Grupo abeliano libre

El producto directo de grupos consiste en tuplas de un elemento de cada grupo en el producto, con adición componente a componente. El producto directo de dos grupos abelianos libres es también abeliano libre, con base la unión disjunta de las bases de los dos grupos. ^{[ 8 ]} De manera más general, el producto directo de cualquier número finito de grupos abelianos libres es abeliano libre.${\displaystyle d}$Por ejemplo, una red entera de dimensión - es isomorfa al producto directo de${\displaystyle d}$copias del grupo entero${\displaystyle \mathbb {Z} }$. El grupo trivial${\displaystyle \{0\}}$También se considera abeliano libre, con base el conjunto vacío . ^{[ 9 ]} Puede interpretarse como un producto vacío , el producto directo de cero copias de${\displaystyle \mathbb {Z} }$. ^{[ 10 ]}

Para familias infinitas de grupos abelianos libres, el producto directo no es necesariamente abeliano libre. ^{[ 8 ]} Por ejemplo, el grupo de Baer-Specker.${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$, un grupo incontable formado como producto directo de un número contable de copias de${\displaystyle \mathbb {Z} }$Reinhold Baer demostró en 1937 que no era abeliano libre, ^{[ 11 ]} aunque Ernst Specker demostró en 1950 que todos sus subgrupos numerables son abelianos libres. ^{[ 12 ]} En cambio, para obtener un grupo abeliano libre a partir de una familia infinita de grupos, se debe usar la suma directa en lugar del producto directo. La suma directa y el producto directo son iguales cuando se aplican a un número finito de grupos, pero difieren en familias infinitas de grupos. En la suma directa, los elementos son nuevamente tuplas de elementos de cada grupo, pero con la restricción de que todos menos un número finito de estos elementos son la identidad de su grupo. La suma directa de infinitos grupos abelianos libres sigue siendo abeliana libre. Tiene una base que consiste en tuplas en las que todos menos un elemento es la identidad, siendo el elemento restante parte de una base para su grupo. ^{[ 8 ]}

Cada grupo abeliano libre puede describirse como una suma directa de copias de${\displaystyle \mathbb {Z} }$, con una copia para cada miembro de su base. ^{[ 13 ] [ 14 ]} Esta construcción permite cualquier conjunto${\displaystyle B}$para convertirse en la base de un grupo abeliano libre. ^{[ 15 ]}

Dado un conjunto${\displaystyle B}$, se puede definir un grupo${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$cuyos elementos son funciones de${\displaystyle B}$a los enteros, donde los paréntesis en el superíndice indican que solo se incluyen las funciones con un número finito de valores distintos de cero. Si${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son dos de esas funciones, entonces${\displaystyle f+g}$es la función cuyos valores son sumas de los valores en${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$: eso es,${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$Esta operación de suma punto por punto da como resultado${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$la estructura de un grupo abeliano. ^{[ 16 ]}

Cada elemento${\displaystyle x}$del conjunto dado${\displaystyle B}$corresponde a un miembro de${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$, la función${\displaystyle e_{x}}$para qué${\displaystyle e_{x}(x)=1}$y para cuál${\displaystyle e_{x}(y)=0}$a pesar de${\displaystyle y\neq x}$Cada función${\displaystyle f}$en${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$es una combinación lineal única de un número finito de elementos base: $${\displaystyle f=\sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)e_{x}.}$$ Por lo tanto, estos elementos${\displaystyle e_{x}}$formar una base para${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$, y${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$es un grupo abeliano libre. De esta manera, cada conjunto${\displaystyle B}$puede convertirse en la base de un grupo abeliano libre. ^{[ 16 ]}

Los elementos de${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$También se pueden escribir como sumas formales , expresiones en forma de una suma de un número finito de términos, donde cada término se escribe como el producto de un entero distinto de cero con un miembro distinto de${\displaystyle B}$Estas expresiones se consideran equivalentes cuando tienen los mismos términos, independientemente del orden de los términos, y se pueden sumar formando la unión de los términos, sumando los coeficientes enteros para combinar los términos con el mismo elemento base y eliminando los términos para los cuales esta combinación produce un coeficiente cero. [ ^{4 ] También} se pueden interpretar como los multiconjuntos con signo de un número finito de elementos de${\displaystyle B}$. ^{[ 17 ]}

