Entero finito

Cada número entero${\displaystyle n\geq 0}$tiene una representación única en el sistema numérico factorial como$${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}i!\quad {\text{with }}c_{i}\in \mathbb {Z} ,}$$dónde${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq i}$por cada${\displaystyle i}$y solo un número finito de${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots }$son distintos de cero. Esto se puede escribir como${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}$.

De la misma manera, un entero profinito puede representarse de forma única en el sistema numérico factorial como una cadena infinita.${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}$, donde cada${\displaystyle c_{i}}$es un número entero que satisface${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq i}$. ^{[ 1 ]} Los dígitos${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots ,c_{k-1}}$determinar el valor del entero profinito módulo${\displaystyle k!}$. Más específicamente, existe un homomorfismo de anillos${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\to \mathbb {Z} /k!\,\mathbb {Z} }$envío$${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}\mapsto \sum _{i=1}^{k-1}c_{i}i!{\bmod {k}}!}$$La diferencia entre un entero profinito y un entero es que se omite la condición de "un número finito de dígitos distintos de cero", lo que permite que su representación factorial tenga un número infinito de dígitos distintos de cero.

Otra forma de entender la construcción de los enteros profinitos es utilizando el teorema chino del resto . Recordemos que para un entero${\displaystyle n}$con factorización prima$${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$$de primos no repetitivos, existe un isomorfismo de anillo$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}}\times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{k}^{a_{k}}}$$del teorema. Además, cualquier sobreyección$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /m}$$será simplemente un mapa sobre las descomposiciones subyacentes donde hay sobreyecciones inducidas.$${\displaystyle \mathbb {Z} /p_{i}^{a_{i}}\to \mathbb {Z} /p_{i}^{b_{i}}}$$ya que debemos tener${\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}$. Bajo la definición de límite inverso de los enteros profinitos, tenemos el isomorfismo$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$$con el producto directo de enteros p -ádicos. Explícitamente, el isomorfismo es${\displaystyle \phi$ :\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}\to {\widehat {\mathbb {Z} }}} por$${\displaystyle \phi ((n_{2},n_{3},n_{5},\cdots ))(k)=\prod _{q}n_{q}{\bmod {k}},}$$dónde${\displaystyle q}$abarca todos los factores de potencia primaria${\displaystyle p_{i}^{d_{i}}}$de${\displaystyle k}$; eso es,${\displaystyle k=\prod _{i=1}^{l}p_{i}^{d_{i}}}$para algunos números primos diferentes${\displaystyle p_{1},...,p_{l}}$.

El conjunto de los enteros profinitos tiene una topología inducida en la que es un espacio de Hausdorff compacto (de hecho, un espacio de Stone ) que surge del hecho de que puede verse como un subconjunto cerrado del producto directo infinito.$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\subset \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,}$$que es compacto con su topología de producto por el teorema de Tychonoff . La topología en cada grupo finito${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$se da como la topología discreta .

La topología en${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$puede definirse mediante la métrica ^{[ 1 ]}$${\displaystyle d(x,y)={\frac {1}{\min\{k\in \mathbb {Z} _{>0}:x\not \equiv y{\bmod {(k+1)!}}\}}}.}$$Dado que la suma de enteros profinitos es continua,${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$es un grupo abeliano de Hausdorff compacto , y por lo tanto su dual de Pontryagin debe ser un grupo abeliano discreto. De hecho, el dual de Pontryagin de${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$es el grupo abeliano${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$equipado con la topología discreta (tenga en cuenta que no es la topología de subconjunto heredada de${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$, que no es discreto). El dual de Pontryagin se construye explícitamente mediante la función ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times {\widehat {\mathbb {Z} }}\to U(1),\,(q,a)\mapsto \chi (qa),}$$dónde${\displaystyle \chi }$es el personaje de Adele (presentado más adelante)${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}}$inducido por${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to U(1),\,\alpha \mapsto e^{2\pi i\alpha }}$. ^{[ 3 ]}

El producto tensorial${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$es el anillo de adeles finitos$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}={\prod _{p}}'\mathbb {Q} _{p}}$$de${\displaystyle \mathbb {Q} }$donde el símbolo${\displaystyle '}$indica un producto restringido . Es decir, un elemento es una secuencia que es entera excepto en un número finito de lugares. ^{[ 4 ]} Hay un isomorfismo$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {R} \times ({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ).}$$

Para el cierre algebraico${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{q}}$de un campo finito${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$de orden q, el grupo de Galois se puede calcular explícitamente. Del hecho${\displaystyle {\text{Gal}}(\mathbf {F} _{q^{n}}/\mathbf {F} _{q})\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$donde los automorfismos están dados por el endomorfismo de Frobenius , el grupo de Galois de la clausura algebraica de${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$viene dado por el límite inverso de los grupos${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, por lo que su grupo de Galois es isomorfo al grupo de enteros profinitos ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbf {F} }}_{q}/\mathbf {F} _{q})\cong {\widehat {\mathbb {Z} }},}$$lo que proporciona un cálculo del grupo de Galois absoluto de un cuerpo finito.

La teoría de cuerpos de clases es una rama de la teoría algebraica de números que estudia las extensiones de cuerpos abelianos de un cuerpo. Dado el cuerpo global${\displaystyle \mathbb {Q} }$, la abelianización de su grupo absoluto de Galois$${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}}$$está íntimamente relacionado con el anillo de adeles asociado.${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$y el grupo de enteros profinitos. En particular, hay una aplicación, llamada aplicación de Artin ^{[ 6 ].}$${\displaystyle \Psi _{\mathbb {Q} }:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }\to {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab},}$$que es un isomorfismo. Este cociente se puede determinar explícitamente como$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }&\cong (\mathbb {R} \times {\widehat {\mathbb {Z} }})/\mathbb {Z} \\&={\underset {\leftarrow }{\lim }}\mathbb {(} {\mathbb {R} }/m\mathbb {Z} )\\&={\underset {x\mapsto x^{m}}{\lim }}S^{1}\\&={\widehat {\mathbb {Z} }},\end{aligned}}}$$dando la relación deseada. Existe una afirmación análoga para la teoría de campos de clases locales, ya que toda extensión abeliana finita de${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$se induce a partir de una extensión de campo finita${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p}}$.