Grupo finito

En matemáticas , un grupo profinito es un grupo topológico que, en cierto sentido, se forma a partir de un sistema de grupos finitos .

La idea de utilizar un grupo profinito es proporcionar una visión "uniforme" o "sinóptica" de todo un sistema de grupos finitos. Las propiedades del grupo profinito son, en general, propiedades uniformes del sistema. Por ejemplo, el grupo profinito es finitamente generado (como grupo topológico) si y solo si existe${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$de tal manera que cada grupo en el sistema pueda ser generado por${\displaystyle d}$elementos. ^{[ 1 ]} Muchos teoremas sobre grupos finitos pueden generalizarse fácilmente a grupos profinitos; ejemplos de ello son el teorema de Lagrange y los teoremas de Sylow . ^{[ 2 ]}

Para construir un grupo profinito se necesita un sistema de grupos finitos y homomorfismos de grupos entre ellos. Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que estos homomorfismos son sobreyectivos , en cuyo caso los grupos finitos aparecerán como grupos cociente del grupo profinito resultante; en cierto sentido, estos cocientes se aproximan al grupo profinito.

Ejemplos importantes de grupos profinitos son los grupos aditivos de${\displaystyle p}$Enteros -ádicos y los grupos de Galois de extensiones de cuerpos de grado infinito .

Todo grupo profinito es compacto y totalmente disconexo . Una generalización no compacta del concepto es la de los grupos localmente profinitos . Aún más generales son los grupos totalmente disconexos .

Los grupos finitos pueden definirse de dos maneras equivalentes.

• Los grupos finitos son profinitos, si se les da la topología discreta .
• El grupo de${\displaystyle p}$enteros -ádicos${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$La adición es profinita (de hecho, procíclica ). Es el límite inverso de los grupos finitos.${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$dónde${\displaystyle n}$abarca todos los números naturales y los mapas naturales${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$para${\displaystyle n\geq m.}$La topología en este grupo profinito es la misma que la topología que surge de la${\displaystyle p}$-valoración ádica en${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$
• El grupo de los enteros profinitos${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$es la finalización definitiva de${\displaystyle \mathbb {Z} .}$En detalle, es el límite inverso de los grupos finitos.${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$dónde${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$con los mapas de módulo${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$para${\displaystyle m\,|\,n.}$Este grupo es el producto de todos los grupos.${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$y es el grupo de Galois absoluto de cualquier cuerpo finito .
• La teoría de Galois de extensiones de cuerpos de grado infinito da lugar naturalmente a grupos de Galois que son profinitos. Específicamente, si${\displaystyle L/K}$es una extensión de Galois , considere el grupo${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$que consta de todos los automorfismos de campo de${\displaystyle L}$que conservan todos los elementos de${\displaystyle K}$fijo. Este grupo es el límite inverso de los grupos finitos.${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/K),}$dónde${\displaystyle F}$abarca todos los campos intermedios de tal manera que${\displaystyle F/K}$es una extensión de Galois finita . Para el proceso límite, los homomorfismos de restricción${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{1}/K)\to \operatorname {Gal} (F_{2}/K)}$se utilizan, donde${\displaystyle F_{2}\subseteq F_{1}.}$La topología obtenida en${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$Se conoce como la topología de Krull en honor a Wolfgang Krull . Waterhouse (1974) demostró que todo grupo profinito es isomorfo a uno que surge de la teoría de Galois de algún campo.${\displaystyle K,}$pero uno no puede (todavía) controlar qué campo${\displaystyle K}$será así en este caso. De hecho, para muchos campos${\displaystyle K}$En general, no se sabe con precisión qué grupos finitos aparecen como grupos de Galois.${\displaystyle K.}$Este es el problema inverso de Galois para un campo ${\displaystyle K.}$(Para algunos campos${\displaystyle K}$El problema inverso de Galois está resuelto, como por ejemplo el campo de las funciones racionales en una variable sobre los números complejos. No todo grupo profinito aparece como un grupo de Galois absoluto de un campo. ^{[ 6 ]}
• Los grupos fundamentales étales considerados en geometría algebraica también son grupos profinitos, en términos generales porque el álgebra solo puede "ver" recubrimientos finitos de una variedad algebraica . Sin embargo, los grupos fundamentales de la topología algebraica no son, en general, profinitos: para cualquier grupo dado, existe un complejo CW bidimensional cuyo grupo fundamental es igual a él.
• El grupo de automorfismos de un árbol enraizado localmente finito es profinito.

