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Dígito numérico

Los diez dígitos de los números arábigos, en orden de valor. Un dígito numérico (a menudo abreviado como dígito ) es un símbolo único que se utiliza para representar números en ...

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Los diez dígitos de los números arábigos, en orden de valor.

Un dígito numérico (a menudo abreviado como dígito ) es un símbolo único que se utiliza para representar números en notación posicional , como 0 , 1 , ..., 9 en la base común 10. El nombre "dígito" proviene del latín digiti , que significa dedos. [ 1 ] Los dígitos pueden usarse solos (como "1") o en combinaciones (como en "15") para formar un numeral .

En cualquier sistema numérico con base entera , la cantidad de dígitos diferentes necesarios es igual al valor absoluto de la base. Por ejemplo, el sistema decimal (base  10) requiere diez dígitos (del 0 al 9), y el binario (base  2) solo dos (0 y 1). Las bases mayores que 10 requieren más de 10 dígitos; por ejemplo, el hexadecimal (base  16) requiere 16 dígitos (generalmente del 0 al 9 y de la A a la F).

Descripción general

En un sistema digital básico, un numeral es una secuencia de dígitos, que puede tener una longitud arbitraria. Cada posición en la secuencia tiene un valor posicional y cada dígito tiene un valor numérico. El valor del numeral se calcula multiplicando cada dígito de la secuencia por su valor posicional y sumando los resultados.

Valores digitales

En un sistema numérico, cada dígito representa un número entero. Por ejemplo, en el sistema decimal , el dígito "1" representa el número uno , y en el sistema hexadecimal , la letra "A" representa el número diez . Un sistema numérico posicional tiene un dígito único para cada número entero, desde cero hasta, pero sin incluir, la base del sistema.

Así, en el sistema decimal posicional, los números del 0 al 9 se pueden expresar utilizando sus respectivos dígitos del 0 al 9 en la posición de las unidades, situada más a la derecha. El número 12 se expresa con el dígito 2 en la posición de las unidades y con el dígito 1 en la posición de las decenas, a la izquierda del 2, mientras que el número 312 se expresa con tres dígitos: el 3 en la posición de las centenas, el 1 en la posición de las decenas y el 2 en la posición de las unidades.

Cálculo de valores posicionales

El sistema de numeración decimal utiliza un separador decimal , comúnmente un punto en inglés o una coma en otros idiomas europeos , [ 2 ] para indicar la "posición de las unidades" o "posición de las unidades", [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] que tiene un valor posicional de uno. Cada posición sucesiva a la izquierda de esta tiene un valor posicional igual al valor posicional del dígito anterior multiplicado por la base . De manera similar, cada posición sucesiva a la derecha del separador tiene un valor posicional igual al valor posicional del dígito anterior dividido por la base. Por ejemplo, en el numeral 10.34 (escrito en base 10 ),

El 0 está inmediatamente a la izquierda del separador, por lo que está en el lugar de las unidades y se llama dígito de las unidades ; [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]
El 1 a la izquierda del lugar de las unidades está en el lugar de las decenas y se llama dígito de las decenas ; [ 9 ]
El 3 está a la derecha del lugar de las unidades, por lo que está en el lugar de las décimas y se llama dígito de las décimas ; [ 10 ]
El 4 a la derecha de la posición de las décimas está en la posición de las centésimas y se llama dígito de las centésimas . [ 10 ]

El valor total del número es 1 decena, 0 unidades, 3 décimas y 4 centésimas. El cero, que no aporta ningún valor al número, indica que el 1 está en la posición de las decenas y no en la de las unidades.

