Cuerpo de números algebraicos

La noción de cuerpo numérico algebraico se basa en el concepto de cuerpo . Un cuerpo consta de un conjunto de elementos junto con dos operaciones, a saber, la suma y la multiplicación , y algunas suposiciones de distributividad . Estas operaciones convierten al cuerpo en un grupo abeliano bajo la suma, y ​​convierten los elementos no nulos del cuerpo en otro grupo abeliano bajo la multiplicación. Un ejemplo destacado de cuerpo es el cuerpo de los números racionales , comúnmente denotado${\displaystyle \mathbb {Q} }$, junto con sus operaciones habituales de suma y multiplicación.

Otro concepto necesario para definir los cuerpos numéricos algebraicos son los espacios vectoriales . En la medida necesaria aquí, los espacios vectoriales pueden considerarse como formados por secuencias (o tuplas ).

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )}$

cuyas entradas son elementos de un campo fijo, como el campo${\displaystyle \mathbb {Q} }$Cualquier par de tales secuencias se pueden sumar sumando las entradas correspondientes. Además, todos los miembros de cualquier secuencia se pueden multiplicar por un solo elemento c del campo fijo. Estas dos operaciones conocidas como suma de vectores y multiplicación escalar satisfacen una serie de propiedades que sirven para definir espacios vectoriales de forma abstracta. Los espacios vectoriales pueden ser de " dimensión infinita ", es decir, las secuencias que constituyen los espacios vectoriales pueden tener una longitud infinita. Sin embargo, si el espacio vectorial consta de secuencias finitas

${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$,

Se dice que el espacio vectorial es de dimensión finita ,${\displaystyle n}$.

Un cuerpo numérico algebraico (o simplemente cuerpo numérico ) es una extensión de grado finito del cuerpo de los números racionales. Aquí, grado significa la dimensión del cuerpo como un espacio vectorial sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

• Las cifras reales ,${\displaystyle \mathbb {R} }$y los números complejos ,${\displaystyle \mathbb {C} }$, son campos que tienen dimensión infinita como${\displaystyle \mathbb {Q} }$espacios vectoriales; por lo tanto, no son cuerpos numéricos. Esto se deduce de la no numerabilidad de${\displaystyle \mathbb {R} }$y${\displaystyle \mathbb {C} }$como conjuntos, mientras que cada cuerpo numérico es necesariamente contable , ya que son espacios vectoriales de dimensión finita sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• El conjunto${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$de pares ordenados de números racionales, con la suma y multiplicación elemento por elemento, es un álgebra conmutativa bidimensional sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$Sin embargo , no es un campo, ya que tiene divisores cero :${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}$.

Para anillos de Dedekind generales , en particular anillos de enteros, existe una factorización única de ideales en un producto de ideales primos . Por ejemplo, el ideal${\displaystyle (6)}$en el ring${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$de enteros cuadráticos se factorizan en ideales primos como

${\displaystyle (6)=(2,1+{\sqrt {-5}})(2,1-{\sqrt {-5}})(3,1+{\sqrt {-5}})(3,1-{\sqrt {-5}})}$

Sin embargo, a diferencia de${\displaystyle \mathbf {Z} }$como el anillo de enteros de${\displaystyle \mathbf {Q} }$, el anillo de enteros de una extensión propia de${\displaystyle \mathbf {Q} }$no es necesario admitir la factorización única de números en un producto de números primos o, más precisamente, de elementos primos . Esto sucede ya para enteros cuadráticos , por ejemplo en${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$, la unicidad de la factorización falla:

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}})}$

Utilizando la norma se puede demostrar que estas dos factorizaciones son realmente no equivalentes en el sentido de que los factores no solo difieren en una unidad .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}}$Los dominios euclidianos son dominios de factorización únicos: por ejemplo${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$, el anillo de enteros gaussianos y${\displaystyle \mathbf {Z} [\omega ]}$, el anillo de enteros de Eisenstein , donde${\displaystyle \omega }$es una raíz cúbica de la unidad (distinto de 1), tiene esta propiedad. ^{[ 1 ]}