Una presentación de un grupo es un conjunto de elementos que generan el grupo (lo que significa que todos los elementos del grupo pueden expresarse como productos de un número finito de generadores), junto con "relatores", productos de generadores que dan el elemento identidad. Los elementos de un grupo definidos de esta manera son clases de equivalencia de secuencias de generadores y sus inversos, bajo una relación de equivalencia que permite insertar o eliminar cualquier par relator o generador-inverso como una subsecuencia contigua. El grupo abeliano libre con base${\displaystyle B}$tiene una presentación en la que los generadores son los elementos de${\displaystyle B}$y los relatores son los conmutadores de pares de elementos de${\displaystyle B}$Aquí , el conmutador de dos elementos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$es el producto${\displaystyle x^{-1}y^{-1}xy}$; configurar este producto a la identidad causa${\displaystyle xy}$igualar​${\displaystyle yx}$, de modo que${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$conmutan. De forma más general, si todos los pares de generadores conmutan, entonces todos los pares de productos de generadores también conmutan. Por lo tanto, el grupo generado por esta presentación es abeliano, y los relatores de la presentación forman un conjunto mínimo de relatores necesarios para asegurar que sea abeliano. ^{[ 18 ]}

Cuando el conjunto de generadores es finito, la presentación de un grupo abeliano libre también es finita, porque solo hay un número finito de conmutadores diferentes que se pueden incluir en la presentación. Este hecho, junto con el hecho de que todo subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre ( véase más abajo ), se puede utilizar para demostrar que todo grupo abeliano finitamente generado está finitamente presentado. Porque, si${\displaystyle G}$es generado finitamente por un conjunto${\displaystyle B}$, es un cociente del grupo abeliano libre sobre${\displaystyle B}$por un subgrupo abeliano libre, el subgrupo generado por los relatores de la presentación de${\displaystyle G}$. Pero dado que este subgrupo es en sí mismo abeliano libre, también es finitamente generado, y su base (junto con los conmutadores sobre${\displaystyle B}$) forma un conjunto finito de relatores para una presentación de${\displaystyle G}$. ^{[ 19 ]}

Un grupo abeliano libre${\displaystyle F}$con base${\displaystyle B}$tiene la siguiente propiedad universal : para cada función${\displaystyle f}$de${\displaystyle B}$a un grupo abeliano${\displaystyle A}$, existe un homomorfismo de grupo único de${\displaystyle F}$a${\displaystyle A}$que se extiende${\displaystyle f}$^{[ 4 ] [ 9 ]} Aquí , un homomorfismo de grupo es una aplicación de un grupo a otro que es consistente con la ley del producto de grupos: realizar un producto antes o después de la aplicación produce el mismo resultado. Por una propiedad general de las propiedades universales, esto muestra que "el" grupo abeliano de base${\displaystyle B}$es única salvo un isomorfismo. Por lo tanto, la propiedad universal puede usarse como definición del grupo abeliano libre de base${\displaystyle B}$La unicidad del grupo definido por esta propiedad demuestra que todas las demás definiciones son equivalentes. ^{[ 15 ]}

Es debido a esta propiedad universal que los grupos abelianos libres se llaman "libres": son los objetos libres en la categoría de grupos abelianos , la categoría que tiene a los grupos abelianos como sus objetos y a los homomorfismos como sus flechas. El mapa de una base a su grupo abeliano libre es un functor , un mapeo de categorías que preserva la estructura, de conjuntos a grupos abelianos, y es adjunto al functor de olvido de grupos abelianos a conjuntos. ^{[ 25 ]} Sin embargo, un grupo abeliano libre no es un grupo libre excepto en dos casos: un grupo abeliano libre que tiene una base vacía (rango cero, dando el grupo trivial ) o que tiene solo un elemento en la base (rango uno, dando el grupo cíclico infinito ). ^{[ 9 ] [ 26 ]} Otros grupos abelianos no son grupos libres porque en los grupos libres${\displaystyle ab}$debe ser diferente de${\displaystyle ba}$si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son elementos diferentes de la base, mientras que en los grupos abelianos libres los dos productos deben ser idénticos para todos los pares de elementos. En la categoría general de grupos , es una restricción adicional exigir que${\displaystyle ab=ba}$, mientras que esta es una propiedad necesaria en la categoría de grupos abelianos. ^{[ 27 ]}

