Teorema de los elementos primitivos

En teoría de cuerpos , el teorema del elemento primitivo establece que toda extensión de cuerpo separable finita es simple , es decir, generada por un solo elemento. Este teorema implica, en particular, que todos los cuerpos numéricos algebraicos sobre los números racionales, y todas las extensiones en las que ambos cuerpos son finitos, son simples.

Dejar${\displaystyle E/F}$ser una extensión de campo . Un elemento${\displaystyle \alpha \in E}$es un elemento primitivo para${\displaystyle E/F}$si${\displaystyle E=F(\alpha ),}$es decir, si cada elemento de${\displaystyle E}$se puede escribir como una función racional en${\displaystyle \alpha }$con coeficientes en${\displaystyle F}$. Si existe tal elemento primitivo, entonces${\displaystyle E/F}$se denomina extensión simple .

Si la extensión del campo${\displaystyle E/F}$tiene elemento primitivo${\displaystyle \alpha }$y es de grado finito${\displaystyle n=[E:F]}$, entonces cada elemento${\displaystyle \gamma \in E}$puede escribirse en la forma

${\displaystyle \gamma =a_{0}+a_{1}{\alpha }+\cdots +a_{n-1}{\alpha }^{n-1},}$

para coeficientes únicos${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}\in F}$. Es decir, el conjunto

${\displaystyle \{1,\alpha ,\ldots ,{\alpha }^{n-1}\}}$

es una base para E como un espacio vectorial sobre F. El grado n es igual al grado del polinomio irreducible de α sobre F , el único mónico.${\displaystyle f(X)\in F[X]}$de grado mínimo con α como raíz (una dependencia lineal de${\displaystyle \{1,\alpha ,\ldots ,\alpha ^{n-1},\alpha ^{n}\}}$).

Si L es un campo de descomposición de${\displaystyle f(X)}$que contiene sus n raíces distintas${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$, entonces hay n incrustaciones de campo${\displaystyle \sigma _{i}:F(\alpha )\hookrightarrow L}$definido por${\displaystyle \sigma _{i}(\alpha )=\alpha _{i}}$y${\displaystyle \sigma (a)=a}$para${\displaystyle a\in F}$y estos se extienden a los automorfismos de L en el grupo de Galois ,${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\in \mathrm {Gal} (L/F)}$. De hecho, para un campo de extensión con${\displaystyle [E:F]=n}$, un elemento${\displaystyle \alpha }$es un elemento primitivo si y solo si${\displaystyle \alpha }$tiene n conjugados distintos${\displaystyle \sigma _{1}(\alpha ),\ldots ,\sigma _{n}(\alpha )}$en algún campo de división${\displaystyle L\supseteq E}$.

Si uno adjunta a los números racionales${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$los dos números irracionales${\displaystyle {\sqrt {2}}}$y${\displaystyle {\sqrt {3}}}$para obtener el campo de extensión${\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$de grado 4, se puede demostrar que esta extensión es simple, lo que significa${\displaystyle E=\mathbb {Q} (\alpha )}$por un solo${\displaystyle \alpha \in E}$. Tomando${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$, las potencias 1, α , α ² , α ³ se pueden expandir como combinaciones lineales de 1,${\displaystyle {\sqrt {2}}}$,${\displaystyle {\sqrt {3}}}$,${\displaystyle {\sqrt {6}}}$con coeficientes enteros . Se puede resolver este sistema de ecuaciones lineales para${\displaystyle {\sqrt {2}}}$y${\displaystyle {\sqrt {3}}}$encima${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$para obtener ${\displaystyle {\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{3}-9\alpha )}$y${\displaystyle {\sqrt {3}}=-{\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{3}-11\alpha )}$Esto demuestra que α es, en efecto, un elemento primitivo:

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}).}$

También se puede utilizar el siguiente argumento más general. ^{[ 1 ]} El campo${\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$Claramente tiene cuatro automorfismos de campo.${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4}:E\to E}$definido por${\displaystyle \sigma _{i}({\sqrt {2}})=\pm {\sqrt {2}}}$y${\displaystyle \sigma _{i}({\sqrt {3}})=\pm {\sqrt {3}}}$para cada elección de signos. El polinomio mínimo${\displaystyle f(X)\in \mathbb {Q} [X]}$de${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$debe tener${\displaystyle f(\sigma _{i}(\alpha ))=\sigma _{i}(f(\alpha ))=0}$, entonces${\displaystyle f(X)}$debe tener al menos cuatro raíces distintas${\displaystyle \sigma _{i}(\alpha )=\pm {\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}}}$. De este modo${\displaystyle f(X)}$tiene al menos cuatro años de estudios y${\displaystyle [\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]\geq 4}$, pero este es el grado de todo el campo,${\displaystyle [E:\mathbb {Q} ]=4}$, entonces ${\displaystyle E=\mathbb {Q} (\alpha )}$.

El teorema del elemento primitivo establece:

Toda extensión de cuerpo separable de grado finito es simple.

Este teorema se aplica a los cuerpos de números algebraicos , es decir, extensiones finitas de los números racionales Q , ya que Q tiene característica 0 y, por lo tanto, toda extensión finita sobre Q es separable.

