Módulo D

En matemáticas , un D -módulo es un módulo sobre un anillo D de operadores diferenciales . El principal interés de tales D -módulos es como un enfoque a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales lineales . Desde aproximadamente 1970, la teoría del D -módulo se ha desarrollado, principalmente como una respuesta a las ideas de Mikio Sato sobre análisis algebraico y ampliando el trabajo de Sato y Joseph Bernstein sobre el polinomio de Bernstein-Sato .

Los primeros resultados importantes fueron el teorema de constructibilidad de Kashiwara y el teorema del índice de Kashiwara de Masaki Kashiwara . Los métodos de la teoría de D -módulos siempre se han extraído de la teoría de haces y otras técnicas con inspiración en el trabajo de Alexander Grothendieck en geometría algebraica . Este enfoque es de carácter global y difiere de las técnicas de análisis funcional tradicionalmente utilizadas para estudiar operadores diferenciales. Los resultados más sólidos se obtienen para sistemas sobredeterminados ( sistemas holonómicos ) y en la variedad característica recortada por los símbolos , que en el buen caso es una subvariedad lagrangiana del fibrado cotangente de dimensión máxima ( sistemas involutivos ). Las técnicas fueron retomadas del lado de la escuela de Grothendieck por Zoghman Mebkhout , quien obtuvo una versión general derivada de la categoría de la correspondencia de Riemann-Hilbert en todas las dimensiones.

El primer caso de D -módulos algebraicos son los módulos sobre el álgebra de Weyl A _n ( K ) sobre un cuerpo K de característica cero. Es el álgebra que consta de polinomios en las siguientes variables

x ₁ , ..., x _n , ∂ ₁ , ..., ∂ _n .

donde las variables x _i y ∂ _j conmutan por separado entre sí, y x _i y ∂ _j conmutan para i ≠ j , pero el conmutador satisface la relación

[∂ _i , x _i ] = ∂ _i x _i − x _i ∂ _i = 1.

Para cualquier polinomio f ( x ₁ , ..., x _n ), esto implica la relación

[∂ _i , f ] = ∂ f / ∂ x _i ,

Relacionando así el álgebra de Weyl con las ecuaciones diferenciales.

Un D -módulo (algebraico) es, por definición, un módulo izquierdo sobre el anillo A _n ( K ). Entre los ejemplos de D -módulos se incluyen la propia álgebra de Weyl (que actúa sobre sí misma mediante multiplicación izquierda), el anillo polinómico (conmutativo) K [ x ₁ , ..., x _n ], donde x _i actúa mediante multiplicación y ∂ _j actúa mediante diferenciación parcial con respecto a x _j y, en una línea similar, el anillo de funciones holomorfas sobre C ⁿ (funciones de n variables complejas). ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathbf {C} ^{n})}$

Dado un operador diferencial P = a _n ( x ) ∂ ⁿ + ... + a ₁ ( x ) ∂ ¹ + a ₀ ( x ), donde x es una variable compleja, a _i ( x ) son polinomios, el módulo cociente M = A ₁ ( C )/ A ₁ ( C ) P está estrechamente ligado al espacio de soluciones de la ecuación diferencial.

Pf = 0,

donde f es una función holomorfa en C , por ejemplo. El espacio vectorial que consiste en las soluciones de esa ecuación está dado por el espacio de homomorfismos de D -módulos . ${\displaystyle \mathrm {Hom} (M,{\mathcal {O}}(\mathbf {C} ))}$

La teoría general de los D -módulos se desarrolla sobre una variedad algebraica suave X definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K de característica cero, tal como K = C . El haz de operadores diferenciales D _X se define como la O _X -álgebra generada por los cuerpos vectoriales sobre X , interpretados como derivaciones . Un D _X -módulo (izquierdo) M es un O _X -módulo con una acción izquierda de D _X sobre él. Dar tal acción es equivalente a especificar una función K -lineal

${\displaystyle \nabla :D_{X}\rightarrow \operatorname {Fin} _{K}(M),v\mapsto \nabla _{v}}$

satisfactorio

${\displaystyle \nabla _{fv}(m)=f\,\nabla _{v}(m)}$

${\displaystyle \nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)}$( Regla de Leibniz )

