cálculo de varillas

El cálculo con varillas, o cálculo con varillas, fue el método mecánico de computación algorítmica con varillas de conteo en China desde el período de los Reinos Combatientes hasta la dinastía Ming, antes de que las varillas de conteo fueran reemplazadas progresivamente por el ábaco , más conveniente y rápido . El cálculo con varillas desempeñó un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas chinas hasta su apogeo en las dinastías Song y Yuan , culminando con la invención de ecuaciones polinómicas de hasta cuatro incógnitas en la obra de Zhu Shijie .

El equipo básico para realizar el cálculo con varillas consiste en un manojo de varillas y un tablero de conteo . Las varillas suelen estar hechas de bambú, de unos 12  a 15  cm de largo y de 2 a 4  mm de diámetro, a veces de huesos de animales, o de marfil y jade (para comerciantes adinerados). El tablero de conteo puede ser una mesa, una tabla de madera con o sin cuadrícula, colocada en el suelo o sobre arena.

En 1971, arqueólogos chinos desenterraron un conjunto de varillas de conteo de huesos de animales bien conservadas, guardadas en una bolsa de seda, de una tumba en el condado de Qianyang, en la provincia de Shanxi, que data de la primera mitad de la dinastía Han (206 a. C. - 8 d. C.). En 1975 se desenterró un conjunto de varillas de conteo de bambú.

El uso de varillas de conteo para el cálculo con varillas floreció en el período de los Reinos Combatientes , aunque no se encontraron artefactos arqueológicos anteriores a la dinastía Han Occidental (la primera mitad de la dinastía Han ; sin embargo, los arqueólogos sí desenterraron artefactos de software de cálculo con varillas que datan del período de los Reinos Combatientes ); dado que el software de cálculo con varillas debió haber ido de la mano con el hardware de cálculo con varillas, no hay duda de que el cálculo con varillas ya estaba floreciendo durante el período de los Reinos Combatientes, hace más de 2200 años.

El software clave necesario para el cálculo con varillas era una sencilla tabla de multiplicar decimal posicional de 45 frases utilizada en China desde la antigüedad, llamada tabla de nueve-nueve , que aprendían de memoria alumnos, comerciantes, funcionarios gubernamentales y matemáticos por igual.

El cálculo con varillas se basa en el principio de la suma. A diferencia de los números arábigos , los dígitos representados por varillas tienen propiedades aditivas. El proceso de suma implica mover mecánicamente las varillas sin necesidad de memorizar una tabla de sumar . Esta es la principal diferencia con los números arábigos, ya que no se pueden unir mecánicamente 1 y 2 para formar 3, ni 2 y 3 para formar 5.

La imagen adjunta muestra los pasos para sumar 3748 a 289:

1. Coloca el sumando 3748 en la primera fila y el sumando 289 en la segunda.
2. Calcula de IZQUIERDA a DERECHA, comenzando por el 2 de 289.
3. Quita dos varillas de la parte inferior y agrégalas a 7 en la parte superior para hacer 9.
4. Mueva 2 varillas de arriba a abajo 8, lleve una hacia adelante a 9, que se convierte en cero y la lleve a 3 para hacer 4, retire 8 de la fila inferior.
5. Mueva una varilla del 8 en la fila superior al 9 en la inferior para formar un transporte a la siguiente fila y agregue una varilla a 2 varillas en la fila superior para hacer 3 varillas, fila superior izquierda 7.
6. Resultado 3748+289=4037

Las varillas del sumando cambian a lo largo de la suma, mientras que las varillas del sumando en la parte inferior "desaparecen".