El valor posicional de cualquier dígito en un numeral se puede obtener mediante un cálculo sencillo, que en sí mismo complementa la lógica de los sistemas numéricos. El cálculo consiste en multiplicar el dígito por la base elevada al exponente n − 1 , donde n representa la posición del dígito con respecto al separador; el valor de n es positivo (+), pero solo si el dígito está a la izquierda del separador. A la derecha, el dígito se multiplica por la base elevada a un exponente negativo (−) n . Por ejemplo, en el número 10.34 (escrito en base  10),

El 1 es el segundo a la izquierda del separador, por lo que, según el cálculo, su valor es:
norte−1=2−1=1{\displaystyle n-1=2-1=1}
1×101=10{\displaystyle 1\times 10^{1}=10}
El 4 es el segundo a la derecha del separador, por lo que, según el cálculo, su valor es:
norte=−2{\displaystyle n=-2}
4×10−2=4100{\displaystyle 4\times 10^{-2}={\frac {4}{100}}}

Historia

The first true written positional numeral system is considered to be the Hindu–Arabic numeral system. This system was established by the 7th century in India,[11] but was not yet in its modern form because the use of the digit zero had not yet been widely accepted. Instead of a zero sometimes the digits were marked with dots to indicate their significance, or a space was used as a placeholder. The first widely acknowledged use of zero was in 876.[12] The original numerals were very similar to the modern ones, even down to the glyphs used to represent digits.[11]

By the 13th century, Western Arabic numerals were accepted in European mathematical circles (Fibonacci used them in his Liber Abaci). They began to enter common use in the 15th century.[13] By the end of the 20th century virtually all non-computerized calculations in the world were done with Arabic numerals, which have replaced native numeral systems in most cultures.

Other historical numeral systems using digits

The digits of the Maya numeral system

The exact age of the Maya numerals is unclear, but it is possible that it is older than the Hindu–Arabic system. The system was vigesimal (base 20), so it has twenty digits. The Mayas used a shell symbol to represent zero. Numerals were written vertically, with the ones place at the bottom. The Mayas had no equivalent of the modern decimal separator, so their system could not represent fractions.

The Thai numeral system is identical to the Hindu–Arabic numeral system except for the symbols used to represent digits. The use of these digits is less common in Thailand than it once was, but they are still used alongside Arabic numerals.

The rod numerals, the written forms of counting rods once used by Chinese and Japanese mathematicians, are a decimal positional system able to represent not only zero but also negative numbers. Counting rods themselves predate the Hindu–Arabic numeral system. The Suzhou numerals are variants of rod numerals.

Modern digital systems

In computer science

Los sistemas binario (base  2), octal (base  8) y hexadecimal (base 16), ampliamente utilizados en informática , siguen las convenciones del sistema de numeración indoarábigo . [ 14 ] El sistema binario utiliza solo los dígitos "0" y "1", mientras que el sistema octal utiliza los dígitos del "0" al "7". El sistema hexadecimal utiliza todos los dígitos del sistema decimal, más las letras "A" a "F", que representan los números del 10 al 15 respectivamente. [ 15 ] Cuando se utiliza el sistema binario, el término "bit(s)" se usa típicamente como alternativa a "dígito(s)", siendo una combinación del término "dígito binario". 

Sistemas inusuales

En ocasiones se han utilizado los sistemas ternario y ternario equilibrado . Ambos son  sistemas de base 3. [ 16 ]

El sistema ternario balanceado es inusual por tener los dígitos 1, 0 y −1. Este sistema ha demostrado tener algunas propiedades útiles y se ha utilizado en las computadoras experimentales rusas Setun . [ 17 ]

En los últimos 300 años, varios autores han señalado la facilidad de la notación posicional, que equivale a una representación decimal modificada . Se citan algunas ventajas del uso de dígitos numéricos que representan valores negativos. En 1840, Augustin-Louis Cauchy abogó por el uso de la representación de dígitos con signo , y en 1928, Florian Cajori presentó su recopilación de referencias para numerales negativos . El concepto de representación de dígitos con signo también se ha adoptado en el diseño informático .