Dos bases del mismo grupo abeliano libre tienen la misma cardinalidad , por lo que la cardinalidad de una base forma un invariante del grupo conocido como su rango. ^{[ 28 ] [ 29 ]} Dos grupos abelianos libres son isomorfos si y solo si tienen el mismo rango. ^{[ 4 ]} Un grupo abeliano libre es finitamente generado si y solo si su rango es un número finito.${\displaystyle n}$, en cuyo caso el grupo es isomorfo a${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$. ^{[ 30 ]}

Esta noción de rango puede generalizarse, desde grupos abelianos libres hasta grupos abelianos que no son necesariamente libres. El rango de un grupo abeliano${\displaystyle G}$se define como el rango de un subgrupo abeliano libre${\displaystyle F}$de${\displaystyle G}$para el cual el grupo cociente${\displaystyle G/F}$es un grupo de torsión . Equivalentemente, es la cardinalidad de un subconjunto maximal de${\displaystyle G}$que genera un subgrupo libre. El rango es un invariante de grupo: no depende de la elección del subgrupo. ^{[ 31 ]}

Todo subgrupo de un grupo abeliano libre es también un grupo abeliano libre. Este resultado de Richard Dedekind ^{[ 32 ]} fue precursor del teorema análogo de Nielsen-Schreier que establece que todo subgrupo de un grupo libre es libre, y es una generalización del hecho de que todo subgrupo no trivial del grupo cíclico infinito es cíclico infinito . La demostración requiere el axioma de elección . ^{[ 25 ]} Una demostración que utiliza el lema de Zorn (una de las muchas suposiciones equivalentes al axioma de elección) se puede encontrar en el libro Álgebra de Serge Lang . ^{[ 33 ]} Solomon Lefschetz e Irving Kaplansky argumentan que usar el principio de buen ordenamiento en lugar del lema de Zorn conduce a una demostración más intuitiva. ^{[ 14 ]}

En el caso de grupos abelianos libres finitamente generados, la demostración es más sencilla, no necesita el axioma de elección y conduce a un resultado más preciso. Si${\displaystyle G}$es un subgrupo de un grupo abeliano libre finitamente generado${\displaystyle F}$, entonces${\displaystyle G}$es gratis y existe una base${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$de${\displaystyle F}$y números enteros positivos${\displaystyle d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}}$(es decir, cada uno divide al siguiente) de tal manera que${\displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})}$es una base de${\displaystyle G.}$Además, la secuencia${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}}$depende únicamente de${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$y no sobre la base. ^{[ 34 ]} Una prueba constructiva de la parte de existencia del teorema la proporciona cualquier algoritmo que calcule la forma normal de Smith de una matriz de enteros. ^{[ 35 ]} La unicidad se deduce del hecho de que, para cualquier${\displaystyle r\leq k}$, el máximo común divisor de los menores de rango${\displaystyle r}$de la matriz no cambia durante el cálculo de la forma normal de Smith y es el producto${\displaystyle d_{1}\cdots d_{r}}$al final del cálculo. ^{[ 36 ]}

Todos los grupos abelianos libres son libres de torsión , lo que significa que no hay ningún elemento de grupo que no sea identidad.${\displaystyle x}$y un entero distinto de cero${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle nx=0}$. Por el contrario, todos los grupos abelianos libres de torsión generados finitamente son abelianos libres. ^{[ 9 ] [ 37 ]}