Utilizando el teorema fundamental de la teoría de Galois , el primer teorema se deduce inmediatamente del teorema de Steinitz .

Para una extensión no separable${\displaystyle E/F}$de característica p , sin embargo hay un elemento primitivo siempre que el grado [ E  : F ] sea p: de hecho, no puede haber subcampos intermedios no triviales ya que sus grados serían factores del primo p . 

Cuando [ E  : F ] = p ² , puede que no haya un elemento primitivo (en cuyo caso hay infinitos campos intermedios según el teorema de Steinitz ). El ejemplo más simple es ${\displaystyle E=\mathbb {F} _{p}(T,U)}$, el campo de funciones racionales en dos indeterminadas T y U sobre el campo finito con p elementos, y${\displaystyle F=\mathbb {F} _{p}(T^{p},U^{p})}$. De hecho, para cualquier${\displaystyle \alpha =g(T,U)}$en${\displaystyle E\setminus F}$, el endomorfismo de Frobenius muestra que el elemento${\displaystyle \alpha ^{p}}$se encuentra en F , por lo que α es una raíz de${\displaystyle f(X)=X^{p}-\alpha ^{p}\in F[X]}$y α no puede ser un elemento primitivo (de grado p ² sobre F ), sino que F ( α ) es un cuerpo intermedio no trivial.

Supongamos primero que${\displaystyle F}$es infinito. Por inducción, basta con demostrar que cualquier extensión finita${\displaystyle E=F(\beta ,\gamma )}$es simple. Para${\displaystyle c\in F}$, suponer${\displaystyle \alpha =\beta +c\gamma }$no es un elemento primitivo,${\displaystyle F(\alpha )\subsetneq F(\beta ,\gamma )}$. Entonces${\displaystyle \gamma \notin F(\alpha )}$, ya que de lo contrario${\displaystyle \beta =\alpha -c\gamma \in F(\alpha )=F(\beta ,\gamma )}$. Consideremos los polinomios mínimos de${\displaystyle \beta ,\gamma }$encima${\displaystyle F(\alpha )}$respectivamente${\displaystyle f(X),g(X)\in F(\alpha )[X]}$y tomar un campo divisor${\displaystyle L}$que contiene todas las raíces${\displaystyle \beta ,\beta ',\ldots }$ de${\displaystyle f(X)}$y${\displaystyle \gamma ,\gamma ',\ldots }$de${\displaystyle g(X)}$. Desde${\displaystyle \gamma \notin F(\alpha )}$, hay otra raíz${\displaystyle \gamma '\neq \gamma }$y un automorfismo de campo${\displaystyle \sigma :L\to L}$que arregla${\displaystyle F(\alpha )}$y toma${\displaystyle \sigma (\gamma )=\gamma '}$. Entonces tenemos${\displaystyle \sigma (\alpha )=\alpha }$, y:

${\displaystyle \beta +c\gamma =\sigma (\beta +c\gamma )=\sigma (\beta )+c\,\sigma (\gamma )}$y por lo tanto ${\displaystyle c={\frac {\sigma (\beta )-\beta }{\gamma -\sigma (\gamma )}}}$.

Dado que solo hay un número finito de posibilidades para${\displaystyle \sigma (\beta )=\beta '}$y${\displaystyle \sigma (\gamma )=\gamma '}$, solo un número finito${\displaystyle c\in F}$fallar al proporcionar un elemento primitivo${\displaystyle \alpha =\beta +c\gamma }$Todos los demás valores dan${\displaystyle F(\alpha )=F(\beta ,\gamma )}$.

Para el caso donde${\displaystyle F}$es finito, simplemente tomamos${\displaystyle \alpha }$ser una raíz primitiva del campo de extensión finito${\displaystyle E}$.

En su Primera Memoria de 1831, publicada en 1846, ^{[ 2 ]} Évariste Galois esbozó una demostración del teorema clásico del elemento primitivo en el caso de un cuerpo de descomposición de un polinomio sobre los números racionales. Las lagunas en su esbozo podían llenarse fácilmente ^{[ 3 ]} (como señaló el revisor Poisson ) explotando un teorema ^{[ 4 ] [ 5 ]} de Lagrange de 1771, que Galois sin duda conocía. Es probable que Lagrange ya estuviera al tanto del teorema del elemento primitivo para cuerpos de descomposición. ^{[ 5 ]} Galois luego utilizó este teorema extensamente en su desarrollo del grupo de Galois . Desde entonces, se ha utilizado en el desarrollo de la teoría de Galois y el teorema fundamental de la teoría de Galois .

El teorema del elemento primitivo fue demostrado en su forma moderna por Ernst Steinitz , en un influyente artículo sobre teoría de campos en 1910, que también contiene el teorema de Steinitz ; ^{[ 6 ]} Steinitz llamó al resultado "clásico" Teorema de los elementos primitivos y a su versión moderna Teorema de los campos intermedios .

Emil Artin reformuló la teoría de Galois en la década de 1930 sin recurrir a elementos primitivos. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

• Apuntes de J. Milne sobre campos y teoría de Galois.
• El teorema del elemento primitivo en mathreference.com
• El teorema del elemento primitivo en planetmath.org
• El teorema del elemento primitivo en el sitio web de Ken Brown (archivo pdf)