endomorfismo de Frobenius

En álgebra conmutativa y teoría de cuerpos , el endomorfismo de Frobenius (en honor a Ferdinand Georg Frobenius ) es un endomorfismo especial de anillos conmutativos con característica prima $p$ , una clase importante que incluye cuerpos finitos . ^[¹^]^[²^] El endomorfismo asigna a cada elemento su $p$ -ésima potencia. En ciertos contextos es un automorfismo , pero esto no es cierto en general. ^[³^]^[⁴^]

Definición

Sea $R$ un anillo conmutativo con característica prima $p$ (un dominio de integridad de característica positiva siempre tiene característica prima, por ejemplo). El endomorfismo de Frobenius $F$ se define por

F(r)=r^{p}

para todo $r$ en $R.$ Respeta la multiplicación de $R$ :

F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s),

y $F (1)$ también es $1. Además, también respeta la suma de$ $R.$ La expresión $(r + s) p$ se puede expandir usando el teorema del binomio . Como $p$ es primo, divide a $p!$ pero no a ningún $q!$ para $q < p$ ; por lo tanto, dividirá el numerador , pero no el denominador , de la fórmula explícita de los coeficientes binomiales.

{\frac {p!}{k!(pk)!}},

si $1 \leq k \leq p - 1$ . Por lo tanto, los coeficientes de todos los términos excepto $r p$ y $s p$ son divisibles por $p$ , y por lo tanto se anulan. ^{[ 5 ]} Así

F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s).

Esto demuestra que F es un homomorfismo de anillos .

Si $φ : R \to S$ es un homomorfismo de anillos de característica $p$ , entonces

\varphi (x^{p})=\varphi (x)^{p}.

Si $F R$ y $F S$ son los endomorfismos de Frobenius de $R$ y $S$ , entonces esto se puede reescribir como:

\varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi .

Esto significa que el endomorfismo de Frobenius es una transformación natural del functor identidad en la categoría de anillos $p$ característicos a sí mismo.

Si el anillo $R$ no contiene elementos nilpotentes , entonces el endomorfismo de Frobenius es inyectivo : $F (r) = 0$ significa $r p = 0$ , lo que por definición implica que $r$ es nilpotente de orden a lo sumo $p$ . De hecho, esto es necesario y suficiente, ya que si $r$ es cualquier elemento nilpotente, entonces una de sus potencias será nilpotente de orden a lo sumo $p$ . En particular, si $R$ es un cuerpo, entonces el endomorfismo de Frobenius es inyectivo.

El morfismo de Frobenius no es necesariamente sobreyectivo , incluso cuando $R$ es un cuerpo. Por ejemplo, sea $K = F p (t)$ el cuerpo finito de $p$ elementos junto con un único elemento trascendental ; equivalentemente, $K$ es el cuerpo de funciones racionales con coeficientes en $F p$ . Entonces la imagen de $F$ no contiene $a t$ . Si lo hiciera, entonces habría una función racional $q (t)/ r (t)$ cuya $p$ -ésima potencia $q (t) p / r (t) p$ sería igual $a t$ . Pero el grado de esta $p$ -ésima potencia (la diferencia entre los grados de su numerador y denominador) es $p deg(q) - p deg(r)$ , que es un múltiplo de $p$ . En particular, no puede ser $1$ , que es el grado de $t$ . Esto es una contradicción; por lo tanto, $t$ no está en la imagen de $F$ .

Un cuerpo $K$ se denomina perfecto si tiene característica cero o característica positiva y su endomorfismo de Frobenius es un automorfismo. Por ejemplo, todos los cuerpos finitos son perfectos.

Puntos fijos del endomorfismo de Frobenius

Consideremos el cuerpo finito $F p$ . Por el pequeño teorema de Fermat , todo elemento $x$ de $F p$ satisface $x p = x$ . Equivalentemente, es una raíz del polinomio $X p - X$ . Por lo tanto, los elementos de $F p$ determinan $p$ raíces de esta ecuación, y como esta ecuación tiene grado $p,$ no tiene más de $p$ raíces sobre ninguna extensión . En particular, si $K$ es una extensión algebraica de $F p$ (como la clausura algebraica u otro cuerpo finito), entonces $F p$ es el cuerpo fijo del automorfismo de Frobenius de $K$ .

