Probabilidad

La probabilidad se refiere a eventos y descripciones numéricas de cuán probable es que ocurran. La probabilidad de un evento es un número entre 0 y 1; cuanto mayor sea la probabilidad, más probable es que ocurra un evento. ^{[ nota 1 ] [ 1 ] [ 2 ]} Este número se suele expresar como un porcentaje (%), que va del 0% al 100%. Un ejemplo sencillo es el lanzamiento de una moneda justa (sin sesgo). Dado que la moneda es justa, los dos resultados ("cara" y "cruz") son igualmente probables; la probabilidad de "cara" es igual a la probabilidad de "cruz"; y como no hay otros resultados posibles, la probabilidad de "cara" o "cruz" es 1/2 (que también podría escribirse como 0,5 o 50%).

Estos conceptos han recibido una formalización matemática axiomática en la teoría de la probabilidad , la cual se utiliza ampliamente en áreas de estudio como la estadística , las matemáticas , la ciencia , las finanzas , los juegos de azar , la inteligencia artificial , el aprendizaje automático , la informática , la teoría de juegos y la filosofía para, por ejemplo, inferir la frecuencia esperada de los eventos. La teoría de la probabilidad también se utiliza para describir la mecánica subyacente y las regularidades de los sistemas complejos . ^{[ 3 ]}

La palabra probabilidad deriva del latín probabilitas , que también puede significar " probidad ", una medida de la autoridad de un testigo en un caso legal en Europa, y a menudo correlacionada con la nobleza del testigo . En cierto sentido, esto difiere mucho del significado moderno de probabilidad , que, por el contrario, es una medida del peso de la evidencia empírica , y se obtiene mediante razonamiento inductivo e inferencia estadística . ^{[ 4 ]}

Cuando se trata de experimentos aleatorios —es decir, experimentos aleatorios y bien definidos— en un contexto puramente teórico (como lanzar una moneda), las probabilidades se pueden describir numéricamente dividiendo el número de resultados deseados entre el número total de resultados posibles. Esto se conoce como probabilidad teórica (a diferencia de la probabilidad empírica , que se ocupa de las probabilidades en el contexto de experimentos reales). La probabilidad es un número entre 0 y 1; cuanto mayor sea la probabilidad, más probable será que ocurra el resultado deseado. Por ejemplo, lanzar una moneda dos veces dará como resultado "cara-cara", "cara-cruz", "cruz-cara" y "cruz-cruz". La probabilidad de obtener un resultado de "cara-cara" es de 1 entre 4 resultados, o, en términos numéricos, 1/4, 0,25 o 25 %. La probabilidad de obtener al menos una cara es de 3 entre 4, o 0,75, y este evento es más probable que ocurra. Sin embargo, en lo que respecta a la aplicación práctica, existen dos categorías principales de interpretaciones de la probabilidad que compiten entre sí, cuyos defensores sostienen diferentes puntos de vista sobre la naturaleza fundamental de la probabilidad:

• Los objetivistas asignan números para describir algún estado de cosas objetivo o físico. La versión más popular de la probabilidad objetiva es la probabilidad frecuentista , que afirma que la probabilidad de un evento aleatorio denota la frecuencia relativa de ocurrencia del resultado de un experimento cuando este se repite indefinidamente. Esta interpretación considera la probabilidad como la frecuencia relativa "a largo plazo" de los resultados. ^{[ 5 ]} Una modificación de esto es la probabilidad de propensión , que interpreta la probabilidad como la tendencia de algún experimento a producir un resultado determinado, incluso si se realiza solo una vez.
• Los subjetivistas asignan números a la probabilidad subjetiva, es decir, como un grado de creencia . ^{[ 6 ]} El grado de creencia se ha interpretado como "el precio al que comprarías o venderías una apuesta que paga 1 unidad de utilidad si E, 0 si no E", ^{[ 7 ]} aunque esta interpretación no es universalmente aceptada. ^{[ 8 ]} La versión más popular de la probabilidad subjetiva es la probabilidad bayesiana , que incluye el conocimiento experto, así como datos experimentales para producir probabilidades. El conocimiento experto se representa mediante alguna distribución de probabilidad previa (subjetiva) . Estos datos se incorporan en una función de verosimilitud . El producto de la probabilidad previa y la verosimilitud, cuando se normaliza, da como resultado una distribución de probabilidad posterior que incorpora toda la información conocida hasta la fecha. ^{[ 9 ]} Según el teorema de concordancia de Aumann , los agentes bayesianos cuyas creencias previas son similares terminarán con creencias posteriores similares. Sin embargo, las probabilidades previas suficientemente diferentes pueden llevar a conclusiones diferentes, independientemente de cuánta información compartan los agentes. ^{[ 10 ]}