Sunzi Suanjing describió en detalle el algoritmo de la multiplicación. A la izquierda se muestran los pasos para calcular 38×76:

1. Coloca el multiplicando arriba y el multiplicador abajo. Alinea la posición de las unidades del multiplicador con la posición más alta del multiplicando. Deja espacio en el centro para anotar.
2. Comienza a calcular desde la posición más alta del multiplicando (en el ejemplo, calcula 30 × 76 y luego 8 × 76). Usando la tabla de multiplicar, 3 por 7 es 21. Coloca 21 en las varillas del medio, con 1 alineado con la posición de las decenas del multiplicador (encima del 7). Luego, 3 por 6 es 18, coloca 18 como se muestra en la imagen. Una vez que el 3 del multiplicando se haya multiplicado por completo, retira las varillas.
3. Mueve el multiplicador un lugar a la derecha. Cambia el 7 a formato horizontal y el 6 a formato vertical.
4. 8×7 = 56. Coloca el 56 en la segunda fila, en el centro, con las unidades alineadas con los dígitos multiplicados en el multiplicador. Resta el 7 del multiplicador, ya que se ha multiplicado.
5. 8×6 = 48, 4 sumado al 6 del paso anterior da 10, llevamos 1. Restamos 8 de la posición de las unidades en el multiplicando y 6 de la posición de las unidades del multiplicador.
6. Suma el 2380 y el 508 del medio, lo que da como resultado 2888: el producto.

La animación de la izquierda muestra los pasos para calcular ⁠ 309 / 7 ⁠ = 44 ⁠ 1 / 7 ⁠ .

1. Coloca el dividendo, 309, en la fila del medio y el divisor , 7, en la fila inferior. Deja espacio para la fila superior.
2. Mueva el divisor, 7, un lugar a la izquierda, cambiándolo a forma horizontal.
3. Utilizando la tabla de multiplicar y la división chinas , 30÷7 es igual a 4 con resto 2. Coloca el cociente, 4, en la fila superior y el resto, 2, en la fila del medio.
4. Mueve el divisor un lugar a la derecha, cambiándolo a forma vertical. 29÷7 es igual a 4 con resto 1. Coloca el cociente, 4, arriba, dejando el divisor en su lugar. Coloca el resto en la fila central en lugar del dividendo en este paso. El resultado es que el cociente es 44 con un resto de 1.

El algoritmo de división de Sunzi fue transmitido íntegramente por al-Juarismi a los países islámicos desde fuentes indias en el año 825 d. C. El libro de al-Juarismi fue traducido al latín en el siglo XIII. El algoritmo de división de Sunzi evolucionó posteriormente en Europa hasta convertirse en la división de galeras . El algoritmo de división en el libro de Abu'l-Hasan al-Uqlidisi de 925 d. C., Kitab al-Fusul fi al-Hisab al-Hindi, y en los Principios de cálculo hindú de Kushyar ibn Labban del siglo XI , eran idénticos al algoritmo de división de Sunzi.

Si hay un resto en una división de cálculo decimal con valor posicional , tanto el resto como el divisor deben dejarse en su lugar, uno encima del otro. En las notas de Liu Hui al Jiuzhang suanshu (siglo II a. C.), el número de arriba se llama "shi" (实), mientras que el de abajo se llama "fa" (法). En el Sunzi Suanjing , el número de arriba se llama "zi" (子) o "fenzi" (lit., hijo de fracción), y el de abajo se llama "mu" (母) o "fenmu" (lit., madre de fracción). Fenzi y Fenmu son también el nombre chino moderno para numerador y denominador , respectivamente. Como se muestra a la derecha, 1 es el resto del numerador, 7 es el divisor del denominador, formando una fracción 1/7 . El cociente de la división ⁠ 309 / 7 ⁠ es 44 + ⁠ 1 / 7 ⁠ . Liu Hui utilizó muchos cálculos con fracciones en Haidao Suanjing .

Esta forma de fracción, con el numerador arriba y el denominador abajo sin una barra horizontal entre ellos, fue transmitida a los países árabes en un libro de al Khwarizmi del año 825 d.C. a través de la India, y fue utilizada por Abu'l-Hasan al-Uqlidisi en el siglo X y por Jamshīd al-Kāshī en su obra "Clave aritmética" del siglo XV .