Sea $R$ un anillo de característica $p > 0.$ Si $R$ es un dominio de integridad, entonces, por el mismo razonamiento, los puntos fijos de Frobenius son los elementos del cuerpo primo. Sin embargo, si $R$ no es un dominio, entonces $X p - X$ puede tener más de $p$ raíces; por ejemplo, esto sucede si $R = F p \times F p$ .

Una propiedad similar se disfruta en el campo finito. $\mathbf {F} _ {p^{n}}$ por la $n$ -ésima iteración del automorfismo de Frobenius: Cada elemento de $\mathbf {F} _ {p^{n}}$ es una raíz de $X^{p^{n}}-X$ , entonces si $K$ es una extensión algebraica de $\mathbf {F} _ {p^{n}}$ y $F$ es el automorfismo de Frobenius de $K$ , entonces el cuerpo fijo de $F n$ es $\mathbf {F} _ {p^{n}}$ . Si $R$ es un dominio que es un $\mathbf {F} _ {p^{n}}$ -álgebra, entonces los puntos fijos de la $n$ -ésima iteración de Frobenius son los elementos de la imagen de $\mathbf {F} _ {p^{n}}$ .

Al iterar el mapa de Frobenius se obtiene una secuencia de elementos en $R$ :

x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots .

Esta secuencia de iteraciones se utiliza para definir el cierre de Frobenius y el cierre estricto de un ideal.

Como generador de grupos de Galois

El grupo de Galois de una extensión de cuerpos finitos se genera mediante una iteración del automorfismo de Frobenius. Primero, consideremos el caso en que el cuerpo base es el cuerpo primo $F p$ . Sea $F q$ el cuerpo finito de $q$ elementos, donde $q = p n$ . El automorfismo de Frobenius $F$ de $F q$ fija el cuerpo primo $F p$ , por lo que es un elemento del grupo de Galois $Gal(F q / F p)$ . De hecho, dado que $\mathbf {F} _{q}^{\times }$ es cíclico con $q - 1$ elementos , sabemos que el grupo de Galois es cíclico y $F$ es un generador. El orden de $F$ es $n$ porque $F j$ actúa sobre un elemento $x$ enviándolo a $x p j$ , y $x^{p^{j}}=x$ solo puede tener $p^{j}$ muchas raíces, ya que estamos en un campo. Todo automorfismo de $F q$ es una potencia de $F$ , y los generadores son las potencias $F i$ con $i$ coprimo a $n$ .

Ahora consideremos el cuerpo finito $F q f$ como una extensión de $F q$ , donde $q = p n$ como arriba. Si $n > 1$ , entonces el automorfismo de Frobenius $F$ de $F q f$ no fija el cuerpo base $F q$ , pero su $n$ -ésima iteración $F n$ sí lo hace. El grupo de Galois $Gal(F q f / F q)$ es cíclico de orden $f$ y es generado por $F n$ . Es el subgrupo de $Gal(F q f / F p)$ generado por $F n$ . Los generadores de $Gal(F q f / F q)$ son las potencias $F ni$ donde $i$ es coprimo con $f$ .

El automorfismo de Frobenius no es un generador del grupo absoluto de Galois.

\operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}\right),

porque este grupo de Galois es isomorfo a los enteros profinitos

{\widehat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim _{n}\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ,

que no son cíclicos. Sin embargo, dado que el automorfismo de Frobenius es un generador del grupo de Galois de toda extensión finita de $F q$ , es un generador de todo cociente finito del grupo de Galois absoluto. Por consiguiente, es un generador topológico en la topología de Krull usual sobre el grupo de Galois absoluto.

Frobenius para esquemas

Existen varias formas de definir el morfismo de Frobenius para un esquema . La más fundamental es el morfismo de Frobenius absoluto. Sin embargo, este último presenta un comportamiento deficiente en el caso relativo, ya que no tiene en cuenta el esquema base. Existen diversas maneras de adaptar el morfismo de Frobenius al caso relativo, cada una de las cuales resulta útil en determinadas situaciones.