El grupo aditivo de los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$proporciona un ejemplo de un grupo abeliano sin torsión (pero no finitamente generado) que no es abeliano libre. ^{[ 38 ]} Una razón por la que${\displaystyle \mathbb {Q} }$no es libre abeliano es que es divisible , lo que significa que, para cada elemento${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$y cada entero distinto de cero${\displaystyle n}$, es posible expresar${\displaystyle x}$como un múltiplo escalar${\displaystyle ny}$de otro elemento ${\displaystyle y=x/n}$. Por el contrario, los grupos abelianos libres no triviales nunca son divisibles, porque en un grupo abeliano libre los elementos de la base no pueden expresarse como múltiplos de otros elementos. ^{[ 39 ]}

Las simetrías de cualquier grupo pueden describirse como automorfismos de grupo , los homomorfismos invertibles del grupo en sí mismo. En grupos no abelianos, estos se subdividen en automorfismos internos y externos , pero en grupos abelianos todos los automorfismos que no son identidad son externos. Forman otro grupo, el grupo de automorfismos del grupo dado, bajo la operación de composición . El grupo de automorfismos de un grupo abeliano libre de rango finito${\displaystyle n}$es el grupo lineal general${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )}$, que puede describirse concretamente (para una base específica del grupo de automorfismos libres) como el conjunto de${\displaystyle n\times n}$Matrices enteras invertibles bajo la operación de multiplicación de matrices . Su acción como simetrías en el grupo abeliano libre.${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$es simplemente una multiplicación matriz-vector. ^{[ 40 ]}

Los grupos de automorfismos de dos grupos abelianos libres de rango infinito tienen las mismas teorías de primer orden si y solo si sus rangos son cardinales equivalentes desde el punto de vista de la lógica de segundo orden . Este resultado depende de la estructura de las involuciones de los grupos abelianos libres, los automorfismos que son su propio inverso. Dada una base para un grupo abeliano libre, se pueden encontrar involuciones que mapean cualquier conjunto de pares disjuntos de elementos de la base entre sí, o que niegan cualquier subconjunto elegido de elementos de la base, dejando los demás elementos de la base fijos. Recíprocamente, para cada involución de un grupo abeliano libre, se puede encontrar una base del grupo para la cual todos los elementos de la base se intercambian de pares, se niegan o permanecen inalterados por la involución. ^{[ 41 ]}

Si un grupo abeliano libre es un cociente de dos grupos${\displaystyle A/B}$, entonces${\displaystyle A}$es la suma directa${\displaystyle B\oplus A/B}$. ^{[ 4 ]}

Dado un grupo abeliano arbitrario${\displaystyle A}$Siempre existe un grupo abeliano libre.${\displaystyle F}$y un homomorfismo de grupo sobreyectivo de${\displaystyle F}$a${\displaystyle A}$. Una forma de construir una sobreyección sobre un grupo dado${\displaystyle A}$es dejar${\displaystyle F=\mathbb {Z} ^{(A)}}$ser el grupo abeliano libre sobre${\displaystyle A}$, representadas como sumas formales. Entonces, una sobreyección puede definirse mapeando sumas formales en${\displaystyle F}$a las sumas correspondientes de los miembros de${\displaystyle A}$. Es decir, los mapas de sobreyección $${\displaystyle \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}e_{x}\mapsto \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}x,}$$ dónde${\displaystyle a_{x}}$es el coeficiente entero del elemento base${\displaystyle e_{x}}$en una suma formal dada, la primera suma está en${\displaystyle F}$y la segunda suma está en${\displaystyle A}$. ^{[ 29 ] [ 42 ]} Esta sobreyección es el único homomorfismo de grupo que extiende la función${\displaystyle e_{x}\mapsto x}$y, por lo tanto, su construcción puede considerarse un ejemplo de la propiedad universal.