El fracaso de la factorización única se mide mediante el número de clase , comúnmente denotado por h , la cardinalidad del llamado grupo de clases ideal . Este grupo es siempre finito. El anillo de los enteros${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$posee factorización única si y solo si es un anillo principal o, equivalentemente, si${\displaystyle K}$tiene número de clase 1. Dado un campo numérico, el número de clase suele ser difícil de calcular. El problema del número de clase , que se remonta a Gauss , se refiere a la existencia de campos numéricos cuadráticos imaginarios (es decir,${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-d}}),d\geq 1}$) con el número de clase prescrito. La fórmula del número de clase relaciona h con otros invariantes fundamentales de${\displaystyle K}$Implica la función zeta de Dedekind .${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$, una función en una variable compleja${\displaystyle s}$, definido por

${\displaystyle \zeta _{K}(s):=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

(El producto se basa en todos los ideales primordiales de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$,${\displaystyle N({\mathfrak {p}})}$denota la norma del ideal primo o, equivalentemente, el número (finito) de elementos en el cuerpo residual.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}}$El producto infinito converge solo para Re ( s ) > 1; en general, se necesita la continuación analítica y la ecuación funcional para la función zeta para definir la función para todo s ). La función zeta de Dedekind generaliza la función zeta de Riemann en que ζ_{${\displaystyle \mathbb {Q} }$}( s ) = ζ( s ).

La fórmula del número de clase establece que ζ_{${\displaystyle K}$}( s ) tiene un polo simple en s = 1 y en este punto el residuo viene dado por

${\displaystyle {\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h\cdot \operatorname {Reg} }{w\cdot {\sqrt {|D|}}}}.}$

Aquí r ₁ y r ₂ denotan clásicamente el número de incrustaciones reales y pares de incrustaciones complejas de${\displaystyle K}$, respectivamente. Además, Reg es el regulador de${\displaystyle K}$, w el número de raíces de la unidad en${\displaystyle K}$y D es el discriminante de${\displaystyle K}$.

Funciones L de Dirichlet${\displaystyle L(\chi ,s)}$son una variante más refinada de${\displaystyle \zeta (s)}$Ambos tipos de funciones codifican el comportamiento aritmético de${\displaystyle \mathbb {Q} }$y${\displaystyle K}$respectivamente. Por ejemplo, el teorema de Dirichlet afirma que en cualquier progresión aritmética

${\displaystyle a,a+m,a+2m,\ldots }$

con coprimo${\displaystyle a}$y${\displaystyle m}$Existen infinitos números primos. Este teorema se deduce del hecho de que la ecuación de Dirichlet${\displaystyle L}$-la función es distinta de cero en${\displaystyle s=1}$Utilizando técnicas mucho más avanzadas, incluyendo la teoría K algebraica y las medidas de Tamagawa , la teoría de números moderna aborda una descripción, aunque en gran medida conjetural (véase la conjetura de los números de Tamagawa ), de los valores de funciones L más generales . ^{[ 2 ]}

Una base integral para un cuerpo numérico${\displaystyle K}$de grado${\displaystyle n}$es un conjunto

B = { b ₁ , …, b _n }

de n enteros algebraicos en${\displaystyle K}$de tal manera que cada elemento del anillo de enteros${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$de${\displaystyle K}$puede escribirse de forma única como una combinación lineal Z de elementos de B ; es decir, para cualquier x en${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$tenemos

x = m ₁ b ₁ + ⋯ + m _n b _n ,

donde los m _i son enteros (ordinarios). Entonces también es cierto que cualquier elemento de${\displaystyle K}$puede escribirse de forma única como

m ₁ b ₁ + ⋯ + m _n b _n ,

donde ahora los m _i son números racionales. Los enteros algebraicos de${\displaystyle K}$son entonces precisamente aquellos elementos de${\displaystyle K}$donde los m _i son todos números enteros.

