilla asociada a la pregavilla${\displaystyle U\mapsto F(U)/K(U)}$; en otras palabras, el haz cociente encaja en una secuencia exacta de haces de grupos abelianos;

$${\displaystyle 0\to K\to F\to Q\to 0.}$$

(Esto también se denomina extensión de haz ).

Dejar${\displaystyle F,G}$ser haces de grupos abelianos. El conjunto${\displaystyle \operatorname {Hom} (F,G)}$de morfismos de haces de${\displaystyle F}$a${\displaystyle G}$forma un grupo abeliano (por la estructura de grupo abeliano de${\displaystyle G}$). El haz hom de${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$, denotado por,

$${\displaystyle {\mathcal {Hom}}(F,G)}$$

es el haz de grupos abelianos${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} (F|_{U},G|_{U})}$dónde${\displaystyle F|_{U}}$¿Está el haz en${\displaystyle U}$dado por${\displaystyle (F|_{U})(V)=F(V)}$(tenga en cuenta que aquí no se necesita la cesación). La suma directa de${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$es el haz dado por${\displaystyle U\mapsto F(U)\oplus G(U)}$y el producto tensorial de${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$es la gavilla asociada a la pregavilla${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes G(U)}$.

Todas estas operaciones se extienden a haces de módulos sobre un haz de anillos.${\displaystyle A}$; lo anterior es el caso especial cuando${\displaystyle A}$es el haz constante${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$.

Dado que los datos de un (pre)haz dependen de los subconjuntos abiertos del espacio base, los haces en diferentes espacios topológicos no están relacionados entre sí en el sentido de que no hay morfismos entre ellos. Sin embargo, dado un mapa continuo${\displaystyle f:X\to Y}$entre dos espacios topológicos, pushforward y pullback relacionan haces en${\displaystyle X}$a aquellos en${\displaystyle Y}$y viceversa.

Extensión por cero

Para la inclusión${\displaystyle j:U\to X}$de un subconjunto abierto, la extensión por cero${\displaystyle j_{!}{\mathcal {F}}}$(se pronuncia "j chillido inferior de F") de un haz${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de grupos abelianos en${\displaystyle U}$es la cesación de la precesa definida por

$${\displaystyle V\mapsto {\begin{cases}{\mathcal {F}}(V)&{\textrm {if}}\ V\subseteq U\\0&{\textrm {otherwise.}}\end{cases}}}$$

Para un haz${\displaystyle {\mathcal {G}}}$en${\displaystyle X}$, esta construcción es en cierto sentido complementaria a${\displaystyle i_{*}}$, dónde${\displaystyle i:X\setminus U\to X}$es la inclusión del complemento de${\displaystyle U}$:

${\displaystyle (j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}}$para${\displaystyle x}$en${\displaystyle U}$y el tallo es cero en caso contrario, mientras que

${\displaystyle (i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0}$para${\displaystyle x}$en${\displaystyle U}$y es igual a${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}}$de lo contrario.

En términos más generales, si${\displaystyle A\subset X}$Si es un subconjunto cerrado localmente , entonces existe un subconjunto abierto.${\displaystyle U}$de${\displaystyle X}$que contiene${\displaystyle A}$de tal manera que${\displaystyle A}$está cerrado en${\displaystyle U}$. Dejar${\displaystyle f:A\to U}$y${\displaystyle j:U\to X}$sean las inclusiones naturales. Entonces la extensión por cero de un haz${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en${\displaystyle A}$se define por${\displaystyle j_{!}f_{*}F}$.

Debido a su buen comportamiento en tallos, la extensión por functor cero es útil para reducir cuestiones teóricas de haces en${\displaystyle X}$a los que se encuentran en los estratos de una estratificación , es decir, una descomposición de${\displaystyle X}$en subconjuntos más pequeños y localmente cerrados.

