Sistema local

En matemáticas , un sistema local (o un sistema de coeficientes locales ) en un espacio topológico X es una herramienta de la topología algebraica que interpola entre la cohomología con coeficientes en un grupo abeliano fijo A y la cohomología de haces general en la que los coeficientes varían de un punto a otro. Los sistemas de coeficientes locales fueron introducidos por Norman Steenrod en 1943. ^{[ 1 ]}

Los sistemas locales son los componentes básicos de herramientas más generales, como las haces constructibles y perversas .

Sea X un espacio topológico . Un sistema local (de grupos abelianos / módulos ...) en X es un haz localmente constante (de grupos abelianos/ de módulos ...) en X. En otras palabras, un haz es un sistema local si cada punto tiene un entorno abierto tal que el haz restringido es isomorfo a la hazificación de algún prehaz constante. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{U}}$

Si X es conexo por caminos , un sistema local de grupos abelianos tiene el mismo tallo en cada punto. Existe una correspondencia biyectiva entre los sistemas locales en X y los homomorfismos de grupos. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle \rho :\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}(L)}$

y de forma similar para sistemas locales de módulos. El mapa que da el sistema local se llama representación monodromía de . ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}(L)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Esto demuestra que (para X conexo por caminos) un sistema local es precisamente un haz cuya retracción a la cubierta universal de X es un haz constante.

Esta correspondencia puede actualizarse a una equivalencia de categorías entre la categoría de sistemas locales de grupos abelianos en X y la categoría de grupos abelianos dotados de una acción de (equivalentemente, -módulos). ^{[ 2 ]}${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X,x)]}$

Una definición no equivalente más fuerte que funciona para X no conexo es la siguiente: un sistema local es un functor covariante.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\colon \Pi _{1}(X)\to {\textbf {Mod}}(R)}$

del grupoide fundamental de a la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo , donde típicamente . Esto es equivalente a los datos de una asignación a cada punto un módulo junto con una representación de grupo tal que los diversos son compatibles con el cambio de punto base y el mapa inducido en grupos fundamentales . ${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \rho _{x}:\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}_{R}(M)}$${\displaystyle \rho _{x}}$${\displaystyle x\to y}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to \pi _{1}(X,y)}$

• Haces constantes como . Esta es una herramienta útil para calcular la cohomología ya que en buenas situaciones, existe un isomorfismo entre la cohomología de haces y la cohomología singular:${\displaystyle {\underline {\mathbb {Q} }}_{X}}$

$${\displaystyle H^{k}(X,{\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong H_{\text{sing}}^{k}(X,\mathbb {Q} )}$$

• Sea . Dado que , existe una familia de sistemas locales en X que corresponden a las aplicaciones :${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\})=\mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle n\mapsto e^{in\theta }}$

$${\displaystyle \rho _{\theta }:\pi _{1}(X;x_{0})\cong \mathbb {Z} \to {\text{Aut}}_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )}$$

• Secciones horizontales de haces vectoriales con una conexión plana. Si es un haz vectorial con conexión plana , entonces existe un sistema local dado por Por ejemplo, tomemos y , el haz trivial. Las secciones de E son n -tuplas de funciones en X , por lo que define una conexión plana en E , como lo hace para cualquier matriz de 1-formas en X. Las secciones horizontales son entonces${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle \nabla }$$${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{{\text{sections }}s\in \Gamma (U,E){\text{ which are horizontal: }}\nabla s=0\right\}}$$${\displaystyle X=\mathbb {C} \setminus 0}$${\displaystyle E=X\times \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \nabla _{0}(f_{1},\dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_{n})}$${\displaystyle \nabla (f_{1},\dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_{n})-\Theta (x)(f_{1},\dots ,f_{n})^{t}}$${\displaystyle \Theta }$
  $${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{(f_{1},\dots ,f_{n})\in E_{U}:(df_{1},\dots ,df_{n})=\Theta (f_{1},\dots ,f_{n})^{t}\right\}}$$es decir, las soluciones de la ecuación diferencial lineal .${\displaystyle df_{i}=\sum \Theta _{ij}f_{j}}$

  Si se extiende a una 1-forma en lo anterior, también definirá un sistema local en , por lo que será trivial ya que . Así que para dar un ejemplo interesante, elijamos uno con un polo en 0 :${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {C} )=0}$

  $${\displaystyle \Theta ={\begin{pmatrix}0&dx/x\\dx&e^{x}dx\end{pmatrix}}}$$en cuyo caso para ,${\displaystyle \nabla =d+\Theta }$$${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{f_{1},f_{2}:U\to \mathbb {C} \ \ {\text{ with }}f'_{1}=f_{2}/x\ \ f_{2}'=f_{1}+e^{x}f_{2}\right\}}$$

• Un mapa de recubrimiento de n hojas es un sistema local con fibras dadas por el conjunto . De manera similar, un haz de fibras con fibras discretas es un sistema local, porque cada camino se eleva de forma única a una elevación dada de su punto base. (La definición se ajusta para incluir sistemas locales con valores de conjunto de la manera obvia).${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$

• Un sistema local de k- espacios vectoriales en X es equivalente a una representación k -lineal de .${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$

• Si X es una variedad, los sistemas locales son lo mismo que los D-módulos que son además O_X -módulos coherentes (ver módulos O ).