Trabajando localmente y utilizando herramientas como el mapa de Frobenius , siempre es posible calcular explícitamente dicha base, y actualmente es habitual que los sistemas de álgebra computacional incluyan programas integrados para ello.

Dejar${\displaystyle K}$ser un número campo de grado${\displaystyle n}$. Entre todas las bases posibles de${\displaystyle K}$(visto como un${\displaystyle \mathbb {Q} }$-espacio vectorial), hay algunas particulares conocidas como bases de potencia, que son bases de la forma

${\displaystyle B_{x}=\{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}\}}$

para algún elemento${\displaystyle x\in K}$. Por el teorema del elemento primitivo , existe tal${\displaystyle x}$, llamado elemento primitivo . Si${\displaystyle x}$se puede elegir en${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$y tal que${\displaystyle B_{x}}$es una base de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$como un módulo Z libre , entonces${\displaystyle B_{x}}$se denomina base integral de potencia y el campo${\displaystyle K}$se denomina campo monogénico . Un ejemplo de un campo numérico que no es monogénico fue dado por primera vez por Dedekind. Su ejemplo es el campo obtenido al adjuntar una raíz del polinomio ^{[ 3 ].}$${\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x-8.}$$

Considere la extensión del campo${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$con${\displaystyle \theta =\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}}$, dónde${\displaystyle \zeta _{3}}$denota la raíz cúbica de la unidad${\displaystyle \exp(2\pi i/3).}$Entonces, tenemos un${\displaystyle \mathbb {Q} }$-base dada por$${\displaystyle \{1,\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}},(\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}})^{2}\}}$$ya que cualquier${\displaystyle x\in \mathbb {Q} (\theta )}$puede expresarse como algo${\displaystyle \mathbb {Q} }$-combinación lineal:$${\displaystyle x=a+b\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}+c(\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}})^{2}=a+b\theta +c\theta ^{2}.}$$Procedemos a calcular la traza${\displaystyle T(x)}$y norma${\displaystyle N(x)}$de este número. Para ello, tomamos un arbitrario${\displaystyle y\in \mathbb {Q} (\theta )}$dónde${\displaystyle y=y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2}}$y calcular el producto${\displaystyle xy}$Escribir esto da$${\displaystyle {\begin{aligned}xy=a(y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2})+\\b(2y_{2}+y_{0}\theta +y_{1}\theta ^{2})+\\c(2y_{1}+2y_{2}\theta +y_{0}\theta ^{2}).\end{aligned}}}$$ Podemos encontrar la matriz${\displaystyle A(x)}$de tal manera que${\displaystyle xy=A(x)y}$escribiendo la ecuación matricial asociada que da$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ay_{0}+2cy_{1}+2by_{2}\\by_{0}+ay_{1}+2cy_{2}\\cy_{0}+by_{1}+ay_{2}\end{bmatrix}}}$$demostrando que$${\displaystyle A(x)={\begin{bmatrix}a&2c&2b\\b&a&2c\\c&b&a\end{bmatrix}}}$$es la matriz que rige la multiplicación por el número${\displaystyle x}$.

Ahora podemos calcular fácilmente la traza y el determinante:${\displaystyle T(x)=3a}$, y${\displaystyle N(x)=a^{3}+2b^{3}+4c^{3}-6abc}$.

Por definición, las propiedades estándar de trazas y determinantes de matrices se extienden a Tr y N: Tr( x ) es una función lineal de x , como se expresa por Tr( x + y ) = Tr( x ) + Tr( y ) , Tr( λx ) = λ Tr( x ) , y la norma es una función homogénea multiplicativa de grado n : N( xy ) = N( x ) N( y ) , N( λx ) = λ ⁿ N( x ) . Aquí λ es un número racional, y x , y son dos elementos cualesquiera de${\displaystyle K}$.