Cuando${\displaystyle F}$y${\displaystyle A}$son como arriba, el núcleo${\displaystyle G}$de la sobreyección de${\displaystyle F}$a${\displaystyle A}$es también abeliano libre, ya que es un subgrupo de${\displaystyle F}$(el subgrupo de elementos mapeados a la identidad). Por lo tanto, estos grupos forman una secuencia exacta corta.$${\displaystyle 0\to G\to F\to A\to 0}$$ en el cual${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$son ambos libres abelianos y${\displaystyle A}$es isomorfo al grupo factorial${\displaystyle F/G}$Esta es una resolución gratuita de${\displaystyle A}$. ^{[ 2 ]} Además, asumiendo el axioma de elección, ^{[ 43 ]} los grupos abelianos libres son precisamente los objetos proyectivos en la categoría de grupos abelianos . ^{[ 4 ] [ 44 ]}

En topología algebraica , una suma formal de${\displaystyle k}$Los símplices de dimensión - se llaman${\displaystyle k}$-cadena, y el grupo abeliano libre que tiene una colección de${\displaystyle k}$-símplices como su base se llama grupo de cadena. ^{[ 45 ]} Los símplices generalmente se toman de algún espacio topológico , por ejemplo como el conjunto de${\displaystyle k}$-símplices en un complejo simplicial , o el conjunto de símplices singulares${\displaystyle k}$-símplices en una variedad . Cualquier${\displaystyle k}$Un simplex de dimensión -tiene un límite que puede representarse como una suma formal de${\displaystyle (k-1)}$símplices de dimensión , y la propiedad universal de los grupos abelianos libres permite que este operador de frontera se extienda a un homomorfismo de grupo desde${\displaystyle k}$-cadenas a${\displaystyle (k-1)}$-cadenas. El sistema de grupos de cadenas vinculados por operadores de frontera de esta manera forma un complejo de cadenas , y el estudio de los complejos de cadenas constituye la base de la teoría de la homología . ^{[ 46 ]}

Toda función racional sobre los números complejos puede asociarse con un multiconjunto con signo de números complejos.${\displaystyle c_{i}}$, los ceros y polos de la función (puntos donde su valor es cero o infinito). La multiplicidad${\displaystyle m_{i}}$de un punto en este multiconjunto es su orden como cero de la función, o la negación de su orden como polo. Entonces la función misma puede recuperarse a partir de estos datos, salvo un factor escalar , como$${\displaystyle f(q)=\prod (q-c_{i})^{m_{i}}.}$$ Si estos multiconjuntos se interpretan como miembros de un grupo abeliano libre sobre los números complejos, entonces el producto o cociente de dos funciones racionales corresponde a la suma o diferencia de dos miembros del grupo. Por lo tanto, el grupo multiplicativo de funciones racionales puede factorizarse en el grupo multiplicativo de números complejos (los factores escalares asociados a cada función) y el grupo abeliano libre sobre los números complejos. Las funciones racionales que tienen un valor límite distinto de cero en el infinito (las funciones meromorfas en la esfera de Riemann ) forman un subgrupo de este grupo en el que la suma de las multiplicidades es cero. ^{[ 47 ]}

Esta construcción se ha generalizado, en geometría algebraica , a la noción de divisor . Hay diferentes definiciones de divisores, pero en general forman una abstracción de una subvariedad de codimensión uno de una variedad algebraica , el conjunto de puntos solución de un sistema de ecuaciones polinómicas . En el caso en que el sistema de ecuaciones tiene un grado de libertad (sus soluciones forman una curva algebraica o superficie de Riemann ), una subvariedad tiene codimensión uno cuando consiste en puntos aislados, y en este caso un divisor es nuevamente un multiconjunto con signo de puntos de la variedad. ^{[ 48 ]} Las funciones meromorfas en una superficie de Riemann compacta tienen un número finito de ceros y polos, y sus divisores forman un subgrupo de un grupo abeliano libre sobre los puntos de la superficie, con la multiplicación o división de funciones correspondiente a la suma o resta de elementos del grupo. Para ser un divisor, un elemento del grupo abeliano libre debe tener multiplicidades que sumen cero y cumplir ciertas restricciones adicionales dependiendo de la superficie. ^{[ 47 ]}

El anillo de grupo integral${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$, para cualquier grupo${\displaystyle G}$, es un anillo cuyo grupo aditivo es el grupo abeliano libre sobre${\displaystyle G}$. ^{[ 49 ]} Cuando${\displaystyle G}$es finito y abeliano, el grupo multiplicativo de unidades en${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$tiene la estructura de un producto directo de un grupo finito y un grupo abeliano libre finitamente generado. ^{[ 50 ] [ 51 ]}