El estudio científico de la probabilidad es un desarrollo moderno de las matemáticas. Los juegos de azar demuestran que ha habido interés en cuantificar las ideas de probabilidad a lo largo de la historia, pero las descripciones matemáticas exactas surgieron mucho más tarde. Existen razones para el lento desarrollo de las matemáticas de la probabilidad. Si bien los juegos de azar impulsaron el estudio matemático de la probabilidad, cuestiones fundamentales ^{[ nota 2 ]} aún se ven oscurecidas por supersticiones. ^{[ 11 ]}

Según Richard Jeffrey , «Antes de mediados del siglo XVII, el término “probable” (del latín probabilis ) significaba aprobable y se aplicaba en ese sentido, de forma unívoca, a la opinión y a la acción. Una acción u opinión probable era aquella que personas sensatas emprenderían o sostendrían en esas circunstancias». ^{[ 12 ]} Sin embargo, especialmente en contextos jurídicos, “probable” también podía aplicarse a proposiciones para las que existían buenas pruebas. ^{[ 13 ]}

El polímata italiano del siglo XVI , Gerolamo Cardano, demostró la eficacia de definir las probabilidades como la razón entre los resultados favorables y desfavorables (lo que implica que la probabilidad de un evento viene dada por la razón entre los resultados favorables y el número total de resultados posibles ^{[ 14 ]} ). Aparte del trabajo elemental de Cardano, la doctrina de las probabilidades se remonta a la correspondencia entre Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) ofreció el primer tratamiento científico conocido del tema. ^{[ 15 ]} El Ars Conjectandi de Jakob Bernoulli (póstumo, 1713) y la Doctrina de las probabilidades de Abraham de Moivre (1718) trataron el tema como una rama de las matemáticas. ^{[ 16 ]} Véanse The Emergence of Probability de Ian Hacking ^{[ 4 ]} y The Science of Conjecture de James Franklin ^{[ 17 ]} para conocer la historia del desarrollo inicial del concepto mismo de probabilidad matemática.

La teoría de los errores puede remontarse a la Opera Miscellanea de Roger Cotes (póstuma, 1722), pero una memoria preparada por Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplicó por primera vez la teoría al análisis de los errores de observación. ^{[ 18 ]} La reimpresión (1757) de esta memoria establece los axiomas de que los errores positivos y negativos son igualmente probables, y que ciertos límites asignables definen el rango de todos los errores. Simpson también analiza los errores continuos y describe una curva de probabilidad.

Las dos primeras leyes del error que se propusieron fueron formuladas por Pierre-Simon Laplace . La primera ley se publicó en 1774 y establecía que la frecuencia de un error podía expresarse como una función exponencial de la magnitud numérica del error, sin tener en cuenta el signo. La segunda ley del error fue propuesta por Laplace en 1778 y establecía que la frecuencia del error es una función exponencial del cuadrado del error. ^{[ 19 ]} La segunda ley del error se conoce como distribución normal o ley de Gauss. «Históricamente, resulta difícil atribuir esta ley a Gauss, quien, a pesar de su reconocida precocidad, probablemente no había realizado este descubrimiento antes de cumplir los dos años». ^{[ 19 ]} 

Daniel Bernoulli (1778) introdujo el principio del producto máximo de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.

