Categoría opuesta

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , la categoría opuesta o categoría dual.${\displaystyle C^{\text{op}}}$de una categoría determinada${\displaystyle C}$se forma invirtiendo los morfismos , es decir, intercambiando la fuente y el destino de cada morfismo. Hacer la inversión dos veces produce la categoría original, por lo que lo opuesto de una categoría opuesta es la categoría original misma. En símbolos,${\displaystyle (C^{\text{op}})^{\text{op}}=C}$. La construcción se puede generalizar a ∞-categorías utilizando el conjunto simplicial opuesto .

• Un ejemplo proviene de invertir la dirección de las desigualdades en un orden parcial . Entonces, si X es un conjunto y ≤ una relación de orden parcial, podemos definir una nueva relación de orden parcial ≤ ^op mediante

x ≤ ^op y si y solo si y ≤ x .

El nuevo orden se denomina comúnmente orden dual de ≤ y se suele denotar con ≥. Por lo tanto, la dualidad desempeña un papel importante en la teoría del orden, y todo concepto puramente teórico del orden tiene un dual. Por ejemplo, existen pares opuestos como hijo/padre, descendiente/ancestro, ínfimo / supremo , conjunto inferior / conjunto superior , ideal / filtro , etc. Esta dualidad teórica del orden es, a su vez, un caso especial de la construcción de categorías opuestas, ya que todo conjunto ordenado puede entenderse como una categoría.

• Dado un semigrupo ( S , ·), se suele definir el semigrupo opuesto como ( S , ·) ^op = ( S , *) donde x * y ≔ y · x para todo x , y en S. Así pues, también para los semigrupos existe un principio de dualidad fuerte. Claramente, la misma construcción funciona también para los grupos, y es conocida en la teoría de anillos , donde se aplica al semigrupo multiplicativo del anillo para obtener el anillo opuesto. De nuevo, este proceso puede describirse completando un semigrupo a un monoide, tomando la categoría opuesta correspondiente y, posiblemente, eliminando la unidad de ese monoide.
• La categoría de álgebras booleanas y homomorfismos booleanos es equivalente a la opuesta de la categoría de espacios de Stone y funciones continuas .
• La categoría de esquemas afines es equivalente a la opuesta de la categoría de anillos conmutativos .
• La dualidad de Pontryagin se restringe a una equivalencia entre la categoría de grupos topológicos abelianos compactos de Hausdorff y el opuesto de la categoría de grupos abelianos (discretos).
• Según el teorema de Gelfand-Naimark, la categoría de espacios medibles localizables (con aplicaciones medibles ) es equivalente a la categoría de álgebras de Von Neumann conmutativas (con homomorfismos unitarios normales de *-álgebras ). ^{[ 1 ]}

Productos de conservación opuestos:

${\displaystyle (C\times D)^{\text{op}}\cong C^{\text{op}}\times D^{\text{op}}}$(ver categoría de producto )

Funtores que preservan lo opuesto :

${\displaystyle (\mathrm {Funct} (C,D))^{\text{op}}\cong \mathrm {Funct} (C^{\text{op}},D^{\text{op}})}$^{[ 2 ] [ 3 ]} (vercategoría de functor,functor opuesto)

Rebanadas de conserva opuestas:

${\displaystyle (F\downarrow G)^{\text{op}}\cong (G^{\text{op}}\downarrow F^{\text{op}})}$(véase la categoría de coma )

• Objeto dual
• Dual (teoría de categorías)
• Dualidad (matemáticas)
• functor adjunto
• functor contravariante
• functor opuesto

• Categoría opuesta en el laboratorio n
• Danilov, VI (2001) [1994], "Categoría dual" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
• Mac Lane, Saunders (1978). Categorías para el matemático práctico (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer New York. pág.  33. ISBN 1441931236OCLC 851741862​​ 
• Awodey, Steve (2010). Teoría de categorías (2.ª  ed.). Oxford: Oxford University Press. pp. 53-55 . ISBN  978-0199237180OCLC 740446073​​ 
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1979). Teoría de categorías . SSPM (Serie Sigma en Matemática Pura) 01. Heldermann. ISBN 978-3-88538-001-6.