• Si la conexión no es plana (es decir, su curvatura es distinta de cero), entonces el transporte paralelo de una fibra F_x sobre x alrededor de un bucle contráctil basado en x_0 puede dar un automorfismo no trivial de F_x , por lo que no necesariamente se pueden definir haces localmente constantes para conexiones no planas.

• La conexión de Gauss-Manin es un ejemplo destacado de una conexión cuyas secciones horizontales se estudian en relación con la variación de las estructuras de Hodge .

Hay varias formas de definir la cohomología de un sistema local, llamada cohomología con coeficientes locales , que se vuelven equivalentes bajo supuestos suaves sobre X.

• Dado un haz localmente constante de grupos abelianos en X , tenemos los grupos de cohomología de haces con coeficientes en .${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {L}})}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

• Dado un haz localmente constante de grupos abelianos en X , sea el grupo de todas las funciones f que asignan a cada n- símplex singular una sección global del haz de imágenes inversas . Estos grupos pueden convertirse en un complejo de cocadenas con diferenciales construidos como en la cohomología singular usual. Definimos como la cohomología de este complejo.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle C^{n}(X;{\mathcal {L}})}$${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\to X}$${\displaystyle f(\sigma )}$${\displaystyle \sigma ^{-1}{\mathcal {L}}}$${\displaystyle H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})}$

• El grupo de n -cadenas singulares en la cubierta universal de X tiene una acción de mediante transformaciones de deck . Explícitamente, una transformación de deck toma un n -símplex singular en . Entonces, dado un grupo abeliano L equipado con una acción de , se puede formar un complejo de cocadenas a partir de los grupos de homomorfismos -equivariantes como se indicó anteriormente. Definimos como la cohomología de este complejo.${\displaystyle C_{n}({\widetilde {X}})}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle \gamma \colon {\widetilde {X}}\to {\widetilde {X}}}$${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\to {\widetilde {X}}}$${\displaystyle \gamma \circ \sigma }$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\pi _{1}(X,x)}(C_{n}({\widetilde {X}}),L)}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;L)}$

Si X es paracompacto y localmente contraíble , entonces . ^{[ 3 ]} Si es el sistema local correspondiente a L , entonces hay una identificación compatible con los diferenciales, ^{[ 4 ]} por lo que . ${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {L}})\cong H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle C^{n}(X;{\mathcal {L}})\cong \operatorname {Hom} _{\pi _{1}(X,x)}(C_{n}({\widetilde {X}}),L)}$${\displaystyle H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})\cong H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;L)}$

Los sistemas locales tienen una ligera generalización a haces construibles : un haz construible en un espacio topológico conectado por caminos localmente es un haz tal que existe una estratificación de ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle X=\coprod X_{\lambda }}$

donde es un sistema local. Estos se encuentran típicamente tomando la cohomología del empuje hacia adelante derivado para algún mapa continuo . Por ejemplo, si observamos los puntos complejos del morfismo ${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{X_{\lambda }}}$${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f:X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(st\cdot h(x,y,z))}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [s,t])}$

luego las fibras sobre

${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}$

son la curva plana dada por , pero las fibras sobre son . Si tomamos el empuje hacia adelante derivado, entonces obtenemos un haz construible. Sobre tenemos los sistemas locales ${\displaystyle h}$${\displaystyle \mathbb {V} =\mathbb {V} (st)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {R} f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})}$${\displaystyle \mathbb {V} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{2}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{4}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {0}}_{\mathbb {V} (st)}{\text{ otherwise}}\end{aligned}}}$

mientras que tenemos los sistemas locales ${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{1}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}^{\oplus 2g}\\\mathbf {R} ^{2}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {0}}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}{\text{ otherwise}}\end{aligned}}}$

donde es el género de la curva plana (que es ). ${\displaystyle g}$${\displaystyle g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2}$

La cohomología con coeficientes locales en el módulo correspondiente al recubrimiento de orientación se puede utilizar para formular la dualidad de Poincaré para variedades no orientables: véase Dualidad de Poincaré retorcida .

• Secuencia espectral de Leray
• Conexión de Gauss-Manin
• Módulo D
• homología de intersección
• gavilla perversa

• "Qué es realmente un sistema local" . Stack Exchange .
• Schnell, Christian. "Computing Cohomology of Local Systems" (PDF) .Analiza el cálculo de la cohomología con coeficientes en un sistema local utilizando el complejo de De Rham retorcido.
• Williamson, Geordie . "Una guía ilustrada de gavillas perversas" (PDF) .
• MacPherson, Robert (15 de diciembre de 1990). "Homología de intersección y haces perversos" (PDF) .
• El Zein, Fouad; Snoussi, Jawad. "Sistemas locales y haces construibles" (PDF) .