Espacio espectral

En matemáticas , un espacio espectral es un espacio topológico homeomorfo al espectro de un anillo conmutativo . A veces también se lo denomina espacio coherente debido a la conexión con los topos coherentes .

Definición

Sea X un espacio topológico y sea K ( X ) el conjunto de todos los subconjuntos abiertos compactos de X . Entonces se dice que X es espectral si satisface todas las condiciones siguientes: ^{${\estilo de visualización \circ}$}

X es compacto y T ₀ .
K ( X ) es una base de subconjuntos abiertos de X .^{${\estilo de visualización \circ}$}
K ( X ) está cerrado bajo intersecciones finitas.^{${\estilo de visualización \circ}$}
X es sobrio , es decir, todo subconjunto cerrado irreducible no vacío de X tiene un punto genérico (necesariamente único) .

Descripciones equivalentes

Sea X un espacio topológico. Cada una de las siguientes propiedades es equivalente a la propiedad de que X sea espectral:

X es homeomorfo a un límite proyectivo de T ₀ -espacios finitos .
X es homeomorfo al espectro de una red distributiva acotada L . En este caso, L es isomorfo (como red acotada) a la red K ( X ) (esto se llama representación de Stone de redes distributivas ).^{${\estilo de visualización \circ}$}
X es homeomorfo al espectro de un anillo conmutativo .
X es el espacio topológico determinado por un espacio de Priestley .
X es un espacio T _{0 cuyo}marco de conjuntos abiertos es coherente (y cada marco coherente proviene de un espacio espectral único de esta manera).

Propiedades

Sea X un espacio espectral y sea K ( X ) como antes. Entonces: ^{${\estilo de visualización \circ}$}

K ( X ) es una subred acotada de subconjuntos de X .^{${\estilo de visualización \circ}$}
Todo subespacio cerrado de X es espectral.
Una intersección arbitraria de subconjuntos compactos y abiertos de X (por lo tanto, de elementos de K ( X )) es nuevamente espectral.^{${\estilo de visualización \circ}$}
X es T ₀ por definición, pero en general no T ₁ . ^[1] De hecho, un espacio espectral es T ₁ si y solo si es Hausdorff (o T ₂ ) si y solo si es un espacio booleano si y solo si K ( X ) es un álgebra booleana .^{${\estilo de visualización \circ}$}
X puede verse como un espacio de Stone por pares . ^[2]

Mapas espectrales

Un mapa espectral f: X → Y entre los espacios espectrales X e Y es un mapa continuo tal que la preimagen de cada subconjunto abierto y compacto de Y bajo f es nuevamente compacta.

La categoría de espacios espectrales, que tiene mapas espectrales como morfismos, es dualmente equivalente a la categoría de redes distributivas acotadas (junto con los homomorfismos de dichas redes). ^[3] En esta antiequivalencia, un espacio espectral X corresponde a la red K ( X ). ^{${\estilo de visualización \circ}$}

Citas

^ AV Arkhangel'skii , LS Pontryagin (Eds.) Topología general I (1990) Springer-Verlag ISBN 3-540-18178-4 (Ver ejemplo 21, sección 2.6.)
^ G. Bezhanishvili, N. Bezhanishvili, D. Gabelaia, A. Kurz, (2010). "Dualidad bitopológica para redes distributivas y álgebras de Heyting". Estructuras matemáticas en informática , 20.
^ Johnstone 1982.

Referencias

M. Hochster (1969). Estructura ideal prima en anillos conmutativos. Trans. Amer. Math. Soc. , 142 43—60
Johnstone, Peter (1982), "II.3 Localidades coherentes", Stone Spaces , Cambridge University Press, págs. 62-69, ISBN 978-0-521-33779-3.
Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Espacios espectrales . Nuevas monografías matemáticas. Vol. 35. Cambridge: Cambridge University Press . doi :10.1017/9781316543870. ISBN . 9781107146723.

[1] AV Arkhangel'skii , LS Pontryagin (Eds.) Topología general I (1990) Springer-Verlag ISBN 3-540-18178-4 (Ver ejemplo 21, sección 2.6.)

[2] G. Bezhanishvili, N. Bezhanishvili, D. Gabelaia, A. Kurz, (2010). "Dualidad bitopológica para redes distributivas y álgebras de Heyting". Estructuras matemáticas en informática , 20.

[FOOTNOTEJohnstone1982-3] Johnstone 1982.