Suma

1/3 + 2/5​​​​​​​​

• Coloca los dos numeradores 1 y 2 en el lado izquierdo del tablero de conteo, y los dos denominadores 3 y 5 en el lado derecho.
• Multiplica en cruz 1 por 5, 2 por 3 para obtener 5 y 6, reemplaza los numeradores con los productos cruzados correspondientes.
• Multiplica los dos denominadores 3 × 5 = 15, colócalos en la parte inferior derecha.
• Suma los dos numeradores 5 y 6 = 11 y colócalo en la parte superior derecha del tablero de conteo.
• Resultado : 1/3 + 2/5 = 11/15​​​​​​​​​​​

Sustracción

8/9 - 1/5​​​​​​​​

• Coloca la varilla numeradora correspondiente a los numeradores 1 y 8 en el lado izquierdo de un tablero de conteo.
• Coloca las varillas para los denominadores 5 y 9 en el lado derecho de un tablero de conteo.
• Multiplica en cruz 1 × 9 = 9, 5 × 8 = 40, reemplaza los numeradores correspondientes.
• Multiplica los denominadores 5 × 9 = 45, coloca 45 en la parte inferior derecha del tablero de conteo, reemplaza el denominador 5.
• Resta 40 − 9 = 31, colócalo en la parte superior derecha.
• Resultado : 8 / 9 − 1 / 5 = 31 / 45​​​​​

Multiplicación

3 ⁠ 1 / 3 ⁠ × 5 ⁠ 2 / 5 ⁠

• Coloca las varillas de conteo para 3 1/3 y 5 2/5 en el tablero de conteo según el formato de tabulación shang, shi, fa .
• shang por fa sumado a shi: 3 × 3 + 1 = 10; 5 × 5 + 2 = 27
• shi multiplicado por shi: 10 × 27 = 270
• fa multiplicado por fa: 3 × 5 = 15
• shi dividido por fa: 3 ⁠ 1 / 3 ⁠ × 5 ⁠ 2 / 5 ⁠ = 18

Máximo común divisor y reducción de fracciones

El algoritmo para hallar el máximo común divisor de dos números y simplificar fracciones se describe en Jiuzhang suanshu . El máximo común divisor se obtiene mediante divisiones sucesivas con resto hasta que los dos últimos restos sean idénticos. La animación de la derecha ilustra el algoritmo para hallar el máximo común divisor de 32 450 625 / 59 056 400 y simplificar una fracción.

En este caso, el máximo común divisor es 25.

Divide el numerador y el denominador entre 25. La fracción simplificada es ⁠ 1,298,025 / 2,362,256 ⁠ .

Interpolación

El calendárico y matemático He Chengtian (何承天) utilizó el método de interpolación de fracciones , llamado "armonización del divisor del día" (调日法), para obtener un valor aproximado mejor que el anterior mediante la suma iterativa de los numeradores y denominadores de una fracción "más débil" con una fracción "más fuerte". ^{[ 5 ]} El legendario π = 355 / 113 de Zu Chongzhi se podía obtener con el método de He Chengtian . ^{[ 6 ]}

El capítulo ocho, Matrices rectangulares de Jiuzhang suanshu , proporcionó un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de eliminación : ^{[ 7 ]}

Problema 8-1: Supongamos que tenemos 3 paquetes de cereales de primera calidad, 2 paquetes de cereales de calidad media y un paquete de cereales de baja calidad con un peso acumulado de 39 dou. También tenemos 2, 3 y 1 paquetes de los respectivos cereales que suman 34 dou; también tenemos 1, 2 y 3 paquetes de los respectivos cereales, que suman 26 dou.