Los dígitos en matemáticas

A pesar del papel esencial de los dígitos en la descripción de los números, son relativamente poco importantes para las matemáticas modernas . [ 18 ] Sin embargo, existen algunos conceptos matemáticos importantes que utilizan la representación de un número como una secuencia de dígitos.

raíces digitales

La raíz digital es el número de un solo dígito que se obtiene al sumar los dígitos de un número dado, luego sumar los dígitos del resultado, y así sucesivamente hasta obtener un número de un solo dígito. [ 19 ]

Expulsando nueves

El lanzamiento de nueves es un procedimiento para comprobar operaciones aritméticas realizadas a mano. Para describirlo, veamos:F(incógnita){\displaystyle f(x)}representan la raíz digital deincógnita{\displaystyle x}, como se describió anteriormente. Expulsar los nueves se basa en el hecho de que siA+B=do{\displaystyle A+B=C}, entoncesF(F(A)+F(B))=F(do){\displaystyle f(f(A)+f(B))=f(C)}. En el proceso de sacar nueves, se calculan ambos lados de la última ecuación , y si no son iguales, la suma original debe haber sido errónea. [ 20 ]

Repunidades y dígitos de repunidad

Las repunidades son números enteros representados únicamente por el dígito 1. Por ejemplo, 1111 (mil ciento once) es una repunidad. Los repdígitos son una generalización de las repunidades; son números enteros representados por la repetición del mismo dígito. Por ejemplo, 333 es un repdígito. La primalidad de las repunidades es de interés para los matemáticos. [ 21 ]

Números palindrómicos y números de Lychrel

Los números palíndromos son aquellos que se leen igual cuando se invierten sus dígitos. [ 22 ] Un número de Lychrel es un entero positivo que nunca produce un número palíndromo cuando se somete al proceso iterativo de sumarse a sí mismo con los dígitos invertidos. [ 23 ] La cuestión de si existen números de Lychrel en base  10 es un problema abierto en matemáticas recreativas ; el candidato más pequeño es 196. [ 24 ]

Historia de los números antiguos

Las ayudas para contar, especialmente el uso de partes del cuerpo (contar con los dedos), se utilizaban tanto en la prehistoria como en la actualidad. Existen muchas variantes. Además de contar diez dedos, algunas culturas contaban los nudillos, el espacio entre los dedos y los dedos de los pies. La cultura Oksapmin de Nueva Guinea utiliza un sistema de 27 puntos de la parte superior del cuerpo para representar números. [ 25 ]

Para preservar la información numérica, se han utilizado marcadores tallados en madera, hueso y piedra desde tiempos prehistóricos. [ 26 ] Las culturas de la Edad de Piedra, incluidos los antiguos grupos indígenas americanos , utilizaban marcadores para juegos de azar, servicios personales y comercio de bienes.

Entre el 8000 y el 3500 a. C., los sumerios inventaron un método para preservar información numérica en arcilla . [ 27 ] Esto se hacía con pequeñas fichas de arcilla de diversas formas que se ensartaban como cuentas en un hilo. A partir del 3500 a. C., las fichas de arcilla fueron reemplazadas gradualmente por signos numéricos impresos con un estilete redondo en diferentes ángulos sobre tablillas de arcilla (originalmente recipientes para las fichas), que luego se cocían. Hacia el 3100 a. C., los números escritos se disociaron de las cosas que se contaban y se convirtieron en numerales abstractos.    

Entre el 2700 y el 2000 a. C., en Sumeria, el estilete redondo fue reemplazado gradualmente por un estilete de caña que se utilizaba para imprimir signos cuneiformes en forma de cuña en la arcilla. Estos signos numéricos cuneiformes se parecían a los signos numéricos redondos a los que reemplazaron y conservaban la notación aditiva de valor de signo de estos últimos. Estos sistemas convergieron gradualmente en un sistema numérico sexagesimal común ; este era un sistema de valor posicional que constaba de solo dos marcas impresas, la cuña vertical y el galón, que también podían representar fracciones. [ 28 ] Este sistema numérico sexagesimal se desarrolló por completo al comienzo del período de la Antigua Babilonia (alrededor del 1950  a. C.) y se convirtió en el estándar en Babilonia. [ 29 ]