Adrien-Marie Legendre (1805) desarrolló el método de mínimos cuadrados y lo introdujo en su Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes ( Nuevos métodos para determinar las órbitas de los cometas ). ^{[ 20 ]} Desconociendo la contribución de Legendre, un escritor irlandés-estadounidense, Robert Adrain , editor de "The Analyst" (1808), dedujo por primera vez la ley de facilidad de error,

$${\displaystyle \phi (x)=ce^{-h^{2}x^{2}}}$$

dónde${\displaystyle h}$es una constante que depende de la precisión de la observación, y${\displaystyle c}$es un factor de escala que asegura que el área bajo la curva sea igual a 1. Dio dos pruebas, la segunda es esencialmente la misma que la de John Herschel (1850). Gauss dio la primera prueba que parece haber sido conocida en Europa (la tercera después de la de Adrian) en 1809. Otras pruebas fueron dadas por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), WF Donkin (1844, 1856) y Morgan Crofton (1870). Otros contribuyentes fueron Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli (1875). La fórmula de Peters (1856) para r , el error probable de una sola observación, es bien conocida.

En el siglo XIX, entre los autores que escribieron sobre la teoría general se encuentran Laplace , Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion y Karl Pearson . Augustus De Morgan y George Boole perfeccionaron la exposición de la teoría.

En 1906, Andrey Markov introdujo ^{[ 21 ]} la noción de cadenas de Markov , que desempeñó un papel importante en la teoría de procesos estocásticos y sus aplicaciones. La teoría moderna de la probabilidad basada en la teoría de la medida fue desarrollada por Andrey Kolmogorov en 1931. ^{[ 22 ]}

En el ámbito geométrico, entre los colaboradores de The Educational Times figuraban Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson y Artemas Martin . ^{[ 23 ]} Véase geometría integral para más información.

Al igual que otras teorías , la teoría de la probabilidad representa sus conceptos en términos formales , es decir, en términos que pueden considerarse independientemente de su significado. Estos términos formales se manipulan mediante las reglas de las matemáticas y la lógica, y los resultados se interpretan o se traducen al ámbito del problema. 

Se han realizado al menos dos intentos exitosos de formalizar la probabilidad: la formulación de Kolmogorov y la de Cox . En la formulación de Kolmogorov (véase también espacio de probabilidad ), los conjuntos se interpretan como eventos y la probabilidad como una medida sobre una clase de conjuntos. En el teorema de Cox , la probabilidad se considera una primitiva (es decir, no se analiza en profundidad), y el énfasis se centra en construir una asignación consistente de valores de probabilidad a las proposiciones. En ambos casos, las leyes de la probabilidad son las mismas, salvo por detalles técnicos.

Existen otros métodos para cuantificar la incertidumbre, como la teoría de Dempster-Shafer o la teoría de la posibilidad , pero son esencialmente diferentes y no son compatibles con las leyes de probabilidad que se suelen entender.

La teoría de la probabilidad se aplica en la vida cotidiana en la evaluación y modelización de riesgos . La industria de seguros y los mercados utilizan la ciencia actuarial para determinar precios y tomar decisiones comerciales. Los gobiernos aplican métodos probabilísticos en la regulación ambiental , el análisis de derechos y la regulación financiera .

Un ejemplo del uso de la teoría de la probabilidad en la negociación de acciones es el efecto de la probabilidad percibida de un conflicto generalizado en Oriente Medio sobre los precios del petróleo, lo que genera repercusiones en la economía en su conjunto. La evaluación de un operador de materias primas sobre la mayor probabilidad de una guerra puede provocar alzas o bajas en los precios de dicha materia prima, transmitiendo esa opinión a otros operadores. Por consiguiente, las probabilidades no se evalúan de forma independiente ni necesariamente racional. La teoría de las finanzas conductuales surgió para describir el efecto de este pensamiento grupal en la fijación de precios, las políticas y la paz y el conflicto. ^{[ 24 ]}

Además de la evaluación financiera, la probabilidad puede utilizarse para analizar tendencias en biología (p. ej., propagación de enfermedades) y ecología (p. ej., cuadros de Punnett biológicos ). ^{[ 25 ]} Al igual que en finanzas, la evaluación de riesgos puede utilizarse como herramienta estadística para calcular la probabilidad de que ocurran eventos indeseables y puede ayudar a implementar protocolos para evitar tales circunstancias. La probabilidad se utiliza para diseñar juegos de azar de manera que los casinos puedan obtener ganancias garantizadas, a la vez que ofrecen pagos a los jugadores con la frecuencia suficiente para incentivar el juego continuo. ^{[ 26 ]}

