Escisión de ideales primos en extensiones de Galois

A continuación, se supone que la extensión L / K es una extensión de Galois . Entonces, se puede usar el lema de evitación de primos para demostrar el grupo de Galois.${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$actúa transitivamente sobre P _j . Es decir, los factores ideales primos de p en L forman una única órbita bajo los automorfismos de L sobre K . De esto y del teorema de factorización única , se deduce que f = f _j y e = e _j son independientes de j ; algo que ciertamente no tiene por qué ser el caso para extensiones que no son de Galois. Las relaciones básicas son entonces:

${\displaystyle pO_{L}=\left(\prod _{j=1}^{g}P_{j}\right)^{e}}$.

y

${\displaystyle [L:K]=efg.}$

La relación anterior muestra que [ L  : K ]/ ef es igual al número g de factores primos de p en O _L . Por la fórmula del estabilizador de órbita, este número también es igual a | G | / | D _{P j} | para cada j , donde D _{P j} , el grupo de descomposición de P _j , es el subgrupo de elementos de G que envían un P _j dado a sí mismo. Dado que el grado de L / K y el orden de G son iguales por la teoría básica de Galois, se deduce que el orden del grupo de descomposición D _{P j} es ef para cada j .

Este grupo de descomposición contiene un subgrupo I _{P j} , llamado grupo de inercia de P _j , que consta de automorfismos de L / K que inducen el automorfismo identidad en F _j . En otras palabras, I _{P j} es el núcleo del mapa de reducción${\displaystyle D_{P_{j}}\to \operatorname {Gal} (F_{j}/F)}$Se puede demostrar que esta aplicación es sobreyectiva, y de ello se deduce que${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{j}/F)}$es isomorfo a D _{P j} / I _{P j} y el orden del grupo de inercia I _{P j} es e .

La teoría del elemento de Frobenius va más allá, para identificar un elemento de D _{P j} / I _{P j} para un j dado que corresponde al automorfismo de Frobenius en el grupo de Galois de la extensión de cuerpo finito F _j / F . En el caso no ramificado el orden de D _{P j} es f e I _{P j} es trivial, por lo que el elemento de Frobenius es en este caso un elemento de D _{P j} , y por lo tanto también un elemento de G . Para j variable , los grupos D _{P j} son subgrupos conjugados dentro de G : Recordando que G actúa transitivamente sobre el P _j , se comprueba que si σ mapea P _j a P _{j ′} ,${\displaystyle \sigma D_{P_{j}}\sigma ^{-1}=D_{P_{j'}}}$Por lo tanto, si G es un grupo abeliano , el elemento de Frobenius de un primo no ramificado P no depende de qué P _j tomemos. Además, en el caso abeliano, asociar un primo no ramificado de K a su Frobenius y extender multiplicativamente define un homomorfismo del grupo de ideales no ramificados de K en G. Este mapeo, conocido como el mapeo de Artin , es un ingrediente crucial de la teoría de cuerpos de clases ^, que estudia las extensiones abelianas finitas de un cuerpo numérico dado K. ^{[ 1} ]

En el análogo geométrico, para variedades complejas o geometría algebraica sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , los conceptos de grupo de descomposición y grupo de inercia coinciden. Allí, dada una cubierta ramificada de Galois, todos los puntos, salvo un número finito, tienen el mismo número de preimágenes .

La descomposición de números primos en extensiones que no son de Galois puede estudiarse utilizando inicialmente un cuerpo de descomposición , es decir, una extensión de Galois algo mayor. Por ejemplo, los cuerpos cúbicos suelen estar «regulados» por un cuerpo de grado 6 que los contiene.

El primo 2 de Z se ramifica en Z [ i ]:

${\displaystyle (2)=(1+i)^{2}}$

Por lo tanto, el índice de ramificación aquí es e = 2. El campo residual es

${\displaystyle O_{L}/(1+i)O_{L}}$

que es el cuerpo finito con dos elementos. El grupo de descomposición debe ser igual a todo G , ya que solo hay un primo de Z [ i ] mayor que 2. El grupo de inercia también es todo G , ya que

${\displaystyle a+bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i}$

para cualesquiera enteros a y b , como${\displaystyle a+bi=2bi+a-bi=(1+i)\cdot (1-i)bi+a-bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i}$.

