Límite inverso

Comenzamos con la definición de un sistema inverso (o sistema proyectivo) de grupos y homomorfismos . Sea${\displaystyle (I,\leq )}$Sea un conjunto parcialmente ordenado dirigido (no todos los autores requieren que I sea dirigido).${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$Supongamos que tenemos una familia de grupos y que tenemos una familia de homomorfismos.${\displaystyle f_{ij}:A_{j}\to A_{i}}$a pesar de${\displaystyle i\leq j}$(nótese el orden) con las siguientes propiedades:

1. ${\displaystyle f_{ii}}$es la identidad en${\displaystyle A_{i}}$,
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}}$a pesar de${\displaystyle i\leq j\leq k.}$

Entonces la pareja${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$se denomina sistema inverso de grupos y morfismos sobre${\displaystyle I}$y los morfismos${\displaystyle f_{ij}}$se denominan morfismos de transición del sistema.

El límite inverso del sistema inverso${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$es el subgrupo del producto directo de los ⁠${\displaystyle A_{i}}$⁠ se define como

${\displaystyle A=\varprojlim _{i\in I}{A_{i}}=\left\{\;\left.{\vec {a}}\in \prod _{i\in I}A_{i}\;\right|\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\text{ para todo }}i\leq j{\text{ en }}I\;\right\}.}$

La definición anterior de un sistema inverso implica que${\displaystyle A}$es cerrado bajo la multiplicación puntual y, por lo tanto, es un grupo, ya que

${\displaystyle f_{ij}(a_{j}\cdot b_{j})=f_{ij}(a_{j})\cdot f_{ij}(b_{j})=a_{i}\cdot b_{i}}$

para todos${\displaystyle i<j}$y cada uno${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\en A}$⁠

El límite inverso${\displaystyle A}$viene equipado con proyecciones naturales π _i : A → A _i que seleccionan el i -ésimo componente del producto directo para cada${\displaystyle i}$en${\displaystyle I}$El límite inverso y las proyecciones naturales satisfacen una propiedad universal que se describe en la siguiente sección.

Esta misma construcción puede llevarse a cabo si la${\displaystyle A_{i}}$Los son conjuntos , semigrupos , espacios topológicos , anillos , módulos (sobre un anillo fijo), álgebras (sobre un anillo fijo), etc., y los homomorfismos son morfismos en la categoría correspondiente . El límite inverso también pertenecerá a esa categoría. ^{[ 1 ]} De manera más general, esta construcción se aplica cuando el${\displaystyle A_{i}}$⁠ pertenecen a una variedad en el sentido de álgebra universal , es decir, un tipo de estructuras algebraicas, cuyos axiomas son incondicionales ( los cuerpos no forman un álgebra, ya que el cero no tiene un inverso multiplicativo ).

El límite inverso puede definirse abstractamente en una categoría arbitraria mediante una propiedad universal . Sea${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$sea ​​un sistema inverso de objetos y morfismos en una categoría C (misma definición que arriba). El límite inverso de este sistema es un objeto X en C junto con morfismos π _i : X → X _i (llamados proyecciones ) que satisfacen π _i =${\displaystyle f_{ij}}$∘ π _j para todo i ≤ j . El par ( X , π _i ) debe ser universal en el sentido de que para cualquier otro par de este tipo ( Y , ψ _i ) existe un único morfismo u : Y → X tal que el diagrama

conmuta para todo i ≤ j . El límite inverso se suele denotar

${\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}$

con el sistema inverso${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$y las proyecciones canónicas${\displaystyle \pi _{i}}$ser comprendido.

En algunas categorías, el límite inverso de ciertos sistemas inversos no existe. Sin embargo, si existe, es único en un sentido estricto: dados dos límites inversos cualesquiera X y X' de un sistema inverso, existe un isomorfismo único X ′ → X que conmuta con las proyecciones.

