Correspondencia geométrica de Langlands

En matemáticas, la correspondencia geométrica de Langlands relaciona la geometría algebraica con la teoría de la representación . Se trata de una reformulación de la correspondencia de Langlands obtenida al sustituir los cuerpos numéricos de la versión original de la teoría de números por cuerpos de funciones y aplicar técnicas de la geometría algebraica . ^{[ 1 ]} La correspondencia recibe su nombre del matemático canadiense Robert Langlands , quien formuló su versión original a finales de la década de 1960.

La conjetura geométrica de Langlands afirma la existencia de la correspondencia geométrica de Langlands.

En matemáticas, la correspondencia clásica de Langlands es un conjunto de resultados y conjeturas que relacionan la teoría de números y la teoría de la representación. Formulada por Robert Langlands a finales de la década de 1960, la correspondencia de Langlands está relacionada con importantes conjeturas de la teoría de números, como la conjetura de Taniyama-Shimura , que incluye el Último Teorema de Fermat como un caso particular. ^{[ 1 ]}

Las correspondencias de Langlands pueden formularse para campos globales (así como para campos locales ), los cuales se clasifican en campos numéricos o campos de funciones globales . Establecer la correspondencia clásica de Langlands para campos numéricos ha resultado extremadamente difícil. En consecuencia, algunos matemáticos plantearon la correspondencia geométrica de Langlands para campos de funciones globales, la cual, en cierto sentido, ha resultado más fácil de abordar. ^{[ 2 ]}

La conjetura geométrica de Langlands para grupos lineales generales${\displaystyle GL(n,K)}$sobre un campo de función${\displaystyle K}$Fue formulada por Vladimir Drinfeld y Gérard Laumon en 1987. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

La conjetura geométrica de Langlands fue demostrada para${\displaystyle GL(1)}$por Pierre Deligne y para${\displaystyle GL(2)}$por Drinfeld en 1983. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

El 6 de mayo de 2024, un equipo de matemáticos, entre ellos Dennis Gaitsgory , anunció una supuesta demostración de la conjetura geométrica categórica no ramificada de Langlands. ^{[ 7 ] [ 8 ]} La supuesta demostración consta de más de 1000 páginas repartidas en cinco artículos y ha sido calificada de «tan compleja que casi nadie puede explicarla». Incluso comunicar la importancia del resultado a otros matemáticos fue descrito como «muy difícil, casi imposible» por Drinfeld. ^{[ 9 ]}

En un artículo de 2007, Anton Kapustin y Edward Witten describieron una conexión entre la correspondencia geométrica de Langlands y la dualidad S , una propiedad de ciertas teorías cuánticas de campos . ^{[ 10 ]}

En 2018, al aceptar el Premio Abel , Langlands presentó un artículo que reformulaba el programa geométrico utilizando herramientas similares a las de su correspondencia original de Langlands. ^{[ 11 ] [ 12 ]} Las ideas de Langlands fueron desarrolladas posteriormente por Etingof , Frenkel y Kazhdan . ^{[ 13 ]}

• Frenkel, Edward (2007). «Conferencias sobre el programa de Langlands y la teoría de campos conformes». Fronteras en teoría de números, física y geometría II . Springer. pp. 387–533 . arXiv : hep-th/0512172 . Bibcode : 2005hep.th...12172F . doi : 10.1007/978-3-540-30308-4_11 . ISBN  978-3-540-30307-7. S2CID 119611071 . 
• Kapustin, Anton; Witten, Edward (2007). "Dualidad electromagnética y el programa geométrico de Langlands". Communications in Number Theory and Physics . 1 (1): 1– 236. arXiv : hep-th/0604151 . Bibcode : 2007CNTP....1....1K . doi : 10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1 . S2CID 30505126 . 

• Citas relacionadas con la correspondencia geométrica de Langlands en Wikiquote
• Correspondencia geométrica cuántica de Langlands en nLab