Calcula la cantidad de cereales de calidad superior, media y baja. En álgebra, este problema se puede expresar mediante un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

${\displaystyle {\begin{cases}3x+2y+z=39\\2x+3y+z=34\\x+2y+3z=26\end{cases}}}$

Este problema se resolvió en Jiuzhang suanshu con varillas de conteo dispuestas en un tablero de conteo en un formato tabular similar a una matriz de 3x4:

Algoritmo:

1. Multiplica la columna central por el número de calidad superior de la columna derecha.
2. Resta repetidamente la columna derecha de la columna central, hasta que el número superior de la columna central sea igual a 0.
3. Multiplica la columna izquierda por el valor de la fila superior de la columna derecha.
4. Resta repetidamente la columna derecha de la columna izquierda, hasta que el número superior de la columna izquierda sea igual a 0.
5. Tras aplicar el algoritmo de eliminación anterior a la columna central reducida y a la columna izquierda, la matriz se redujo a una forma triangular.

La cantidad de un paquete de cereal de baja calidad${\displaystyle ={\frac {99}{36}}=2{\frac {3}{4}}}$

A partir de lo cual se puede encontrar fácilmente la cantidad de un paquete de cereales de calidad superior y media:

• Un paquete de cereales de primera calidad = 9 unidades${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$
• Un paquete mediano de cereal = 4 paquetes${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

El algoritmo para la extracción de la raíz cuadrada se describió en Jiuzhang suanshu y con una pequeña diferencia en la terminología en Sunzi Suanjing .

La animación muestra el algoritmo para la extracción mediante cálculo de varillas de una aproximación de la raíz cuadrada.${\displaystyle {\sqrt {234567}}\approx 484{\tfrac {311}{968}}}$del algoritmo del capítulo 2, problema 19 de Sunzi Suanjing:

Ahora bien, hay un área cuadrada de 234567, halla un lado del cuadrado . ^{[ 8 ]}

El algoritmo es el siguiente:

• Coloca 234567 en el tablero de conteo, en la segunda fila desde arriba, llamado shi
• Coloca un marcador 1 en la posición 10000 en la cuarta fila llamada xia fa
• Estimar el primer dígito de la raíz cuadrada para que sea el numeral de la varilla de conteo 4, colocar en la posición de las centenas de la fila superior ( shang ),
• Multiplica el shang 4 por xiafa 1, coloca el producto 4 en la tercera fila llamada fang fa.
• Multiplica shang por fang fa , resta el producto 4x4=16 de shi : 23-16=7, queda el número 7.
• Duplica el fang fa 4 para convertirlo en 8, muévelo una posición a la derecha y cambia el 8 vertical por un 8 horizontal después de moverlo a la derecha.
• Mueva xia fa dos posiciones a la derecha.
• Estimar el segundo dígito de shang como 8: colocar el número 8 en la décima posición de la fila superior.
• Multiplica xia fa por el nuevo dígito de shang , súmalo a fang fa.

.

• 8 llamadas 8 = 64, resta 64 del número de la fila superior "74", dejando una varilla en el dígito más significativo.
• Duplica el último dígito de Fang Fa 8, súmalo a 80 = 96
• Mueva fang fa 96 una posición a la derecha, cambie la convención; mueva xia fa "1" dos posiciones a la derecha.
• Estima que el tercer dígito de shang es 4.
• Multiplica el nuevo dígito de shang 4 con xia fa 1, combinado con fang fa para obtener 964.
• resta sucesivamente 4*9=36, 4*6=24, 4*4=16 de shi , quedando 311.
• Duplica el último dígito 4 de Fang Fa para convertirlo en 8 y fusionarlo con Fang Fa.
• resultado${\displaystyle {\sqrt {234567}}\approx 484{\tfrac {311}{968}}}$

El matemático Jia Xian , de la dinastía Song del Norte, desarrolló un algoritmo aditivo multiplicativo para la extracción de raíces cuadradas , en el que reemplazó la tradicional "duplicación" de "fang fa" añadiendo el dígito shang al dígito fang fa , con el mismo efecto.

