Propiedad de intersección finita

En topología general , una rama de las matemáticas , se dice que una familia no vacía A de subconjuntos de un conjunto tiene la propiedad de intersección finita (FIP) si la intersección sobre cualquier subconjunto finito de no está vacía . Tiene la propiedad de intersección finita fuerte (SFIP) si la intersección sobre cualquier subconjunto finito de es infinita. Los conjuntos con la propiedad de intersección finita también se denominan sistemas centrados y subbases de filtro . ^[1]${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A}$

La propiedad de intersección finita se puede utilizar para reformular la compacidad topológica en términos de conjuntos cerrados ; esta es su aplicación más destacada. Otras aplicaciones incluyen la demostración de que ciertos conjuntos perfectos son incontables y la construcción de ultrafiltros .

Sea un conjunto y una familia no vacía de subconjuntos de ; es decir, es un subconjunto del conjunto potencia de . Entonces se dice que tiene la propiedad de intersección finita si cada subfamilia finita no vacía tiene intersección no vacía; se dice que tiene la propiedad de intersección finita fuerte si esa intersección es siempre infinita. ^[1]${\textstyle X}$${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle X}$${\textstyle {\mathcal {A}}}$${\textstyle X}$${\textstyle {\mathcal {A}}}$

En símbolos, tiene el FIP si, para cualquier elección de un subconjunto finito no vacío de , debe existir un punto Asimismo, tiene el SFIP si, para cada elección de tales , hay infinitos tales . ^[1]${\textstyle {\mathcal {A}}}$${\textstyle {\mathcal {B}}}$${\textstyle {\mathcal {A}}}$$${\displaystyle x\in \bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}{B}{\text{.}}}$$${\textstyle {\mathcal {A}}}$${\textstyle {\mathcal {B}}}$${\textstyle x}$

En el estudio de los filtros , la intersección común de una familia de conjuntos se denomina núcleo, de una etimología muy similar a la del girasol . Las familias con núcleo vacío se denominan libres ; las que tienen núcleo no vacío, fijas. ^[2]

El conjunto vacío no puede pertenecer a ninguna colección con la propiedad de intersección finita.

Una condición suficiente para la propiedad de intersección FIP es un núcleo no vacío. La inversa es generalmente falsa, pero se cumple para familias finitas; es decir, si es finito, entonces tiene la propiedad de intersección finita si y solo si es fijo. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

La propiedad de intersección finita es estrictamente más fuerte que la intersección por pares; la familia tiene intersecciones por pares, pero no la FIP. ${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}\}}$

En términos más generales, sea un entero positivo mayor que la unidad, y . Entonces , cualquier subconjunto de con menos de elementos tiene intersección no vacía, pero carece de la FIP. ${\textstyle n\in \mathbb {N} \setminus \{1\}}$${\textstyle [n]=\{1,\dots ,n\}}$${\textstyle {\mathcal {A}}=\{[n]\setminus \{j\}:j\in [n]\}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\textstyle n}$${\textstyle {\mathcal {A}}}$

Si es una secuencia decreciente de conjuntos no vacíos, entonces la familia tiene la propiedad de intersección finita (e incluso es un sistema π ). Si las inclusiones son estrictas , entonces admite también la propiedad de intersección finita fuerte. ${\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\cdots }$${\textstyle {\mathcal {A}}=\left\{A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \right\}}$${\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\cdots }$${\textstyle {\mathcal {A}}}$

De manera más general, cualquiera que esté totalmente ordenado por inclusión tiene el FIP. ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

Al mismo tiempo, el núcleo de puede estar vacío: si , entonces el núcleo de es el conjunto vacío . De manera similar, la familia de intervalos también tiene el (S)FIP, pero núcleo vacío. ${\textstyle {\mathcal {A}}}$${\textstyle A_{j}=\{j,j+1,j+2,\dots \}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \left\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \right\}}$

La familia de todos los subconjuntos de Borel con medida de Lebesgue tiene el FIP, al igual que la familia de conjuntos de comeagre . Si es un conjunto infinito, entonces el filtro de Fréchet (la familia ) tiene el FIP. Todos estos son filtros libres ; están cerrados hacia arriba y tienen intersección infinitaria vacía. ^{[3] [4]}${\displaystyle [0,1]}$ ${\textstyle 1}$${\textstyle X}$${\textstyle \{X\setminus C:C{\text{ finite}}\}}$

Si y, para cada entero positivo el subconjunto es precisamente todos los elementos de que tienen un dígito en el ^decimal , entonces cualquier intersección finita de no es vacía —solo hay que tomar en esos lugares finitos y en el resto. Pero la intersección de para todos es vacía, ya que ningún elemento de tiene todos dígitos cero. ${\displaystyle X=(0,1)}$${\displaystyle i,}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle i\geq 1}$${\displaystyle (0,1)}$

