Espacio de piedra

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio de Stone , también conocido como espacio profinito , ^{[ 1 ]} conjunto profinito o espacio booleano , ^{[ 2 ]} es un espacio compacto totalmente disconexo de Hausdorff . ^{[ 3 ]} Los espacios de Stone reciben su nombre de Marshall Harvey Stone, quien los introdujo y estudió en la década de 1930 en el curso de su investigación de las álgebras booleanas , que culminó en su teorema de representación para las álgebras booleanas .

Las siguientes condiciones en el espacio topológico${\displaystyle X}$son equivalentes: ^{[ 3 ] [ 1 ]}

• ${\displaystyle X}$es un espacio de piedra;
• ${\displaystyle X}$es homeomorfo al límite proyectivo (en la categoría de espacios topológicos ) de un sistema inverso de espacios discretos finitos ;
• ${\displaystyle X}$es compacto y totalmente separado ;
• ${\displaystyle X}$es compacto, T ₀ , y cero-dimensional (en el sentido de la pequeña dimensión inductiva );
• ${\displaystyle X}$es coherente y Hausdorff.

Ejemplos importantes de espacios de Stone incluyen espacios discretos finitos , el conjunto de Cantor y el espacio${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$de${\displaystyle p}$enteros -ádicos , donde${\displaystyle p}$es cualquier número primo . Generalizando estos ejemplos, cualquier producto de un número arbitrario de espacios discretos finitos es un espacio de Stone, y el espacio topológico subyacente a cualquier grupo profinito es un espacio de Stone. La compactificación de Stone-Čech de los números naturales con la topología discreta, o de hecho de cualquier espacio discreto, es un espacio de Stone.

A cada álgebra booleana${\displaystyle B}$podemos asociar un espacio de piedra${\displaystyle S(B)}$de la siguiente manera: los elementos de${\displaystyle S(B)}$¿Están los ultrafiltros en?${\displaystyle B,}$y la topología en${\displaystyle S(B),}$llamadoLa topología de Stone se genera mediante conjuntos de la forma${\displaystyle \{F\in S(B):b\in F\},}$dónde${\displaystyle b\in B.}$

El teorema de representación de Stone para álgebras booleanas establece que toda álgebra booleana es isomorfa al álgebra booleana de conjuntos clopen del espacio de Stone.${\displaystyle S(B)}$y además, cada espacio de piedra${\displaystyle X}$es homeomorfo al espacio de Stone perteneciente al álgebra booleana de conjuntos clopen de${\displaystyle X.}$Estas asignaciones son funtoriales y obtenemos una dualidad categórica entre la categoría de álgebras booleanas (con homomorfismos como morfismos) y la categoría de espacios de Stone (con aplicaciones continuas como morfismos).

El teorema de Stone dio origen a una serie de dualidades similares, ahora conocidas colectivamente como dualidades de Stone .

La categoría de espacios de Stone con aplicaciones continuas es equivalente a la procategoría de la categoría de conjuntos finitos , lo que explica el término "conjuntos profinitos". Los conjuntos profinitos son fundamentales para el proyecto de matemáticas condensadas , que busca reemplazar los espacios topológicos con "conjuntos condensados", donde un espacio topológico X se reemplaza por el functor que transforma un conjunto profinito S en el conjunto ^de aplicaciones continuas de S a X. ^{[ 4} ]

• Compactación de piedra-Čech#Construcción mediante ultrafiltros – Concepto en topología 
• Filtros en topología : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos. 
• Tipo (teoría de modelos) – Concepto en la teoría de modelos 

• Johnstone, Peter (1982). Stone Spaces . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. Vol.  3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33779-8.