La forma de traza derivada es una forma bilineal definida por medio de la traza, como $${\displaystyle Tr_{K/L}:K\otimes _{L}K\to L}$$por$${\displaystyle Tr_{K/L}(x\otimes y)=Tr_{K/L}(x\cdot y)}$$y extendiéndose linealmente. La forma de traza integral , una matriz simétrica de valores enteros, se define como${\displaystyle t_{ij}={\text{Tr}}_{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})}$, donde b ₁ , ..., b _n es una base integral para${\displaystyle K}$. El discriminante de${\displaystyle K}$se define como det( t ). Es un número entero y es una propiedad invariante del campo.${\displaystyle K}$, sin depender de la elección de la base integral.

La matriz asociada a un elemento x de${\displaystyle K}$También se puede utilizar para dar otras descripciones equivalentes de enteros algebraicos. Un elemento x de${\displaystyle K}$es un entero algebraico si y solo si el polinomio característico p _A de la matriz A asociada a x es un polinomio mónico con coeficientes enteros. Supongamos que la matriz A que representa un elemento x tiene entradas enteras en alguna base e . Por el teorema de Cayley-Hamilton , p _A ( A )  =  0, y se deduce que p _A ( x )  =  0, de modo que x es un entero algebraico. Recíprocamente, si x es un elemento de${\displaystyle K}$que es una raíz de un polinomio mónico con coeficientes enteros entonces la misma propiedad se cumple para la matriz A correspondiente . En este caso se puede demostrar que A es una matriz entera en una base adecuada de${\displaystyle K}$. La propiedad de ser un entero algebraico se define de una manera que es independiente de la elección de una base en${\displaystyle K}$.

Considerar${\displaystyle K=\mathbb {Q} (x)}$donde x satisface x³ ⁻ 11 x² + x + 1 = 0. Entonces ^, una base integral es [1, x , 1/2( x² + ¹ )], y la forma de traza integral correspondiente es   $${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&11&61\\11&119&653\\61&653&3589\end{bmatrix}}.}$$

El "3" en la esquina superior izquierda de esta matriz es la traza de la matriz del mapa definido por el primer elemento base (1) en la representación regular de${\displaystyle K}$en${\displaystyle K}$. Este elemento base induce la aplicación identidad en el espacio vectorial tridimensional,${\displaystyle K}$. La traza de la matriz de la aplicación identidad en un espacio vectorial tridimensional es 3.

El determinante de esto es 1304 = 2 ³ ·163 , el discriminante de campo; en comparación, el discriminante raíz , o discriminante del polinomio, es 5216 = 2 ⁵ ·163 .

El campo${\displaystyle K=\mathbb {Q} [x]/(x^{6}-2)=\mathbb {Q} (\theta )}$para${\displaystyle \theta =\zeta {\sqrt[{6}]{2}}}$dónde${\displaystyle \zeta }$es una raíz sexta fija de la unidad, proporciona un ejemplo rico para construir incrustaciones arquimedianas reales y complejas explícitas, y también incrustaciones no arquimedianas ^{[ 6 ] págs. 15-16} .

Aquí utilizamos la notación estándar.${\displaystyle r_{1}}$y${\displaystyle r_{2}}$para el número de incrustaciones reales y complejas utilizadas, respectivamente (véase más abajo).