Además de las (pre)hazas introducidas anteriormente, donde${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$Si bien se trata simplemente de un conjunto, en muchos casos es importante tener en cuenta la estructura adicional de estas secciones. Por ejemplo, las secciones del haz de funciones continuas forman naturalmente un espacio vectorial real , y la restricción es una aplicación lineal entre estos espacios vectoriales.

Prehaces con valores en una categoría arbitraria${\displaystyle C}$se definen considerando primero la categoría de conjuntos abiertos en${\displaystyle X}$ser la categoría posetal${\displaystyle O(X)}$cuyos objetos son los conjuntos abiertos de${\displaystyle X}$y cuyos morfismos son inclusiones. Entonces un${\displaystyle C}$-prefaja valorada en${\displaystyle X}$es lo mismo que un functor contravariante de${\displaystyle O(X)}$a${\displaystyle C}$Los morfismos en esta categoría de functores, también conocidos como transformaciones naturales , son los mismos que los morfismos definidos anteriormente, como se puede ver al analizar las definiciones.

Si la categoría objetivo${\displaystyle C}$admite todos los límites , un${\displaystyle C}$-un prehaz valorado es un haz si el siguiente diagrama es un ecualizador para cada cubierta abierta ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$de cualquier conjunto abierto${\displaystyle U}$:

$${\displaystyle F(U)\rightarrow \prod _{i}F(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$$

Aquí el primer mapa es el producto de los mapas de restricción.

$${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i},U}\colon F(U)\rightarrow F(U_{i})}$$

y el par de flechas son los productos de los dos conjuntos de restricciones

$${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}\colon F(U_{i})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j})}$$

y

$${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}\colon F(U_{j})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j}).}$$

Si${\displaystyle C}$es una categoría abeliana , esta condición también puede reformularse exigiendo que exista una secuencia exacta.

$${\displaystyle 0\to F(U)\to \prod _{i}F(U_{i})\xrightarrow {\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}-\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}} \prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$$

Un caso particular de esta condición de haz ocurre para${\displaystyle U}$siendo el conjunto vacío y el conjunto de índices${\displaystyle I}$también estar vacío. En este caso, la condición de haz requiere${\displaystyle {\mathcal {F}}(\emptyset )}$ser el objeto terminal en${\displaystyle C}$.

En varias disciplinas geométricas, incluyendo la geometría algebraica y la geometría diferencial , los espacios vienen acompañados de un haz natural de anillos, a menudo llamado haz estructural y denotado por${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$Una pareja así${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$se denomina espacio anillado . Muchos tipos de espacios pueden definirse como ciertos tipos de espacios anillados. Comúnmente, todos los tallos${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$de la estructura del haz son anillos locales , en cuyo caso el par se denomina espacio localmente anillado .

Por ejemplo, un${\displaystyle n}$-dimensional${\displaystyle C^{k}}$colector${\displaystyle M}$es un espacio localmente anillado cuya estructura de haz consiste en${\displaystyle C^{k}}$-funciones en los subconjuntos abiertos de${\displaystyle M}$La propiedad de ser un espacio localmente anillado se traduce en el hecho de que dicha función, que no es cero en un punto${\displaystyle x}$, también es distinto de cero en un entorno abierto suficientemente pequeño de${\displaystyle x}$. Algunos autores definen las variedades reales (o complejas) como espacios localmente anillados que son localmente isomorfos al par que consiste en un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(respectivamente${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) junto con el haz de${\displaystyle C^{k}}$funciones (respectivamente holomorfas). ^{[ 10 ]} De manera similar, los esquemas , la noción fundamental de espacios en geometría algebraica, son espacios localmente anillados que son localmente isomorfos al espectro de un anillo .