Jiuzhang suanshu vol iv "shaoguang" proporcionó un algoritmo para la extracción de la raíz cúbica.

〔一九〕今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方幾何？答曰：一百二十三尺。

Problema 19: Tenemos un chi cúbico de 1860867, ¿cuál es la longitud de un lado  ? Respuesta: 123 chi.

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1860867}}=123}$

El matemático Jia Xian, de la dinastía Song del Norte, inventó un método similar a una forma simplificada del esquema de Horner para la extracción de la raíz cúbica. La animación de la derecha muestra el algoritmo de Jia Xian para resolver el problema 19 del Jiuzhang suanshu, volumen 4.

El matemático Jia Xian, de la dinastía Song del Norte, inventó el esquema de Horner para resolver ecuaciones simples de cuarto orden de la forma

${\displaystyle x^{4}=a}$

El matemático Qin Jiushao, de la dinastía Song del Sur, mejoró el método Horner de Jia Xian para resolver ecuaciones polinómicas de hasta décimo orden. A continuación se muestra el algoritmo para resolverlas.

${\displaystyle -x^{4}+15245x^{2}-6262506.25=0}$en su Tratado matemático en nueve secciones vol. 6 problema 2. ^{[ 9 ]}

Esta ecuación se dispuso de abajo hacia arriba con varillas de conteo en un tablero de conteo en forma tabular.

Algoritmo:

1. Organice los coeficientes en forma tabular, constante en shi, coeficiente de x en shang lian, el coeficiente de ⁠${\displaystyle x^{4}}$⁠ en yi yu; alinea los números en el rango de la unidad.
2. Avanza shang lian dos rangos
3. Avanza yi yu tres rangos
4. Estimación shang=20
5. deja que xia lian = shang * yi yu
6. let fu lian=shang *yi yu
7. fusionar fu lian con shang lian
8. let fang=shang * shang lian
9. resta shang*fang de shi
10. agregue shang * yi yu a xia lian
11. retraer xia lian 3 rangos, retraer yi yu 4 rangos
12. El segundo dígito de shang es 0
13. fusionar shang lian en fang
14. fusionar yi yu con xia lian
15. Suma yi yu a fu lian, resta el resultado de fang, llama al resultado denominador.
16. Encuentra el máximo común divisor = 25 y simplifica la fracción.${\displaystyle {\frac {32450625}{59056400}}}$
17. solución${\displaystyle x=20{\frac {1298205}{2362256}}}$

El matemático de la dinastía Yuan, Li Zhi, desarrolló el cálculo de barras en Tian yuan shu.

Ejemplo Li Zhi Ceyuan haijing vol II, problema 14 ecuación de una incógnita:

${\displaystyle -x^{2}-680x+96000=0}$

元

El matemático Zhu Shijie desarrolló aún más el cálculo de barras para incluir ecuaciones polinómicas de dos a cuatro incógnitas.

Por ejemplo, polinomios de tres incógnitas:

Ecuación 1:${\displaystyle -yzy^{2}*x-x+xyz=0}$

太

Ecuación 2:${\displaystyle -yz+xx^{2}+xz=0}$

Ecuación 3:${\displaystyle y^{2}-z^{2}+x^{2}=0;}$

太

Tras la eliminación sucesiva de dos incógnitas, la ecuación polinómica de tres incógnitas se redujo a una ecuación polinómica de una sola incógnita:

${\displaystyle x^{4}-6x^{3}+4x^{2}+6x-5=0}$

Resuelto x=5;

Lo cual ignora otras 3 respuestas, 2 de las cuales se repiten.

• matemáticas chinas
• Varillas de conteo

• Lam Lay Yong (蓝丽蓉) Ang Tian Se (洪天赐), Pasos fugaces, ISBN científico mundial 981-02-3696-4
• Jean Claude Martzloff, Historia de las matemáticas chinas ISBN 978-3-540-33782-9