Otra aplicación significativa de la teoría de la probabilidad en la vida cotidiana es la fiabilidad . Muchos productos de consumo, como automóviles y aparatos electrónicos, utilizan la teoría de la fiabilidad en su diseño para reducir la probabilidad de fallo. La probabilidad de fallo puede influir en las decisiones del fabricante sobre la garantía del producto . ^{[ 27 ]}

El modelo de lenguaje de caché y otros modelos de lenguaje estadísticos que se utilizan en el procesamiento del lenguaje natural son también ejemplos de aplicaciones de la teoría de la probabilidad.

Consideremos un experimento que puede producir una serie de resultados. El conjunto de todos los resultados posibles se denomina espacio muestral del experimento, a veces denotado como${\displaystyle \Omega }$El conjunto potencia del espacio muestral se forma al considerar todas las colecciones posibles de resultados. Por ejemplo, al lanzar un dado se pueden obtener seis resultados posibles. Una de estas colecciones da como resultado un número impar. Por lo tanto, el subconjunto {1, 3, 5} es un elemento del conjunto potencia del espacio muestral de lanzamientos de dados. Estas colecciones se denominan "eventos". En este caso, {1, 3, 5} representa el evento de que el dado caiga en un número impar. Si los resultados que ocurren corresponden a un evento determinado, se dice que el evento ha ocurrido.

Una probabilidad es una forma de asignar a cada evento un valor entre cero y uno, con el requisito de que al evento compuesto por todos los resultados posibles (en nuestro ejemplo, el evento {1,2,3,4,5,6}) se le asigne un valor de uno. Para que se considere una probabilidad, la asignación de valores debe cumplir el requisito de que, para cualquier conjunto de eventos mutuamente excluyentes (eventos sin resultados comunes, como los eventos {1,6}, {3} y {2,4}), la probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos viene dada por la suma de las probabilidades de todos los eventos individuales. ^{[ 28 ]}

La probabilidad de un evento A se escribe como${\displaystyle P(A)}$, ^{[ 29 ]}${\displaystyle p(A)}$, o${\displaystyle {\text{Pr}}(A)}$. ^{[ 30 ]} Esta definición matemática de probabilidad puede extenderse a espacios de muestra infinitos, e incluso a espacios de muestra no numerables, utilizando el concepto de una medida.

Lo opuesto o complemento de un evento A es el evento [no A ] (es decir, el evento de que A no ocurra), a menudo denotado como${\displaystyle A',A^{c}}$,${\displaystyle {\overline {A}},A^{\complement },\neg A}$, o${\displaystyle {\sim }A}$; su probabilidad viene dada por P (no A ) = 1 − P ( A ) . ^{[ 31 ]} Como ejemplo, la probabilidad de no sacar un seis en un dado de seis caras es 1 – (probabilidad de sacar un seis) = 1 − ⁠ 1 / 6 ⁠ = ⁠ 5 / 6 ⁠ . Para un tratamiento más completo, véase Evento complementario .

Si dos eventos A y B ocurren en una sola ejecución de un experimento, esto se llama intersección o probabilidad conjunta de A y B , denotada como${\displaystyle P(A\cap B).}$

Eventos independientes

Si dos eventos, A y B, son independientes , entonces la probabilidad conjunta es ^{[ 29 ].}$${\displaystyle P(A{\mbox{ y }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B).}$$ Por ejemplo, si se lanzan dos monedas, la probabilidad de que ambas sean cara es${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}.}$^{[ 32 ]}