${\displaystyle \nabla _{[v,w]}(m)=[\nabla _{v},\nabla _{w}](m)}$

Aquí f es una función regular sobre X , v y w son cuerpos vectoriales, , y [−, −] denota el conmutador . Por lo tanto, si M es además un módulo O _X localmente libre , dar a M una estructura de módulo D no es otra cosa que dotar al fibrado vectorial asociado a M de una conexión plana (o integrable) . ^[1]${\estilo de visualización m\en M}$

Como el anillo D _X es no conmutativo, se deben distinguir los D -módulos izquierdos y derechos . Sin embargo, las dos nociones se pueden intercambiar, ya que existe una equivalencia de categorías entre ambos tipos de módulos, dada por la aplicación de un módulo izquierdo M al producto tensorial M ⊗ Ω _X , donde Ω _X es el fibrado lineal dado por la potencia exterior más alta de 1-formas diferenciales en X . Este fibrado tiene una acción derecha natural determinada por

ω ⋅ v  := − Lie _v (ω),

donde v es un operador diferencial de orden uno, es decir un campo vectorial, ω una n -forma ( n = dim X ), y Lie denota la derivada de Lie . ^[2]

Localmente, después de elegir algún sistema de coordenadas x ₁ , ..., x _n ( n = dim X ) en X , que determina una base ∂ ₁ , ..., ∂ _n del espacio tangente de X , las secciones de D _X pueden representarse de manera única como expresiones

${\displaystyle \suma f_{i_{1},\puntos ,i_{n}}\parcial _{1}^{i_{1}}\cdots \parcial _{n}^{i_{n}}}$, donde son funciones regulares en X .${\displaystyle f_{i_{1},\puntos ,i_{n}}}$

En particular, cuando X es el espacio afín n -dimensional , este D _X es el álgebra de Weyl en n variables.

Muchas propiedades básicas de los D -módulos son locales y paralelas a la situación de haces coherentes . Esto se basa en el hecho de que D _X es un haz localmente libre de O _X -módulos, aunque de rango infinito, como lo demuestra la O _X -base mencionada anteriormente . Se puede demostrar que un D _X -módulo que es coherente como un O _X -módulo es necesariamente localmente libre (de rango finito).

Los módulos D de distintas variedades algebraicas están conectados mediante funtores de retroceso y avance comparables a los de haces coherentes. Para una función f : X → Y de variedades suaves, las definiciones son las siguientes:

D _{X → Y}  := O _X ⊗ _{f ⁻¹ ( O Y )} f ⁻¹ ( D _Y )

Está equipado con una acción D _X izquierda de una manera que emula la regla de la cadena , y con la acción derecha natural de f ⁻¹ ( D _Y ). El retroceso se define como

f ^∗ ( M ) := D _{X → Y} ⊗ _{f ⁻¹ ( D Y )} f ⁻¹ ( M ).

Aquí M es un módulo izquierdo D _Y , mientras que su pullback es un módulo izquierdo sobre X . Este funtor es exacto a la derecha , su funtor derivado izquierdo se denota L f ^∗ . Por el contrario, para un módulo derecho D _X N ,

f _∗ ( N ) := f _∗ ( N ⊗ _{D X} D _{X → Y} )

es un módulo D _Y derecho . Dado que esto mezcla el producto tensorial exacto derecho con el empuje hacia adelante exacto izquierdo, es común establecer en su lugar

f _∗ ( N ) := R f _∗ ( N ⊗ ^L _{D X} D _{X → Y} ).

Debido a esto, gran parte de la teoría de los D -módulos se desarrolla utilizando todo el poder del álgebra homológica , en particular las categorías derivadas .

Se puede demostrar que el álgebra de Weyl es un anillo noetheriano (izquierdo y derecho) . Además, es simple , es decir, sus únicos ideales bilaterales son el ideal cero y el anillo completo. Estas propiedades hacen que el estudio de los D -módulos sea manejable. En particular, las nociones estándar del álgebra conmutativa como polinomio de Hilbert , multiplicidad y longitud de módulos se trasladan a los D -módulos. Más precisamente, D _X está equipado con la filtración de Bernstein , es decir, la filtración tal que F ^p A _n ( K ) consiste en K -combinaciones lineales de operadores diferenciales x ^α ∂ ^β con | α | + | β | ≤  p (usando notación multiíndice ). Se ve que el anillo graduado asociado es isomorfo al anillo polinomial en 2 n indeterminados. En particular, es conmutativo.