Dado un espacio anillado, un haz de módulos es un haz.${\displaystyle {\mathcal {M}}}$de tal manera que en cada conjunto abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle X}$,${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$es un${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$-módulo y para cada inclusión de conjuntos abiertos${\displaystyle V\subseteq U}$, el mapa de restricciones${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)\to {\mathcal {M}}(V)}$es compatible con el mapa de restricciones${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)\to {\mathcal {O}}(V)}$: la restricción de${\displaystyle fs}$es la restricción de${\displaystyle f}$veces que de${\displaystyle s}$para cualquier${\displaystyle f}$en${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$y${\displaystyle s}$en${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$.

Los objetos geométricos más importantes son haces de módulos. Por ejemplo, existe una correspondencia biunívoca entre haces vectoriales y haces localmente libres de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos. Este paradigma se aplica a haces vectoriales reales, haces vectoriales complejos o haces vectoriales en geometría algebraica (donde${\displaystyle {\mathcal {O}}}$consisten en funciones suaves, funciones holomorfas o funciones regulares, respectivamente). Los haces de soluciones a ecuaciones diferenciales son${\displaystyle D}$-módulos , es decir, módulos sobre el haz de operadores diferenciales . En cualquier espacio topológico, módulos sobre el haz constante${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$son lo mismo que haces de grupos abelianos en el sentido anterior.

Existe un functor de imagen inversa diferente para haces de módulos sobre haces de anillos. Este functor se suele denotar${\displaystyle f^{*}}$y es distinto de${\displaystyle f^{-1}}$. Véase el functor de imagen inversa .

En los ejemplos anteriores se observó que algunos haces aparecen naturalmente como haces de secciones. De hecho, todos los haces de conjuntos pueden representarse como haces de secciones de un espacio topológico llamado espacio étalé , del francés [ étalé ] , que significa aproximadamente "extendido".${\displaystyle F\in {\text{Sh}}(X)}$es un haz sobre${\displaystyle X}$, entonces el espacio étalé (a veces llamado espacio étale ) de${\displaystyle F}$es un espacio topológico${\displaystyle E}$junto con un homeomorfismo local${\displaystyle \pi :E\to X}$de tal manera que el haz de secciones${\displaystyle \Gamma (\pi ,-)}$de${\displaystyle \pi }$es${\displaystyle F}$El espacio${\displaystyle E}$suele ser muy extraño, e incluso si el haz${\displaystyle F}$surge de una situación topológica natural,${\displaystyle E}$puede que no tenga ninguna interpretación topológica clara. Por ejemplo, si${\displaystyle F}$es el haz de secciones de una función continua${\displaystyle f:Y\to X}$, entonces${\displaystyle E=Y}$si y solo si${\displaystyle f}$es un homeomorfismo local .

El espacio étalé${\displaystyle E}$está construido a partir de los tallos de${\displaystyle F}$encima${\displaystyle X}$. Como conjunto, es su unión disjunta y${\displaystyle \pi }$es el mapa obvio que toma el valor${\displaystyle x}$en el tallo de${\displaystyle F}$encima${\displaystyle x\in X}$. La topología de${\displaystyle E}$se define de la siguiente manera. Para cada elemento${\displaystyle s\in F(U)}$y cada uno${\displaystyle x\in U}$, obtenemos un germen de${\displaystyle s}$en${\displaystyle x}$, denotado${\displaystyle [s]_{x}}$o${\displaystyle s_{x}}$Estos gérmenes determinan puntos de${\displaystyle E}$. Para cualquier${\displaystyle U}$y${\displaystyle s\in F(U)}$, la unión de estos puntos (para todos${\displaystyle x\in U}$) se declara abierto en${\displaystyle E}$Nótese que cada tallo tiene la topología discreta como topología de subespacio . Un morfismo entre dos haces determina una aplicación continua de los espacios étalé correspondientes que es compatible con las aplicaciones de proyección (en el sentido de que cada germen se mapea a un germen sobre el mismo punto). Esto convierte la construcción en un functor.