El morfismo absoluto de Frobenius

Supongamos que $X$ es un esquema de característica $p > 0.$ Elija un subconjunto afín abierto $U = Spec A$ de $X.$ El anillo $A$ es un álgebra $F p$ , por lo que admite un endomorfismo de Frobenius. Si $V$ es un subconjunto afín abierto de $U$ , entonces, por la naturalidad de Frobenius, el morfismo de Frobenius en $U$ , cuando se restringe a $V$ , es el morfismo de Frobenius en $V.$ En consecuencia, el morfismo de Frobenius se une para dar un endomorfismo de $X.$ Este endomorfismo se llama morfismo absoluto de Frobenius de $X$ , denotado $F X.$ Por definición, es un homeomorfismo de $X$ consigo mismo. El morfismo absoluto de Frobenius es una transformación natural del functor identidad en la categoría de esquemas $F p$ a sí mismo.

Si $X$ es un esquema $S$ y el morfismo de Frobenius de $S$ es la identidad, entonces el morfismo de Frobenius absoluto es un morfismo de esquemas $S.$ Sin embargo, en general, no lo es. Por ejemplo, considérese el anillo $A=\mathbf {F} _{p^{2}}$ . Sean $X$ y $S$ iguales $a Spec A,$ $siendo$ la aplicación de estructura $X \to S$ la identidad. El morfismo de Frobenius en $A$ envía $a$ a $p$ . No es un morfismo de $\mathbf {F} _{p^{2}}$ -álgebras. Si así fuera, entonces multiplicar por un elemento $b$ en $\mathbf {F} _{p^{2}}$ conmutaría con la aplicación del endomorfismo de Frobenius. Pero esto no es cierto porque:

b\cdot a=ba\neq F(b)\cdot a=b^{p}a.

La primera es la acción de $b$ en el $\mathbf {F} _{p^{2}}$ -estructura algebraica con la que comienza $A$ , y esta última es la acción de $\mathbf {F} _{p^{2}}$ inducido por Frobenius. En consecuencia, el morfismo de Frobenius en $Spec A$ no es un morfismo de $\mathbf {F} _{p^{2}}$ -esquemas.

El morfismo de Frobenius absoluto es un morfismo puramente inseparable de grado $p$ . Su diferencial es cero. Preserva los productos, lo que significa que para cualesquiera dos esquemas $X$ e $Y$ , $F X \times Y = F X \times F Y.$

Restricción y extensión de escalares por Frobenius

Supongamos que $φ : X \to S$ es el morfismo de estructura para un esquema $S$ $X$ . El esquema base $S$ tiene un morfismo de Frobenius $F S$ . La composición de $φ$ con $F S$ da como resultado un esquema $S$ X _F llamado restricción de escalares por Frobenius . La restricción de escalares es en realidad un functor, porque un morfismo $S$ $X \to Y$ induce un morfismo $S$ $X F \to Y F$ .

Por ejemplo, consideremos un anillo $A$ de característica $p > 0$ y un álgebra finitamente presentada sobre $A$ :

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).

La acción de $A$ sobre $R$ viene dada por:

c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum ca_{\alpha }X^{\alpha },

donde α es un multiíndice. Sea $X = Spec R.$ Entonces $X F$ es el esquema afín $Spec R$ , pero su morfismo de estructura $Spec R \to Spec A$ , y por lo tanto la acción de $A$ sobre $R$ , es diferente:

c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum F(c)a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum c^{p}a_{\alpha }X^{\alpha }.

Debido a que la restricción de escalares por Frobenius es simplemente composición, muchas propiedades de $X$ son heredadas por $X F$ bajo hipótesis apropiadas sobre el morfismo de Frobenius. Por ejemplo, si $X$ y S _{F son ambos de tipo finito, entonces} $X F$ también lo es .

La extensión de escalares de Frobenius se define como:

X^{(p)}=X\times _{S}S_{F}.

La proyección sobre el factor $S convierte$ $a X (p)$ en un esquema $S. Si$ $S$ no es claro por el contexto, entonces $X (p)$ se denota por $X (p / S)$ . Al igual que la restricción de escalares, la extensión de escalares es un functor: Un $S$ -morfismo $X \to Y$ determina un $S$ -morfismo $X (p) \to Y (p)$ .