Los sistemas inversos y los límites inversos en una categoría C admiten una descripción alternativa en términos de funtores . Cualquier conjunto parcialmente ordenado I puede considerarse como una categoría pequeña donde los morfismos consisten en flechas i → j si y solo si i ≤ j . Un sistema inverso es entonces simplemente un funtor contravariante I → C. Sea${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}}$sea ​​la categoría de estos funtores (con transformaciones naturales como morfismos). Un objeto X de C puede considerarse un sistema inverso trivial, donde todos los objetos son iguales a X y todas las flechas son la identidad de X. Esto define un "funtor trivial" de C a${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}.}$El límite inverso, si existe, se define como un adjunto derecho de este functor trivial.

Si los rangos de los morfismos de un sistema inverso de grupos abelianos ( A _i , f _ij ) son estacionarios , es decir, para cada k existe j ≥ k tal que para todo i ≥ j  :${\displaystyle f_{kj}(A_{j})=f_{ki}(A_{i})}$Se dice que el sistema satisface la condición de Mittag-Leffler .

El nombre "Mittag-Leffler" para esta condición fue dado por Bourbaki en su capítulo sobre estructuras uniformes para un resultado similar sobre límites inversos de espacios uniformes de Hausdorff completos. Mittag-Leffler utilizó un argumento similar en la demostración del teorema de Mittag-Leffler .

Las siguientes situaciones son ejemplos en los que se cumple la condición de Mittag-Leffler:

• un sistema en el que los morfismos f _ij son sobreyectivos
• un sistema de espacios vectoriales de dimensión finita o grupos abelianos finitos o módulos de longitud finita o módulos artinianos .

Un ejemplo donde${\displaystyle \varprojlim {}^{1}}$es distinto de cero se obtiene tomando I como los enteros no negativos , haciendo A _i = p ⁱ Z , B _i = Z , y C _i = B _i / A _i = Z / p ⁱ Z . Entonces

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}A_{i}=\mathbf {Z} _{p}/\mathbf {Z} }$

donde Z _p denota los enteros p-ádicos .

De manera más general, si C es una categoría abeliana arbitraria que tiene suficientes inyectivos , entonces también los tiene C ^I , y por lo tanto se pueden definir los functores derivados derechos del functor límite inverso. El n -ésimo functor derivado derecho se denota

${\displaystyle R^{n}\varprojlim :C^{I}\rightarrow C.}$

En el caso en que C satisface el axioma de Grothendieck (AB4*) , Jan-Erik Roos generalizó el functor lim ¹ en Ab ^I a una serie de functores lim ⁿ tales que

${\displaystyle \varprojlim {}^{n}\cong R^{n}\varprojlim .}$

Durante casi 40 años se pensó que Roos había demostrado (en Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications. ) que lim ¹ A _i = 0 para ( A _i , f _ij ) un sistema inverso con morfismos de transición sobreyectivos e I el conjunto de enteros no negativos (dichos sistemas inversos se denominan a menudo " secuencias de Mittag-Leffler "). Sin embargo, en 2002, Amnon Neeman y Pierre Deligne construyeron un ejemplo de tal sistema en una categoría que satisface (AB4) (además de (AB4*)) con lim ¹ A _i ≠ 0. Desde entonces, Roos ha demostrado (en "Derived functors of inverse limits revisited") que su resultado es correcto si C tiene un conjunto de generadores (además de satisfacer (AB3) y (AB4*)).

Barry Mitchell ha demostrado (en "La dimensión cohomológica de un conjunto dirigido") que si I tiene cardinalidad${\displaystyle \aleph _{d}}$(el d -ésimo cardinal infinito ), entonces R ⁿ lim es cero para todo n ≥ d + 2. Esto se aplica a los diagramas indexados por I en la categoría de R -módulos, con R un anillo conmutativo; no es necesariamente cierto en una categoría abeliana arbitraria (véase "Functores derivados de límites inversos revisados" de Roos para ejemplos de categorías abelianas en las que lim ⁿ , en diagramas indexados por un conjunto numerable, es distinto de cero para n > 1).