Cálculo de las posiciones arquimedianas de un campo numérico.${\displaystyle K}$se hace de la siguiente manera:${\displaystyle x}$ser un elemento primitivo de${\displaystyle K}$, con polinomio mínimo${\displaystyle f}$(encima${\displaystyle \mathbb {Q} }$). Encima${\displaystyle \mathbb {R} }$,${\displaystyle f}$Generalmente ya no será irreducible, pero sus factores irreducibles (reales) son de grado uno o dos. Como no hay raíces repetidas, no hay factores repetidos. Las raíces${\displaystyle r}$de factores de grado uno son necesariamente reales, y reemplazando${\displaystyle x}$por${\displaystyle r}$proporciona una incrustación de${\displaystyle K}$en${\displaystyle \mathbb {R} }$; el número de tales incrustaciones es igual al número de raíces reales de${\displaystyle f}$. Restringir el valor absoluto estándar en${\displaystyle \mathbb {R} }$a${\displaystyle K}$da un valor absoluto arquimediano en${\displaystyle K}$; dicho valor absoluto también se denomina lugar real de${\displaystyle K}$ Por otro lado, las raíces de los factores de grado dos son pares de números complejos conjugados , lo que permite dos incrustaciones conjugadas en${\displaystyle \mathbb {C} }$Cualquiera de estos dos tipos de incrustaciones puede usarse para definir un valor absoluto en${\displaystyle K}$, que es el mismo para ambas incrustaciones ya que son conjugadas. Este valor absoluto se llama lugar complejo de${\displaystyle K}$. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Si todas las raíces de${\displaystyle f}$arriba son reales (respectivamente, complejos) o, equivalentemente, cualquier posible incrustación${\displaystyle K\subseteq \mathbb {C} }$en realidad se ve obligado a estar dentro${\displaystyle \mathbb {R} }$(resp. no estar dentro${\displaystyle \mathbb {R} }$),${\displaystyle K}$se denomina totalmente real (o totalmente complejo ). ^{[ 9 ] [ 10 ]}

Para encontrar los lugares no arquimedianos, dejemos de nuevo${\displaystyle f}$y${\displaystyle x}$ser como arriba. En${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$,${\displaystyle f}$divisiones en factores de diversos grados, ninguno de los cuales se repite, y cuyos grados suman${\displaystyle n}$, el grado de${\displaystyle f}$. Para cada uno de estos${\displaystyle p}$-factores irreducibles ádicamente${\displaystyle f_{i}}$, podemos suponer que${\displaystyle x}$Satisface${\displaystyle f_{i}}$y obtener una incrustación de${\displaystyle K}$en una extensión algebraica de grado finito sobre${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$. Un campo local de este tipo se comporta en muchos sentidos como un campo numérico, y el${\displaystyle p}$Los números -ádicos pueden desempeñar de manera similar el papel de los racionales; en particular, podemos definir la norma y la traza exactamente de la misma manera, dando ahora funciones que mapean a${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$. Al usar esto${\displaystyle p}$-mapa de norma ádica${\displaystyle N_{f_{i}}}$para el lugar${\displaystyle f_{i}}$, podemos definir un valor absoluto correspondiente a un valor dado${\displaystyle p}$factor irreducible -ádicamente${\displaystyle f_{i}}$de grado${\displaystyle m}$por$${\displaystyle |y|_{f_{i}}=|N_{f_{i}}(y)|_{p}^{1/m}}$$Dicho valor absoluto se denomina ultramétrico , no arquimediano o${\displaystyle p}$-lugar ádico de${\displaystyle K}$.

Para cualquier lugar ultramétrico v tenemos que | x | _v ≤ 1 para cualquier x en${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$, puesto que el polinomio mínimo para x tiene factores enteros, y por lo tanto su factorización p -ádica tiene factores en Z _p . En consecuencia, el término de norma (término constante) para cada factor es un entero p -ádico, y uno de estos es el entero utilizado para definir el valor absoluto de v .

Para un lugar ultramétrico v , el subconjunto de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$definido por | x | _v < 1 es un ideal${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. Esto se basa en la ultrametricidad de v : dado x e y en${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, entonces

| x + y | _v ≤ max (| x | _v , |y| _v ) < 1.

De hecho,${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$es incluso un ideal primordial .