Como antes, consideremos un anillo $A y un álgebra$ $R$ finitamente presentada sobre $A$ , y sea nuevamente $X = Spec R.$ Entonces:

X^{(p)}=\operatorname {Spec} R\otimes _{A}A_{F}.

Una sección global de $X (p)$ tiene la forma:

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }^{p}b_{i},

donde $α$ es un multiíndice y cada $a iα$ y $b i$ es un elemento de A. La acción de un elemento c de A sobre esta sección es:

c\cdot \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}c.

En consecuencia, $X (p)$ es isomorfo a:

\operatorname {Spec} A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),

donde, si:

f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },

entonces:

f_{j}^{(p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{p}X^{\beta }.

Una descripción similar es válida para A $-$ álgebras arbitrarias $R.$

Dado que la extensión de escalares implica un cambio de base, conserva los límites y los coproductos. Esto implica, en particular, que si $X$ tiene una estructura algebraica definida en términos de límites finitos (como ser un esquema de grupo ), entonces $X (p)$ también la tiene . Además, al ser un cambio de base, la extensión de escalares conserva propiedades tales como ser de tipo finito, presentación finita, separado, afín, etc.

La extensión de escalares se comporta bien con respecto al cambio de base: dado un morfismo $S' \to S$ , existe un isomorfismo natural:

X^{(p/S)}\times _{S}S'\cong (X\times _{S}S')^{(p/S')}.

Frobenius relativo

Sea $X$ un esquema $S$ con morfismo de estructura $φ$ . El morfismo de Frobenius relativo de $X$ es el morfismo:

F_{X/S}:X\to X^{(p)}

definido por la propiedad universal del retroceso $X (p)$ (ver el diagrama anterior):

F_{X/S}=(F_{X},\varphi ).

Dado que el morfismo de Frobenius absoluto es natural, el morfismo de Frobenius relativo es un morfismo de esquemas $S.$

Consideremos, por ejemplo, el álgebra $A$ :

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).

Tenemos:

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}).

El morfismo de Frobenius relativo es el homomorfismo $R (p) \to R$ definido por:

\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{p\alpha }.

El Frobenius relativo es compatible con el cambio de base en el sentido de que, bajo el isomorfismo natural de $X (p / S) \times S S'$ y $(X \times S S') (p / S')$ , tenemos:

F_{X/S}\times 1_{S'}=F_{X\times _{S}S'/S'}.

El Frobenius relativo es un homeomorfismo universal. Si $X \to S$ es una inmersión abierta, entonces es la identidad. Si $X \to S$ es una inmersión cerrada determinada por un haz ideal I de $O S$ , entonces $X (p)$ está determinado por el haz ideal $I p$ y el Frobenius relativo es la aplicación de aumento $O S / I p \to O S / I$ .

$X$ es no ramificado sobre $S$ si y solo si $F X / S$ es no ramificado y si y solo si $F X / S$ es un monomorfismo. $X$ es étale sobre $S$ si y solo si $F X / S$ es étale y si y solo si $F X / S$ es un isomorfismo.

Aritmética de Frobenius

El morfismo de Frobenius aritmético de un esquema $S$ $X$ es un morfismo:

F_{X/S}^{a}:X^{(p)}\to X\times _{S}S\cong X

definido por:

F_{X/S}^{a}=1_{X}\times F_{S}.

Es decir, es el cambio de base de $F S$ por $1 X$ .

De nuevo, si:

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F},

entonces el Frobenius aritmético es el homomorfismo:

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{p}X^{\alpha }.

Si reescribimos $R (p)$ como:

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),

Entonces este homomorfismo es:

\sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{p}X^{\alpha }.

Frobenius geométrico

Supongamos que el morfismo de Frobenius absoluto de $S$ es invertible con inversa $F_{S}^{-1}$ . Dejar $S_{F^{-1}}$ denotamos el esquema $S$ $F_{S}^{-1}:S\to S$ . Luego hay una extensión de escalares de $X$ por $F_{S}^{-1}$ :

X^{(1/p)}=X\times _{S}S_{F^{-1}}.