La construcción anterior determina una equivalencia de categorías entre la categoría de haces de conjuntos en${\displaystyle X}$y la categoría de espacios étalé sobre${\displaystyle X}$. La construcción de un espacio étalé también se puede aplicar a un prehaz, en cuyo caso el haz de secciones del espacio étalé recupera el haz asociado al prehaz dado.

Esta construcción convierte todos los haces en functores representables en ciertas categorías de espacios topológicos. Como se indicó anteriormente, sea${\displaystyle F}$ser un haz en${\displaystyle X}$, dejar${\displaystyle E}$sea ​​su espacio de estudio, y deje que${\displaystyle \pi :E\to X}$ser la proyección natural. Considere la sobrecategoría${\displaystyle {\text{Top}}/X}$de espacios topológicos sobre${\displaystyle X}$, es decir, la categoría de espacios topológicos junto con aplicaciones continuas fijas a${\displaystyle X}$Cada objeto de esta categoría es un mapa continuo.${\displaystyle f:Y\to X}$y un morfismo de${\displaystyle Y\to X}$a${\displaystyle Z\to X}$es un mapa continuo${\displaystyle Y\to Z}$que se comunica con los dos mapas a${\displaystyle X}$. Hay un functor

${\displaystyle \Gamma$ :{\text{Top}}/X\to {\text{Sets}}}

enviar un objeto${\displaystyle f:Y\to X}$a${\displaystyle f^{-1}F(Y)}$. Por ejemplo, si${\displaystyle i:U\hookrightarrow X}$es la inclusión de un subconjunto abierto, entonces

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(U)=F(U)=\Gamma (F,U)}$

y por la inclusión de un punto${\displaystyle i:\{x\}\hookrightarrow X}$, entonces

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(\{x\})=F|_{x}}$

es el tallo de${\displaystyle F}$en${\displaystyle x}$Existe un isomorfismo natural.

${\displaystyle (f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )}$,

lo cual demuestra que${\displaystyle \pi :E\to X}$(para el espacio étalé) representa el functor${\displaystyle \Gamma }$.

${\displaystyle E}$se construye de manera que el mapa de proyección${\displaystyle \pi }$es un mapa de recubrimiento. En geometría algebraica, el análogo natural de un mapa de recubrimiento se llama morfismo étale . A pesar de su similitud con "étalé", la palabra étale [ etal ] tiene un significado diferente en francés. Es posible convertir${\displaystyle E}$en un plan y${\displaystyle \pi }$en un morfismo de esquemas de tal manera que${\displaystyle \pi }$conserva la misma propiedad universal, pero${\displaystyle \pi }$En general, no es un morfismo étale porque no es cuasi-finito. Sin embargo, formalmente es étale .

La definición de haces mediante espacios étalé es anterior a la definición dada anteriormente en el artículo. Todavía se utiliza comúnmente en algunas áreas de las matemáticas, como el análisis matemático .

Especialmente en el contexto de haces sobre variedades, la cohomología de haces a menudo se puede calcular utilizando resoluciones por haces suaves , haces finos y haces flexibles (también conocidos como haces flasque, del francés flasque, que significa flexible). Por ejemplo, un argumento de partición de la unidad muestra que el haz de funciones suaves sobre una variedad es suave. Los grupos de cohomología superiores${\displaystyle H^{i}(U,{\mathcal {F}})}$para${\displaystyle i>0}$desaparece para haces suaves, lo que proporciona una forma de calcular la cohomología de otros haces. Por ejemplo, el complejo de De Rham es una resolución del haz constante.${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$en cualquier variedad lisa, por lo que la cohomología de haces de${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$es igual a su cohomología de de Rham .