• Todo producto de (un número arbitrario de) grupos profinitos es profinito; la topología resultante de la profinitud coincide con la topología del producto . El límite inverso de un sistema inverso de grupos profinitos con funciones de transición continuas es profinito, y el functor límite inverso es exacto en la categoría de grupos profinitos. Además, ser profinito es una propiedad de extensión.
• Todo subgrupo cerrado de un grupo profinito es también profinito; la topología que surge de la profinitud coincide con la topología del subespacio .${\displaystyle N}$es un subgrupo normal cerrado de un grupo profinito${\displaystyle G,}$entonces el grupo de factores${\displaystyle G/N}$es profinito; la topología que surge de la profinitividad coincide con la topología cociente .
• Dado que cada grupo finito${\displaystyle G}$es compacto Hausdorff, existe una medida Haar en${\displaystyle G,}$lo que nos permite medir el "tamaño" de subconjuntos de${\displaystyle G,}$calcular ciertas probabilidades e integrar funciones en${\displaystyle G.}$
• Un subgrupo de un grupo profinito es abierto si y solo si es cerrado y tiene índice finito .
• Según un teorema de Nikolay Nikolov y Dan Segal , en cualquier grupo profinito topológicamente finitamente generado (es decir, un grupo profinito que tiene un subgrupo denso finitamente generado ), los subgrupos de índice finito son abiertos. Esto generaliza un resultado análogo anterior de Jean-Pierre Serre para profinitos topológicamente finitamente generados.${\displaystyle p}$grupos . La demostración utiliza la clasificación de grupos simples finitos .
• Como corolario sencillo del resultado de Nikolov-Segal anterior, cualquier homomorfismo de grupo discreto sobreyectivo${\displaystyle \varphi :G\to H}$entre grupos finitos${\displaystyle G}$y${\displaystyle H}$es continuo mientras${\displaystyle G}$es topológicamente finitamente generado. De hecho, cualquier subgrupo abierto de${\displaystyle H}$es de índice finito, por lo que su preimagen en${\displaystyle G}$También tiene un índice finito y, por lo tanto, debe ser abierto.
• Suponer${\displaystyle G}$y${\displaystyle H}$son grupos profinitos generados topológicamente de forma finita que son isomorfos como grupos discretos mediante un isomorfismo.${\displaystyle \iota .}$Entonces${\displaystyle \iota }$es biyectiva y continua según el resultado anterior. Además,${\displaystyle \iota ^{-1}}$también es continuo, por lo tanto${\displaystyle \iota }$es un homeomorfismo . Por lo tanto, la topología en un grupo profinito topológicamente finitamente generado está determinada unívocamente por su estructura algebraica .

Existe la noción de grupo ind-finito , que es el dual conceptual de los grupos profinitos; es decir, un grupo${\displaystyle G}$es ind-finito si es el límite directo de un sistema inductivo de grupos finitos. (En particular, es un ind-grupo ). La terminología habitual es diferente: un grupo${\displaystyle G}$Se dice que un grupo es localmente finito si todo subgrupo finitamente generado es finito. Esto es equivalente, de hecho, a ser "ind-finito".

Aplicando la dualidad de Pontryagin , se puede observar que los grupos abelianos profinitos están en dualidad con los grupos abelianos discretos localmente finitos. Estos últimos son precisamente los grupos de torsión abelianos .

Un grupo profinito esproyectiva si tiene lapropiedad de elevaciónpara cada extensión. Esto es equivalente a decir que${\displaystyle G}$es proyectivo si para todo morfismo sobreyectivo de un profinito${\displaystyle H\to G}$hay una sección${\displaystyle G\to H.}$^{[ 7 ] [ 8 ]}

Proyectividad para un grupo finito${\displaystyle G}$es equivalente a cualquiera de las dos propiedades: ^{[ 7 ]}

• la dimensión cohomológica${\displaystyle \operatorname {cd} (G)\leq 1;}$
• por cada primo${\displaystyle p}$el Sylow${\displaystyle p}$-subgrupos de${\displaystyle G}$son pro- gratuitos${\displaystyle p}$-grupos.

Todo grupo proyectivo profinito puede realizarse como un grupo de Galois absoluto de un cuerpo pseudoalgebraicamente cerrado . Este resultado se debe a Alexander Lubotzky y Lou van den Dries . ^{[ 9 ]}

Un grupo finito${\displaystyle G}$esprocíclico si es generado topológicamente por un solo elemento.${\displaystyle \sigma$ ;} es decir, si${\displaystyle G={\overline {\langle \sigma \rangle }},}$el cierre del subgrupo${\displaystyle \langle \sigma \rangle =\left\{\sigma ^{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}.}$^{[ 10 ]}

Un grupo topológico${\displaystyle G}$es procíclico si y solo si${\displaystyle G\cong {\textstyle \prod \limits _{p\in S}}G_{p}}$dónde${\displaystyle p}$abarca un conjunto de números primos${\displaystyle S}$y${\displaystyle G_{p}}$es isomorfo a cualquiera${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$o${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .}$^{[ 11 ]}

• Finalización de Hausdorff
• Grupo cíclico local
• Grupo pro- p
• Entero finito – Concepto de teoría de números 
• Propiedad residual (matemáticas)
• Grupo residualmente finito – Tipo de grupo matemático 

• Frito, Michael D .; Jarden, Moshe (2008). Aritmética de campo . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. vol.  11 (3ª  edición revisada). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001 . 
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• Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2007), "Sobre grupos profinitos finitamente generados, II: productos en grupos cuasisimples", Annals of Mathematics , 2.ª serie, 165 (1): 239–273 , arXiv : math.GR/0604400 , doi : 10.4007/annals.2007.165.239.
• Lenstra, Hendrik (2003), Profinite Groups (PDF) , charla pronunciada en Oberwolfach.
• Lubotzky, Alexander (2001), "Reseña de libro", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 38 (4): 475– 479, doi : 10.1090/S0273-0979-01-00914-4Reseña de varios libros sobre grupos finitos.
• Serre, Jean-Pierre (1994), Cohomologie galoisienne , Lecture Notes in Mathematics (en francés), vol.  5 (5  ed.), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58002-7, MR 1324577 , Zbl 0812.12002  . Serre, Jean-Pierre (1997), cohomología de Galois , traducido por Patrick Ion, Springer-Verlag , ISBN 3-540-61990-9, Zbl 0902.12004 
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