La propiedad de intersección finita (fuerte) es una característica de la familia , no del conjunto base . Si una familia del conjunto admite el (S)FIP y , entonces también es una familia del conjunto con el FIP (resp. SFIP). ${\textstyle {\mathcal {A}}}$${\textstyle X}$${\textstyle {\mathcal {A}}}$${\textstyle X}$${\textstyle X\subseteq Y}$${\textstyle {\mathcal {A}}}$${\textstyle Y}$

Si son conjuntos con entonces la familia tiene el FIP; esta familia se llama filtro principal en generado por . El subconjunto tiene el FIP por la misma razón: los núcleos contienen el conjunto no vacío . Si es un intervalo abierto, entonces el conjunto es de hecho igual a los núcleos de o , y por lo tanto es un elemento de cada filtro. Pero en general, el núcleo de un filtro no necesita ser un elemento del filtro. ${\displaystyle K\subseteq X}$${\displaystyle K\neq \varnothing }$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{S\subseteq X:K\subseteq S\}}$${\textstyle X}$${\textstyle K}$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{I\subseteq \mathbb {R} :K\subseteq I{\text{ and }}I{\text{ an open interval}}\}}$${\textstyle K}$${\textstyle K}$${\textstyle K}$${\textstyle {\mathcal {A}}}$${\textstyle {\mathcal {B}}}$

Un filtro propio de un conjunto tiene la propiedad de intersección finita. Toda subbase de vecindad en un punto de un espacio topológico tiene la FIP, y lo mismo es cierto para toda base de vecindad y todo filtro de vecindad en un punto (porque cada uno es, en particular, también una subbase de vecindad).

Un π –sistema es una familia no vacía de conjuntos que está cerrada bajo intersecciones finitas. El conjunto de todas las intersecciones finitas de uno o más conjuntos de se denomina π –sistema generado por , porque es el π –sistema más pequeño que tiene como subconjunto. $${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})=\left\{A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}:1\leq n<\infty {\text{ and }}A_{1},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}\right\}}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

El cierre ascendente de in es el conjunto${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}$${\textstyle X}$$${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}=\left\{S\subseteq X:P\subseteq S{\text{ for some }}P\in \pi ({\mathcal {A}})\right\}{\text{.}}}$$

Para cualquier familia , la propiedad de intersección finita es equivalente a cualquiera de las siguientes: ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

• El sistema π generado por no tiene como elemento el conjunto vacío ; es decir,${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \varnothing \notin \pi ({\mathcal {A}}).}$
• El conjunto tiene la propiedad de intersección finita.${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}$
• El conjunto es un prefiltro (adecuado) ^{[nota 1]} .${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}$
• La familia es un subconjunto de algún prefiltro (adecuado) . ^[1]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• El cierre ascendente es un filtro (propio) sobre . En este caso, se denomina filtro sobre generado por , porque es el filtro mínimo (con respecto a ) sobre que contiene como subconjunto.${\textstyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}}$${\textstyle X}$${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}}$${\textstyle X}$${\textstyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \,\subseteq \,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es un subconjunto de algún filtro (adecuado) ^{[nota 1] . [1]}

La propiedad de intersección finita es útil para formular una definición alternativa de compacidad :

Esta formulación de compacidad se utiliza en algunas pruebas del teorema de Tichonoff .

Otra aplicación común es demostrar que los números reales son incontables .

Todas las condiciones del enunciado del teorema son necesarias:

1. No podemos eliminar la condición de Hausdorff; un conjunto contable (con al menos dos puntos) con la topología indiscreta es compacto, tiene más de un punto y satisface la propiedad de que ningún conjunto de puntos es abierto, pero no es incontable.
2. No podemos eliminar la condición de compacidad, como lo muestra el conjunto de números racionales .
3. No podemos eliminar la condición de que los conjuntos de un punto no pueden ser abiertos, como lo demuestra cualquier espacio finito con topología discreta .

Sea no vacío, con la propiedad de intersección finita. Entonces existe un ultrafiltro (en ) tal que Este resultado se conoce como el lema del ultrafiltro . ^[7]${\displaystyle X}$${\displaystyle F\subseteq 2^{X}.}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 2^{X}}$${\displaystyle F\subseteq U.}$

• Filtro (teoría de conjuntos)  : Familia de conjuntos que representan conjuntos "grandes"
• Filtros en topología  – Uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Sistema de vecindad  – (para un punto x) conjunto de todas las vecindades para el punto xPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Ultrafiltro (teoría de conjuntos)  : filtro propio máximoPages displaying short descriptions of redirect targets

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• Bourbaki, Nicolás (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5 a 10 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . vol. 4. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4.OCLC 246032063  .
• Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4.OCLC 17499190  .
• Comfort, William Wistar; Negrepontis, Stylianos (1974). La teoría de los ultrafiltros . Vol. 211. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-06604-2.OCLC 1205452  .
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