Por el contrario, dado un ideal primordial${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$, una valoración discreta puede definirse estableciendo${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=n}$donde n es el mayor entero tal que${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}^{n}}$, la potencia n -ésima del ideal. Esta valoración puede transformarse en un lugar ultramétrico. Bajo esta correspondencia, (clases de equivalencia) de lugares ultramétricos de${\displaystyle K}$corresponder a los ideales primordiales de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. Para${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$Esto nos lleva de nuevo al teorema de Ostrowski: cualquier ideal primo en Z (que necesariamente es un único número primo) corresponde a un lugar no arquimediano y viceversa. Sin embargo, para cuerpos numéricos más generales, la situación se vuelve más compleja, como se explicará más adelante.

Sin embargo, otra forma equivalente de describir lugares ultramétricos es mediante localizaciones de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$Dado un lugar ultramétrico${\displaystyle v}$en un campo numérico${\displaystyle K}$, la localización correspondiente es el subanillo${\displaystyle T}$de${\displaystyle K}$de todos los elementos${\displaystyle x}$tal que | x | _v ≤ 1. Por la propiedad ultramétrica${\displaystyle T}$es un anillo. Además, contiene${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. Para cada elemento x de${\displaystyle K}$, al menos uno de x o x ⁻¹ está contenido en${\displaystyle T}$. En realidad, dado que se puede demostrar que K ^× / T ^× es isomorfo a los enteros,${\displaystyle T}$es un anillo de valuación discreto , en particular un anillo local . En realidad,${\displaystyle T}$es simplemente la localización de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$en el ideal primordial${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, entonces${\displaystyle T={\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}}$. En cambio,${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$es el ideal máximo de${\displaystyle T}$.

En definitiva, existe una equivalencia triple entre los valores absolutos ultramétricos, los ideales primos y las localizaciones en un cuerpo numérico.

El siguiente ejemplo ilustra las nociones introducidas anteriormente. Para calcular el índice de ramificación de${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$, dónde

f ( x ) = x ³ − x − 1 = 0,

A los 23 años, basta con considerar la extensión del campo.${\displaystyle \mathbb {Q} _{23}(x)/\mathbb {Q} _{23}}$. Hasta 529 = 23 ² (es decir, módulo 529) f se puede factorizar como

f ( x ) = ( x + 181)( x ² − 181 x − 38) = gh .

Sustituyendo x = y + 10 en el primer factor g módulo 529 se obtiene y + 191, por lo que la valoración | y | _g para y dada por g es | −191 | ₂₃ = 1. Por otro lado, la misma sustitución en h produce y ² − 161 y − 161 módulo 529. Dado que 161 = 7 × 23,

${\displaystyle \left\vert y\right\vert _{h}={\sqrt {\left\vert 161\right\vert }}_{23}={\frac {1}{\sqrt {23}}}}$

Dado que los posibles valores para el valor absoluto del lugar definido por el factor h no se limitan a potencias enteras de 23, sino que son potencias enteras de la raíz cuadrada de 23, el índice de ramificación de la extensión del campo en 23 es dos.

Las valoraciones de cualquier elemento de${\displaystyle K}$Se puede calcular de esta manera usando resultantes . Si, por ejemplo, ^{y = x²} − x − 1 , usando el resultante para eliminar x entre esta relación y f = x³ ⁻ x − 1 = 0 se obtiene y³ − 5y² ⁺ 4y − 1 ⁼ 0. Si en cambio eliminamos con respecto a los factores g y h de f , obtenemos los factores correspondientes para el polinomio de y , y luego la valuación 23-ádica aplicada al término constante (norma) nos permite calcular las valuaciones de y para g y h (que son ambas 1 en este caso).