En un universo determinista , basado en conceptos newtonianos , no existiría probabilidad si se conocieran todas las condiciones ( el demonio de Laplace ) (pero existen situaciones en las que la sensibilidad a las condiciones iniciales excede nuestra capacidad de medirlas, es decir, de conocerlas). En el caso de una ruleta , si se conocen la fuerza de la mano y el período de dicha fuerza, el número en el que se detendrá la bola sería una certeza (aunque, en la práctica, esto probablemente solo sería cierto para una ruleta que no estuviera perfectamente nivelada, como reveló el libro " Newtonian Casino " de Thomas A. Bass ). Esto también presupone el conocimiento de la inercia y la fricción de la rueda, el peso, la suavidad y la redondez de la bola, las variaciones en la velocidad de la mano durante el giro, etc. Por lo tanto, una descripción probabilística puede ser más útil que la mecánica newtoniana para analizar el patrón de resultados de tiradas repetidas de una ruleta. Los físicos se enfrentan a la misma situación en la teoría cinética de los gases , donde el sistema, si bien es determinista en principio , es tan complejo (con un número de moléculas típicamente del orden de magnitud de la constante de Avogadro)6,02 × 10 ²³ ) que solo es factible una descripción estadística de sus propiedades. ^{[ 35 ]}

La teoría de la probabilidad es necesaria para describir los fenómenos cuánticos. ^{[ 36 ]} Un descubrimiento revolucionario de la física de principios del siglo XX fue el carácter aleatorio de todos los procesos físicos que ocurren a escalas subatómicas y se rigen por las leyes de la mecánica cuántica . La función de onda objetiva evoluciona de forma determinista, pero, según la interpretación de Copenhague , trata sobre probabilidades de observación, y el resultado se explica por un colapso de la función de onda cuando se realiza una observación. Sin embargo, la pérdida del determinismo en aras del instrumentalismo no fue aceptada universalmente. Albert Einstein comentó célebremente en una carta a Max Born : «Estoy convencido de que Dios no juega a los dados». ^{[ 37 ]} Al igual que Einstein, Erwin Schrödinger , quien descubrió la función de onda, creía que la mecánica cuántica es una aproximación estadística de una realidad determinista subyacente . ^{[ 38 ]} En algunas interpretaciones modernas de la mecánica estadística de la medición, se invoca la decoherencia cuántica para explicar la aparición de resultados experimentales subjetivamente probabilísticos.

• Contingencia
• Equiprobabilidad
• lógica difusa
• Heurística (psicología)

• Kallenberg, O. (2005) Simetrías probabilísticas y principios de invariancia . Springer-Verlag, Nueva York. 510 págs. ISBN  0-387-25115-4
• Kallenberg, O. (2002) Fundamentos de la probabilidad moderna, 2.ª ed. Springer Series in Statistics. 650 págs. ISBN  0-387-95313-2
• Olofsson, Peter (2005) Probabilidad, estadística y procesos estocásticos , Wiley-Interscience. 504 págs. ISBN 0-471-67969-0.

• Laboratorios Virtuales de Probabilidad y Estadística (Universidad de Alabama-Huntsville)
• Fieser, James; Dowden, Bradley (eds.). "Probabilidad e inducción" . Internet Encyclopedia of Philosophy . ISSN 2161-0002 . OCLC 37741658 .  
• Probabilidad en In Our Time en la BBC
• Libro electrónico de probabilidad y estadística
• Edwin Thompson Jaynes . Teoría de la probabilidad: La lógica de la ciencia . Preimpresión: Universidad de Washington, (1996). – Índice HTML con enlaces a archivos PostScript y PDF (primeros tres capítulos).
• Personajes destacados en la historia de la probabilidad y la estadística (Universidad de Southampton)
• Páginas sobre probabilidad y estadística en los primeros usos (Universidad de Southampton)
• Primeros usos de símbolos en probabilidad y estadística. Primeros usos de diversos símbolos matemáticos.
• Un tutorial sobre probabilidad y el teorema de Bayes diseñado para estudiantes de primer año de la Universidad de Oxford.
• Introducción a la probabilidad – eBook archivado el 27 de julio de 2011 en Wayback Machine , por Charles Grinstead, Laurie Snell Fuente archivada el 25 de marzo de 2012 en Wayback Machine ( Licencia de Documentación Libre de GNU )
• (en inglés e italiano) Bruno de Finetti , Probabilità e induzione , Bolonia, CLUEB, 1993. ISBN 88-8091-176-7(versión digital)
• La conferencia de Richard Feynman sobre probabilidad.