Si:

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),

luego extendiendo escalares por $F_{S}^{-1}$ da:

R^{(1/p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F^{-1}}.

Si:

f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },

Entonces escribimos:

f_{j}^{(1/p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{1/p}X^{\beta },

y luego hay un isomorfismo:

R^{(1/p)}\cong A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(1/p)},\ldots ,f_{m}^{(1/p)}).

El morfismo geométrico de Frobenius de un esquema $S$ $X$ es un morfismo:

F_{X/S}^{g}:X^{(1/p)}\to X\times _{S}S\cong X

definido por:

F_{X/S}^{g}=1_{X}\times F_{S}^{-1}.

Es el cambio de base de $F_{S}^{-1}$ por $1 X$ .

Continuando con nuestro ejemplo de $A$ y $R$ anterior, el coeficiente de Frobenius geométrico se define como:

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{1/p}X^{\alpha }.

Después de reescribir $R (1/ p)$ en términos de $\{f_{j}^{(1/p)}\}$ , la ecuación geométrica de Frobenius es:

\sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{1/p}X^{\alpha }.

Frobenius aritmético y geométrico como acciones de Galois

Supongamos que el morfismo de Frobenius de $S$ es un isomorfismo. Entonces genera un subgrupo del grupo de automorfismos de $S.$ Si $S = Spec k$ es el espectro de un cuerpo finito, entonces su grupo de automorfismos es el grupo de Galois del cuerpo sobre el cuerpo primo, y tanto el morfismo de Frobenius como su inverso son generadores del grupo de automorfismos. Además, $X (p)$ y $X (1/ p)$ pueden identificarse con $X.$ Los morfismos de Frobenius aritmético y geométrico son entonces endomorfismos de $X$ , y por lo tanto conducen a una acción del grupo de Galois de $k$ sobre $X.$

Consideremos el conjunto de $K$ puntos $X (K)$ . Este conjunto viene con una acción de Galois: Cada uno de estos puntos $x$ corresponde a un homomorfismo $O X \to K$ del haz de estructura a $K$ , que se factoriza a través de $k (x)$ , el campo residual en $x$ , y la acción de Frobenius sobre $x$ es la aplicación del morfismo de Frobenius al campo residual. Esta acción de Galois coincide con la acción del Frobenius aritmético: El morfismo compuesto

{\mathcal {O}}_{X}\to k(x){\xrightarrow {\overset {}{F}}}k(x)

es lo mismo que el morfismo compuesto:

{\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {{\overset {}{F}}_{X/S}^{a}}}{\mathcal {O}}_{X}\to k(x)

por la definición del Frobenius aritmético. En consecuencia, el Frobenius aritmético muestra explícitamente la acción del grupo de Galois sobre los puntos como un endomorfismo de $X.$

Frobenius para campos locales

Dada una extensión finita no ramificada $L$ $/$ $K$ de cuerpos locales , existe un concepto de endomorfismo de Frobenius que induce el endomorfismo de Frobenius en la extensión correspondiente de cuerpos residuales . ^[⁶^]

Supongamos que $L / K$ es una extensión no ramificada de cuerpos locales, con anillo de enteros O _K de $K$ tal que el cuerpo residual, los enteros de $K$ módulo su único ideal maximal $φ$ , es un cuerpo finito de orden $q$ , donde $q$ es una potencia de un primo. Si $Φ$ es un primo de $L$ que se encuentra sobre $φ$ , que $L / K$ sea no ramificado significa por definición que los enteros de $L$ módulo $Φ$ , el cuerpo residual de $L$ , serán un cuerpo finito de orden $q f$ que extiende el cuerpo residual de $K$ donde $f$ es el grado de $L / K$ . Podemos definir la aplicación de Frobenius para elementos del anillo de enteros $O L$ de $L$ como un automorfismo $s Φ$ de $L$ tal que

s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}{\pmod {\Phi }}.