Gran parte de la importancia del discriminante radica en el hecho de que los lugares ultramétricos ramificados son todos lugares obtenidos a partir de factorizaciones en${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$donde p divide al discriminante. Esto es cierto incluso para el discriminante polinomial; sin embargo, lo contrario también es cierto: si un primo p divide al discriminante, entonces existe un p -lugar que se ramifica. Para este recíproco se necesita el discriminante del cuerpo. Este es el teorema del discriminante de Dedekind . En el ejemplo anterior, el discriminante del cuerpo numérico${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$con x ³  − x − 1 = 0 es −23, y como hemos visto, el lugar 23-ádico se ramifica. El discriminante de Dedekind nos dice que es el único lugar ultramétrico que lo hace. El otro lugar ramificado proviene del valor absoluto en la incrustación compleja de   ${\displaystyle K}$.

Los campos numéricos comparten muchas similitudes con otra clase de campos muy utilizados en geometría algebraica, conocidos como campos de funciones de curvas algebraicas sobre campos finitos . Un ejemplo es${\displaystyle \mathbb {F} _{q}(T)}$, cuyas valoraciones están determinadas por dónde envían${\displaystyle T}$a, ya que extienden la valoración trivial (y única) en${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$Son similares en muchos aspectos, por ejemplo, en que los anillos numéricos son anillos regulares unidimensionales, al igual que los anillos de coordenadas (cuyos campos cociente son los campos de funciones en cuestión) de curvas. Por lo tanto, ambos tipos de campos se denominan campos globales . De acuerdo con la filosofía expuesta anteriormente, pueden estudiarse primero a nivel local, es decir, observando los campos locales correspondientes . Para los campos numéricos${\displaystyle K}$, los campos locales son los finalizados de${\displaystyle K}$en todos los lugares, incluidos los arquimedianos (véase análisis local ). Para los cuerpos de funciones, los cuerpos locales son completaciones de los anillos locales en todos los puntos de la curva para cuerpos de funciones.

Muchos resultados válidos para los campos de funciones también lo son, al menos si se reformulan adecuadamente, para los campos numéricos. Sin embargo, el estudio de los campos numéricos suele presentar dificultades y fenómenos que no se encuentran en los campos de funciones. Por ejemplo, en los campos de funciones no existe una dicotomía entre lugares no arquimedianos y arquimedianos. No obstante, los campos de funciones suelen servir como fuente de intuición sobre lo que cabe esperar en el caso de los campos numéricos.

Una pregunta prototípica, planteada a nivel global, es si alguna ecuación polinómica tiene una solución en${\displaystyle K}$Si este es el caso, esta solución también es una solución en todas las completaciones. El principio local-global o principio de Hasse afirma que para las ecuaciones cuadráticas, también se cumple lo contrario. Por lo tanto, se puede comprobar si dicha ecuación tiene una solución en todas las completaciones de${\displaystyle K}$, lo cual suele ser más fácil, ya que se pueden utilizar métodos analíticos (herramientas analíticas clásicas como el teorema del valor intermedio en los lugares arquimedianos y el análisis p-ádico en los lugares no arquimedianos). Sin embargo, esta implicación no se cumple para tipos de ecuaciones más generales. No obstante, la idea de pasar de datos locales a globales resulta fructífera en la teoría de cuerpos de clases, por ejemplo, donde la teoría de cuerpos de clases local se utiliza para obtener las ideas globales mencionadas anteriormente. Esto también está relacionado con el hecho de que los grupos de Galois de las completaciones K _v se pueden determinar explícitamente, mientras que los grupos de Galois de cuerpos globales, incluso de${\displaystyle \mathbb {Q} }$son mucho menos comprendidos.

Para reunir datos locales relacionados con todos los campos locales adjuntos a${\displaystyle K}$, se establece el anillo adele . Una variante multiplicativa se denomina ideles .

• Campo de funciones algebraicas

• Teorema de la unidad de Dirichlet , unidad S
• Extensión de Kummer
• Teorema de Minkowski , Geometría de los números
• Teorema de densidad de Chebotarev

• Grupo de clase Ray
• Grupo de descomposición
• Campo de género