Polinomio de valores enteros

En matemáticas , un polinomio de valores enteros (también conocido como polinomio numérico )${\displaystyle P(t)}$es un polinomio cuyo valor${\displaystyle P(n)}$es un número entero para cada entero n . Todo polinomio con coeficientes enteros es de valor entero, pero lo contrario no es cierto. Por ejemplo, el polinomio

${\displaystyle P(t)={\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{2}}t={\frac {1}{2}}t(t+1)}$

toma valores enteros siempre que t sea un entero. Eso se debe a que uno de t y${\displaystyle t+1}$Debe ser un número par . (Los valores que toma este polinomio son los números triangulares ).

Los polinomios de valores enteros son objeto de estudio por derecho propio en álgebra y aparecen con frecuencia en topología algebraica . ^{[ 1 ]}

La clase de polinomios con valores enteros fue descrita completamente por George Pólya ( 1915 ) . Dentro del anillo de polinomios ${\displaystyle \mathbb {Q} [t]}$de polinomios con coeficientes racionales , el subanillo de polinomios con valores enteros es un grupo abeliano libre . Tiene como base los polinomios

${\displaystyle P_{k}(t)=t(t-1)\cdots (t-k+1)/k!}$

para${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$Es decir, los coeficientes binomiales . En otras palabras, todo polinomio con valores enteros puede escribirse como una combinación lineal entera de coeficientes binomiales de una sola manera. La demostración se realiza mediante el método de series de Taylor discretas : los coeficientes binomiales son polinomios con valores enteros y, a la inversa, la diferencia discreta de una serie entera es una serie entera, por lo que la serie de Taylor discreta de una serie entera generada por un polinomio tiene coeficientes enteros (y es una serie finita).

Los polinomios de valores enteros pueden utilizarse eficazmente para resolver problemas sobre divisores fijos de polinomios. Por ejemplo, los polinomios P ​​con coeficientes enteros que siempre toman valores pares son precisamente aquellos tales que${\displaystyle P/2}$es de valor entero. Estos, a su vez, son los polinomios que pueden expresarse como una combinación lineal con coeficientes enteros pares de los coeficientes binomiales.

En cuestiones de teoría de números primos, como la hipótesis H de Schinzel y la conjetura de Bateman-Horn , es fundamental comprender el caso en que P no tiene un divisor primo fijo (esto se conoce como la propiedad de Bunyakovsky , en honor a Viktor Bunyakovsky ). Al expresar P en términos de los coeficientes binomiales, observamos que el mayor divisor primo fijo es también el mayor factor primo común de los coeficientes en dicha representación. Por lo tanto, la propiedad de Bunyakovsky es equivalente a coeficientes coprimos.

Como ejemplo, el par de polinomios${\displaystyle n}$y${\displaystyle n^{2}+2}$viola esta condición en${\displaystyle p=3}$: por cada${\displaystyle n}$el producto

${\displaystyle n(n^{2}+2)}$

es divisible por 3, lo cual se deduce de la representación

${\displaystyle n(n^{2}+2)=6{\binom {n}{3}}+6{\binom {n}{2}}+3{\binom {n}{1}}}$

con respecto a la base binomial, donde el máximo común divisor de los coeficientes — por lo tanto, el máximo divisor fijo de${\displaystyle n(n^{2}+2)}$— es 3.

Los polinomios numéricos pueden definirse sobre otros anillos y cuerpos, en cuyo caso los polinomios con valores enteros mencionados anteriormente se denominan polinomios numéricos clásicos .

La teoría K de BU( n ) son polinomios numéricos (simétricos).

El polinomio de Hilbert de un anillo de polinomios en k  +  1 variables es el polinomio numérico${\displaystyle {\binom {t+k}{k}}}$.

• Narkiewicz, Ladislao (1995). Mapeos polinómicos . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol.  1600. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-59435-3. ISSN 0075-8434 . Zbl 0829.11002 .