Frobenius para campos globales

En la teoría algebraica de números , los elementos de Frobenius se definen para extensiones $L / K$ de cuerpos globales que son extensiones de Galois finitas para ideales primos $Φ$ de $L$ que no están ramificados en $L / K$ . Dado que la extensión no está ramificada, el grupo de descomposición de $Φ$ es el grupo de Galois de la extensión de cuerpos residuales. El elemento de Frobenius se puede definir entonces para elementos del anillo de enteros de $L$ como en el caso local, mediante

s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}{\pmod {\Phi }},

donde $q$ es el orden del campo residual $O K /(Φ \cap O K)$ .

Las elevaciones de Frobenius están en correspondencia con las p-derivaciones .

Ejemplos

El polinomio

x 5 - x - 1

tiene discriminante

19 \times 151

,

y por lo tanto no está ramificado en el primo 3; también es irreducible módulo 3. Por lo tanto, adjuntar una raíz $ρ$ de él al cuerpo de los números $3 -ádicos$ $Q 3$ da una extensión no ramificada $Q 3 (ρ)$ de $Q 3$ . Podemos encontrar la imagen de $ρ$ bajo la aplicación de Frobenius localizando la raíz más cercana a $ρ 3$ , lo cual podemos hacer por el método de Newton . Obtenemos un elemento del anillo de enteros $Z 3 [ρ]$ de esta manera; este es un polinomio de grado cuatro en $ρ$ con coeficientes en los enteros $3 -ádicos$ $Z 3$ . Módulo $38$ este polinomio es

\rho ^{3}+3(460+183\rho -354\rho ^{2}-979\rho ^{3}-575\rho ^{4})

.

Esto es algebraico sobre $Q y es la imagen$ $de$ Frobenius global correcta en términos de la incrustación de $Q$ en $Q³$ ; además, los coeficientes son algebraicos y el resultado puede expresarse algebraicamente. Sin embargo, son de grado 120, el orden del grupo de Galois, lo que ilustra el hecho de que los cálculos explícitos se realizan mucho más fácilmente si bastan los resultados $p -ádicos.$

Si $L / K$ es una extensión abeliana de campos globales, obtenemos una congruencia mucho más fuerte ya que depende solo del primo $φ$ en el campo base $K$ . Por ejemplo, consideremos la extensión $Q (β)$ de $Q$ obtenida al adjuntar una raíz $β$ que satisface

\beta ^{5}+\beta ^{4}-4\beta ^{3}-3\beta ^{2}+3\beta +1=0

a $Q.$ Esta extensión es cíclica de orden cinco, con raíces

2\cos {\tfrac {2\pi n}{11}}

para un entero $n$ . Tiene raíces que son polinomios de Chebyshev de $β$ :

β 2 - 2, β 3 - 3 β, β 5 - 5 β 3 + 5 β

Dé el resultado del mapa de Frobenius para los primos $2$ , $3$ y $5$ , y así sucesivamente para primos mayores que no sean iguales a $11$ o de la forma $22 n + 1$ (que se dividen). Es inmediatamente evidente cómo el mapa de Frobenius da un resultado igual módulo $p$ elevado a la $p$ -ésima potencia de la raíz $β$ .

Véase también

Referencias

↑ Lang. Álgebra . págs. 180, 246.
↑ Hartshone. Geometría algebraica . pág. 21.
↑ Artín. Álgebra Segunda Edición . págs.3,8 págs.355, M5 págs.511.
↑ Weil (1995). Teoría básica de números . págs. corolario 2: págs. 18, Definición 5: págs. 20.
↑ Esto se conoce como el sueño del estudiante de primer año .
↑ Fröhlich, A. ; Taylor, MJ (1991). Teoría algebraica de números . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. Vol. 27. Cambridge University Press . p. 144. ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001 .

"Automorfismo de Frobenius" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
"Endomorfismo de Frobenius" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Lang. Álgebra . págs. 180, 246.

[2] Hartshone. Geometría algebraica . pág. 21.

[3] Artín. Álgebra Segunda Edición . págs.3,8 págs.355, M5 págs.511.

[4] Weil (1995). Teoría básica de números . págs. corolario 2: págs. 18, Definición 5: págs. 20.

[5] Esto se conoce como el sueño del estudiante de primer año .

[FT144-6] Fröhlich, A. ; Taylor, MJ (1991). Teoría algebraica de números . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. Vol. 27. Cambridge University Press . p. 144. ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001 .

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