campo de clase de Hilbert

En la teoría algebraica de números , el campo de clases de Hilbert${\displaystyle E}$de un campo numérico${\displaystyle K}$es la extensión abeliana no ramificada máxima de${\displaystyle K}$Su grado sobre${\displaystyle K}$es igual al número de clase de${\displaystyle K}$y el grupo Galois de${\displaystyle E}$encima${\displaystyle K}$es canónicamente isomorfo al grupo de clases ideal de${\displaystyle K}$utilizando elementos de Frobenius para ideales primos en${\displaystyle K}$.

En este contexto, el campo de clases de Hilbert de${\displaystyle K}$no solo no está ramificado en los lugares finitos (la interpretación clásica de la teoría ideal) sino también en los lugares infinitos de${\displaystyle K}$. Es decir, cada incrustación real de${\displaystyle K}$se extiende a una incrustación real de${\displaystyle E}$(en lugar de a una incrustación compleja de${\displaystyle E}$).

• Si el anillo de enteros de${\displaystyle K}$es un dominio de factorización único , en particular si${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$, entonces${\displaystyle K}$es su propio campo de clase de Hilbert.
• Dejar${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-15}})}$de discriminante${\displaystyle -15}$El campo${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}},{\sqrt {5}})}$tiene discriminante${\displaystyle 225=(-15)^{2}}$y así es una extensión no ramificada en todas partes de${\displaystyle K}$y es abeliano. Usando la cota de Minkowski , se puede demostrar que${\displaystyle K}$tiene número de clase 2. Por lo tanto, su campo de clase de Hilbert es${\displaystyle L}$. Un ideal no principal de${\displaystyle K}$es${\displaystyle (2,(1+{\sqrt {-15}})/2)}$y en${\displaystyle L}$Esto se convierte en el ideal principal${\displaystyle ((1+{\sqrt {5}})/2)}$.
• El campo${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$tiene número de clase 3. Su campo de clase de Hilbert se puede formar adjuntando una raíz de${\displaystyle x^{3}-x-1}$, que tiene discriminante −23.
• Para ver por qué debe tenerse en cuenta la ramificación en los primos arquimedianos, consideremos el campo cuadrático real .${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$obtenido al adjuntar la raíz cuadrada de 3 a${\displaystyle \mathbb {Q} }$Este campo tiene número de clase 1 y discriminante 12. Su extensión${\displaystyle K(i)}$tiene discriminante${\displaystyle 144=12^{2}}$^{[ 1 ]} , y por lo tanto no está ramificado en todos los ideales primos en${\displaystyle K}$, lo que significa que${\displaystyle K}$admite extensiones abelianas finitas de grado mayor que 1 en las que todos los primos finitos de${\displaystyle K}$no están ramificados. Esto no contradice el campo de clases de Hilbert de${\displaystyle K}$ser${\displaystyle K}$en sí mismo: toda extensión abeliana finita propia de${\displaystyle K}$debe ramificarse en algún lugar, y en la extensión${\displaystyle K(i)/K}$Hay ramificaciones en los lugares arquimedianos: las incrustaciones reales de${\displaystyle K}$extender a incrustaciones complejas (en lugar de reales) de${\displaystyle K(i)}$.
• Asimismo, para${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})}$(clase número 1, discriminante 24), la extensión${\displaystyle K({\sqrt {-2}},{\sqrt {-3}})}$tiene discriminante${\displaystyle 576=24^{2}}$^{[ 2 ]} , por lo que no está ramificado en ningún ideal primo en${\displaystyle K}$pero ramificada en ambos lugares reales.
• Según la teoría de la multiplicación compleja , el cuerpo de clases de Hilbert de un cuerpo cuadrático imaginario se genera mediante el valor de la función modular elíptica en un generador para el anillo de enteros (como un${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo).

La existencia de un cuerpo de clases de Hilbert (estrecho) para un cuerpo numérico K dado fue conjeturada por David Hilbert ( 1902 ) y demostrada por Philipp Furtwängler . ^{[ 3 ]} La existencia del cuerpo de clases de Hilbert es una herramienta valiosa para estudiar la estructura del grupo de clases de ideales de un cuerpo dado. 

El cuerpo de clases de Hilbert E también satisface lo siguiente:

• E es una extensión de Galois finita de K y [ E  : K ] = h _K , donde h _K es el número de clase de K .
• El grupo de clases ideal de K es isomorfo al grupo de Galois de E sobre K.
• Todo ideal de O _K se extiende a un ideal principal de la extensión de anillo O _E ( teorema del ideal principal ).
• Todo ideal primo P de O _K se descompone en el producto de h _K / f ideales primos en O _E , donde f es el orden de [ P ] en el grupo de clases de ideales de O _K .

De hecho, E es el único campo que satisface la primera, la segunda y la cuarta propiedad.

Si K es una función cuadrática imaginaria y A es una curva elíptica con multiplicación compleja por el anillo de enteros de K , entonces al adjuntar el j-invariante de A a K se obtiene el cuerpo de clases de Hilbert. ^{[ 4 ]}

En la teoría de cuerpos de clases , se estudia el cuerpo de clases de rayos con respecto a un módulo dado , que es un producto formal de ideales primos (incluidos, posiblemente, los arquimedianos). El cuerpo de clases de rayos es la extensión abeliana máxima no ramificada fuera de los primos que dividen el módulo y que satisface una condición de ramificación particular en los primos que dividen el módulo. El cuerpo de clases de Hilbert es entonces el cuerpo de clases de rayos con respecto al módulo trivial 1 .

El campo de clases estrecho es el campo de clases de rayos con respecto al módulo que consta de todos los primos infinitos. Por ejemplo, el argumento anterior muestra que${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}},i)}$es el campo de clase estrecho de${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$.

• Childress, Nancy (2009), Teoría del campo de clases , Nueva York: Springer , doi : 10.1007/978-0-387-72490-4 , ISBN 978-0-387-72489-8, MR 2462595 
• Furtwängler, Philipp (1906), "Allgemeiner Existenzbeweis für den Klassenkörper eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers" , Mathematische Annalen , 63 (1): 1– 37, doi : 10.1007/BF01448421 , JFM 37.0243.02 , SEÑOR 1511392 , consultado el 21 de agosto de 2009  
• Hilbert, David (1902) [1898], "Über die Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkörper", Acta Mathematica , 26 (1): 99– 131, doi : 10.1007/BF02415486
• JS Milne, Teoría de cuerpos de clases (Apuntes del curso disponibles en http://www.jmilne.org/math/ ). Véase el capítulo de Introducción de los apuntes, especialmente la página  4.
• Silverman, Joseph H. (1994), Temas avanzados en la aritmética de curvas elípticas , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  151, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94325-1
• Gras, Georges (2005), Teoría del campo de clases: De la teoría a la práctica , Nueva York: Springer

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