Los D -módulos M finitamente generados están dotados de las llamadas filtraciones "buenas" F ^∗ M , que son compatibles con F ^∗ A _n ( K ), esencialmente paralelas a la situación del lema de Artin-Rees . El polinomio de Hilbert se define como el polinomio numérico que concuerda con la función

n ↦ tenue _K F ⁿ M

para n grande . La dimensión d ( M ) de un módulo A _n ( K ) M se define como el grado del polinomio de Hilbert. Está acotado por la desigualdad de Bernstein

n ≤ d ( M ) ≤ 2 n .

Un módulo cuya dimensión alcanza el menor valor posible, n , se llama holonómico .

El módulo A ₁ ( K ) M = A ₁ ( K )/ A ₁ ( K ) P (ver arriba) es holonómico para cualquier operador diferencial P distinto de cero , pero una afirmación similar para álgebras de Weyl de dimensiones superiores no se sostiene.

Como se mencionó anteriormente, los módulos sobre el álgebra de Weyl corresponden a D -módulos en el espacio afín. Al no estar disponible la filtración de Bernstein en D _X para variedades generales X , la definición se generaliza a variedades afines arbitrarias X mediante la filtración de orden en D _X , definida por el orden de los operadores diferenciales . El anillo graduado asociado gr D _X está dado por funciones regulares en el fibrado cotangente T ^∗ X .

La variedad característica se define como la subvariedad del fibrado cotangente recortado por el radical del aniquilador de gr M , donde nuevamente M está dotado de una filtración adecuada (con respecto a la filtración de orden en D _X ). Como es habitual, la construcción afín se adhiere entonces a variedades arbitrarias.

La desigualdad de Bernstein sigue siendo válida para cualquier variedad (suave) X. Si bien el límite superior es una consecuencia inmediata de la interpretación anterior de gr D _X en términos del fibrado cotangente, el límite inferior es más sutil.

Los módulos holonómicos tienen tendencia a comportarse como espacios vectoriales de dimensión finita. Por ejemplo, su longitud es finita. Además, M es holonómico si y solo si todos los grupos de cohomología del complejo L i ^∗ ( M ) son espacios vectoriales K de dimensión finita , donde i es la inmersión cerrada de cualquier punto de X .

Para cualquier D -módulo M , el módulo dual se define por

${\displaystyle \mathrm {D} (M):={\mathcal {R}}\operatorname {Hom} (M,D_{X})\otimes \Omega _{X}^{-1}[\dim X].}$

Los módulos holonómicos también pueden caracterizarse por una condición homológica : M es holonómico si y solo si D( M ) está concentrado (visto como un objeto en la categoría derivada de D -módulos) en grado 0. Este hecho es un primer vistazo a la dualidad de Verdier y la correspondencia de Riemann-Hilbert . Se demuestra extendiendo el estudio homológico de los anillos regulares (especialmente lo que está relacionado con la dimensión homológica global ) al anillo filtrado D _X .

Otra caracterización de los módulos holonómicos es mediante geometría simpléctica . La variedad característica Ch( M ) de cualquier D -módulo M es, vista como una subvariedad del fibrado cotangente T ^∗ X de X , una variedad involutiva . El módulo es holonómico si y solo si Ch( M ) es lagrangiano .

Una de las primeras aplicaciones de los módulos D holonómicos fue el polinomio de Bernstein-Sato .

La conjetura de Kazhdan-Lusztig se demostró utilizando D -módulos.

La correspondencia de Riemann-Hilbert establece un vínculo entre ciertos módulos D y haces construibles. Como tal, proporcionó una motivación para introducir haces perversos .

Los módulos D también se aplican en la teoría de la representación geométrica. Un resultado principal en esta área es la localización de Beilinson-Bernstein . Relaciona los módulos D en variedades de bandera G / B con representaciones del álgebra de Lie de un grupo reductivo G. Los módulos D también son cruciales en la formulación del programa geométrico de Langlands . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

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• Borel, Armand , ed. (1987), Módulos D algebraicos , Perspectivas en matemáticas, vol. 2, Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-117740-9
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• Bernstein, Joseph , Teoría algebraica de los módulos D (PDF)
• Gaitsgory, Dennis, Lectures on Geometric Representation Theory (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 26 de marzo de 2015 , consultado el 14 de diciembre de 2011
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