Campo de género

En la teoría algebraica de números , el campo de género${\displaystyle \Gamma (K)}$de un cuerpo de números algebraicos${\displaystyle K}$es la extensión abeliana máxima de${\displaystyle K}$que se obtiene componiendo un campo absolutamente abeliano con${\displaystyle K}$y que no está ramificado en todos los primos finitos de${\displaystyle K}$. El número de género de${\displaystyle K}$es el grado${\displaystyle [\Gamma (K):K]}$y el grupo de géneros es el grupo de Galois de${\displaystyle \Gamma (K)}$encima${\displaystyle K}$.

Si${\displaystyle K}$es en sí mismo absolutamente abeliano, el campo de género puede describirse como la extensión absolutamente abeliana máxima de${\displaystyle K}$no ramificada en todos los números primos finitos: esta definición fue utilizada por Leopoldt y Hasse.

Si${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {m}})}$(${\displaystyle m}$libre de cuadrados) es un campo cuadrático de discriminante${\displaystyle D}$, el campo de género de${\displaystyle K}$es una composición de campos cuadráticos. Sea p _i el factor primo de${\displaystyle D}$Para cada número primo p , definimos p ^∗ de la siguiente manera:

${\displaystyle p^{*}=\pm p\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ si }}p{\text{ es impar}};}$

${\displaystyle 2^{*}=-4,8,-8{\text{ según }}m\equiv 3{\pmod {4}},2{\pmod {8}},-2{\pmod {8}}.}$

Entonces el campo del género es el compuesto${\displaystyle K({\sqrt {p_{i}^{*}}}).}$

• campo de clase de Hilbert