Un enfoque diferente es mediante la cohomología de Čech . La cohomología de Čech fue la primera teoría de cohomología desarrollada para haces y es muy adecuada para cálculos concretos, como el cálculo de la cohomología de haces coherentes de un espacio proyectivo complejo.${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$[ ^{11 ] Relaciona secciones sobre subconjuntos abiertos del espacio con clases de cohomología en el espacio. En la mayoría de los casos, la cohomología de Čech calcula los mismos grupos de cohomología que la cohomología de} functores derivada. Sin embargo, para algunos espacios patológicos, la cohomología de Čech dará el correcto${\displaystyle H^{1}}$pero grupos de cohomología superior incorrectos. Para solucionar esto, Jean-Louis Verdier desarrolló hiperrecubrimientos . Los hiperrecubrimientos no solo proporcionan los grupos de cohomología superior correctos, sino que también permiten reemplazar los subconjuntos abiertos mencionados anteriormente por ciertos morfismos de otro espacio. Esta flexibilidad es necesaria en algunas aplicaciones, como la construcción de las estructuras de Hodge mixtas de Pierre Deligne .

Muchos otros grupos de cohomología de haces coherentes se encuentran utilizando una incrustación.${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$de un espacio${\displaystyle X}$en un espacio con cohomología conocida, como por ejemplo${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$o algún espacio proyectivo ponderado . De esta manera, los grupos de cohomología de haces conocidos en estos espacios ambientales pueden relacionarse con los haces.${\displaystyle i_{*}{\mathcal {F}}}$, donación${\displaystyle H^{i}(Y,i_{*}{\mathcal {F}})\cong H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$Por ejemplo, el cálculo de la cohomología de haces coherentes de curvas planas proyectivas se encuentra fácilmente. Un gran teorema en este espacio es la descomposición de Hodge encontrada utilizando una secuencia espectral asociada a grupos de cohomología de haces , demostrada por Deligne. ^{[ 12 ] [ 13 ]} Esencialmente, la${\displaystyle E_{1}}$-página con términos

${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p}(X,\Omega _{X}^{q})}$

la cohomología de haces de una variedad proyectiva suave${\displaystyle X}$, degenerados, significado${\displaystyle E_{1}=E_{\infty }}$Esto da como resultado la estructura de Hodge canónica sobre los grupos de cohomología.${\displaystyle H^{k}(X,\mathbb {C} )}$Posteriormente se descubrió que estos grupos de cohomología se pueden calcular fácilmente de forma explícita utilizando residuos de Griffiths . Véase ideal jacobiano . Este tipo de teoremas conducen a uno de los teoremas más profundos sobre la cohomología de variedades algebraicas, el teorema de descomposición , allanando el camino para los módulos de Hodge mixtos .

Otro método sencillo para calcular algunos grupos de cohomología es el teorema de Borel-Bott-Weil , que identifica los grupos de cohomología de ciertos fibrados de líneas en variedades de banderas con representaciones irreducibles de grupos de Lie . Este teorema puede utilizarse, por ejemplo, para calcular fácilmente los grupos de cohomología de todos los fibrados de líneas en el espacio proyectivo y las variedades de Grassmann .

En muchos casos existe una teoría de dualidad para haces que generaliza la dualidad de Poincaré . Véase la dualidad de Grothendieck y la dualidad de Verdier .

La categoría derivada de la categoría de haces de, digamos, grupos abelianos en algún espacio X , denotada aquí como${\displaystyle D(X)}$, es el refugio conceptual para la cohomología de haces, en virtud de la siguiente relación: $${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=\operatorname {Hom} _{D(X)}(\mathbf {Z} ,{\mathcal {F}}[n]).}$$ La adjunción entre${\displaystyle f^{-1}}$, que es el adjunto izquierdo de${\displaystyle f_{*}}$(ya en el nivel de haces de grupos abelianos) da lugar a una adjunción $${\displaystyle f^{-1}:D(Y)\rightleftarrows D(X):Rf_{*}}$$ (para${\displaystyle f:X\to Y}$), dónde${\displaystyle Rf_{*}}$es el functor derivado. Este último functor abarca la noción de cohomología de haces ya que${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=R^{n}f_{*}{\mathcal {F}}}$para${\displaystyle f:X\to \{*\}}$.