Los numerales sexagesimales eran un sistema de base mixta que conservaba la alternancia de base  10 y base  6 en una secuencia de cuñas verticales y galones cuneiformes. Hacia el año 1950  a. C., este era un sistema de notación posicional . Los numerales sexagesimales se popularizaron en el comercio, pero también se utilizaron en cálculos astronómicos y de otra índole. Este sistema se exportó desde Babilonia y se utilizó en toda Mesopotamia, así como por todas las naciones mediterráneas que empleaban unidades de medida y conteo babilónicas estándar, incluyendo griegos, romanos y egipcios. La numeración sexagesimal de estilo babilónico todavía se utiliza en las sociedades modernas para medir el tiempo (minutos por hora) y los ángulos (grados). [ 30 ]

Historia de los números modernos

En China , los ejércitos y las provisiones se contaban utilizando sistemas modulares de conteo de números primos . Las cantidades únicas de tropas y las medidas de arroz aparecen como combinaciones únicas de estos sistemas. Una gran ventaja de la aritmética modular es su facilidad de multiplicación. [ 31 ] Esto hace que su uso para el conteo de provisiones sea especialmente atractivo. Los sistemas de conteo convencionales son bastante difíciles de multiplicar y dividir. En la actualidad, la aritmética modular se utiliza a veces en el procesamiento digital de señales . [ 32 ]

El sistema griego más antiguo era el de los numerales áticos , [ 33 ] pero en el siglo IV a. C. comenzaron a usar un sistema alfabético cuasidecimal (véase numerales griegos ). [ 34 ] Los judíos comenzaron a usar un sistema similar ( numerales hebreos ), cuyos ejemplos más antiguos conocidos son monedas de alrededor del año 100  a. C. [ 35 ]

El Imperio Romano utilizaba marcas escritas en cera, papiro y piedra, y seguía aproximadamente la costumbre griega de asignar letras a los distintos números. El sistema de numeración romana se mantuvo en uso común en Europa hasta que la notación posicional se generalizó en el  siglo XVI. [ 36 ]

Los mayas de Centroamérica utilizaban un sistema mixto de base 18 y base 20, posiblemente heredado de los olmecas , que incluía características avanzadas como la notación posicional y el cero . [ 37 ] Utilizaban este sistema para realizar cálculos astronómicos avanzados, incluyendo cálculos muy precisos de la duración del año solar y la órbita de Venus . [ 38 ]

El Imperio Inca tenía una economía planificada a gran escala que utilizaba quipus , sistemas de conteo hechos mediante el anudado de fibras de colores. [ 39 ] El conocimiento de las codificaciones de los nudos y los colores fue suprimido por los conquistadores españoles en el siglo XVI y no ha sobrevivido, aunque todavía se utilizan dispositivos de registro sencillos similares a los quipus en la región andina . 

Algunas autoridades creen que la aritmética posicional comenzó con el uso generalizado de varillas de conteo en China. [ 40 ] Los primeros registros escritos de aritmética posicional parecen ser resultados de cálculo con varillas en China alrededor del año 400. El cero se utilizó por primera vez en la India en el siglo VII d. C. por Brahmagupta . [ 41 ]

El moderno sistema de numeración arábiga posicional fue desarrollado por matemáticos en la India y transmitido a matemáticos musulmanes , junto con tablas astronómicas traídas a Bagdad por un embajador indio alrededor del año 773. [ 42 ]

Desde la India , el floreciente comercio entre los sultanes islámicos y África llevó el concepto a El Cairo . Los matemáticos árabes extendieron el sistema para incluir fracciones decimales , y Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī escribió una obra importante al respecto en el siglo IX. [ 43 ] Los numerales arábigos modernos se introdujeron en Europa con la traducción de esta obra en el siglo XII en España y el Liber Abaci de Leonardo de Pisa de 1201. [ 44 ] En Europa, el sistema indio completo con el cero se derivó de los árabes en el siglo XII. [ 45 ]    

El sistema binario (base 2) fue difundido en el  siglo XVII por Gottfried Leibniz . [ 46 ] Leibniz desarrolló el concepto al principio de su carrera y lo retomó al revisar una copia del I Ching procedente de China. [ 47 ] Los números binarios se popularizaron en el  siglo XX gracias a las aplicaciones informáticas. [ 46 ]

Numerales adicionales

Véase también

Referencias

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