De hecho, 2 es el único primo que se ramifica en Z [ i ], ya que todo primo que se ramifica debe dividir el discriminante de Z [ i ], que es − 4.

Cualquier número primo p ≡ 1 mod 4 se divide en dos ideales primos distintos en Z [ i ]; esta es una manifestación del teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados . Por ejemplo:

${\displaystyle 13=(2+3i)(2-3i)}$

Los grupos de descomposición en este caso son ambos el grupo trivial {1}; de hecho, el automorfismo σ intercambia los dos primos ( 2 + 3 i ) y ( 2 − 3 i ), por lo que no puede estar en el grupo de descomposición de ninguno de los primos. El grupo de inercia, al ser un subgrupo del grupo de descomposición, también es el grupo trivial. Hay dos cuerpos residuales, uno para cada primo,

${\displaystyle O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}\ ,}$

que son ambos isomorfos al cuerpo finito con 13 elementos. El elemento de Frobenius es el automorfismo trivial; esto significa que

${\displaystyle (a+bi)^{13}\equiv a+bi{\bmod {2}}\pm 3i}$

para cualesquiera enteros a y b .

Cualquier primo p ≡ 3 mod 4 permanece inerte en Z [ i ]; es decir, no se descompone. Por ejemplo, (7) sigue siendo primo en Z [ i ]. En esta situación, el grupo de descomposición es todo G , de nuevo porque solo hay un factor primo. Sin embargo, esta situación difiere del caso p = 2, porque ahora σ no actúa trivialmente sobre el campo residual.

${\displaystyle O_{L}/(7)O_{L}\ ,}$

que es el campo finito con 7 ² = 49 elementos. Por ejemplo, la diferencia entre${\displaystyle 1+i}$y${\displaystyle \sigma (1+i)=1-i}$es${\displaystyle 2i}$, que ciertamente no es divisible por 7. Por lo tanto, el grupo de inercia es el grupo trivial {1}. El grupo de Galois de este campo residual sobre el subcampo Z /7 Z tiene orden 2 y está generado por la imagen del elemento de Frobenius. El elemento de Frobenius no es otro que σ; esto significa que

${\displaystyle (a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod {7}}}$

para cualesquiera enteros a y b .

Consideremos nuevamente el caso de los enteros gaussianos. Tomamos θ como la unidad imaginaria.${\displaystyle i}$, con polinomio mínimo H ( X ) = X ² + 1. Dado que Z [${\displaystyle i}$] es el anillo completo de enteros de Q (${\displaystyle i}$), el conductor es la unidad ideal, por lo que no hay primos excepcionales.

Para P = (2), necesitamos trabajar en el campo Z /(2) Z , lo que equivale a factorizar el polinomio X ² + 1 módulo 2:

${\displaystyle X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2}}.}$

Por lo tanto, solo hay un factor primo, con grado de inercia 1 e índice de ramificación 2, y está dado por

${\displaystyle Q=(2)\mathbf {Z} [i]+(i+1)\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i].}$

El siguiente caso es para P = ( p ) para un primo p ≡ 3 mod 4. Para mayor concreción, tomaremos P = (7). El polinomio X ² + 1 es irreducible módulo 7. Por lo tanto, solo hay un factor primo, con grado de inercia 2 e índice de ramificación 1, y está dado por

${\displaystyle Q=(7)\mathbf {Z} [i]+(i^{2}+1)\mathbf {Z} [i]=7\mathbf {Z} [i].}$

El último caso es P = ( p ) para un primo p ≡ 1 mod 4; tomaremos nuevamente P = (13). Esta vez tenemos la factorización

${\displaystyle X^{2}+1=(X+5)(X-5){\pmod {13}}.}$

Por lo tanto, existen dos factores primos, ambos con grado de inercia e índice de ramificación 1. Están dados por

${\displaystyle Q_{1}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i+5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2+3i)\mathbf {Z} [i]}$

y

${\displaystyle Q_{2}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i-5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2-3i)\mathbf {Z} [i].}$