Fracción irreducible

Una fracción irreducible (o fracción en su mínima expresión , forma más simple o fracción reducida ) es una fracción en la que el numerador y el denominador son enteros que no tienen otros divisores comunes que 1 (y −1, cuando se consideran números negativos). ^{[ 1 ]} En otras palabras, una fracción a / b es irreducible si y solo si a y b son coprimos , es decir, si a y b tienen un máximo común divisor de 1. En matemáticas superiores , " fracción irreducible " también puede referirse a fracciones racionales tales que el numerador y el denominador son polinomios coprimos . ^{[ 2 ]} Todo número racional puede representarse como una fracción irreducible con denominador positivo de una sola manera. ^{[ 3 ]}

A veces resulta útil una definición equivalente: si a y b son enteros, entonces la fracción a / b es irreducible si y solo si no existe otra fracción igual c / d tal que | c | < | a | o | d | < | b | , donde | a | representa el valor absoluto de a . ^{[ 4 ]} ( Dos fracciones a / b y c / d son iguales o equivalentes si y solo si ad = bc ) .  

Por ejemplo, ⁠ 1 / 4 ⁠ , ⁠ 5 / 6 ⁠ , y ⁠ −101 / 100 ⁠ son todas fracciones irreducibles. Por otro lado, ⁠ 2 / 4 ⁠ es reducible ya que es igual en valor a ⁠ 1 / 2 ⁠ , y el numerador de ⁠ 1 / 2 ⁠ es menor que el numerador de ⁠ 2 / 4 ⁠ .

Una fracción reducible se puede reducir dividiendo tanto el numerador como el denominador por un factor común. Se puede reducir completamente a su mínima expresión si ambos se dividen por su máximo común divisor . ^{[ 5 ]} Para hallar el máximo común divisor, se puede utilizar el algoritmo euclidiano o la factorización prima . El algoritmo euclidiano suele ser el preferido porque permite reducir fracciones con numeradores y denominadores demasiado grandes para ser factorizados fácilmente. ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {120}{90}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}}$

En el primer paso , ambos números se dividieron por 10, que es un factor común tanto a 120 como a 90. En el segundo paso, se dividieron por 3. El resultado final, 4/3 , es una fracción irreducible porque 4 y 3 no tienen factores comunes aparte de 1.

La fracción original también podría haberse reducido en un solo paso utilizando el máximo común divisor de 90 y 120, que es 30. Como 120 ÷ 30 = 4 y 90 ÷ 30 = 3 , se obtiene

${\displaystyle {\frac {120}{90}}={\frac {4}{3}}}$

El método más rápido para calcularlo manualmente depende de la fracción y de la facilidad con la que se identifiquen los factores comunes. Si el numerador y el denominador son demasiado grandes para asegurar que sean coprimos mediante simple inspección, es necesario calcular el máximo común divisor para garantizar que la fracción sea realmente irreducible.

Cada número racional tiene una representación única como fracción irreducible con denominador positivo ^{[ 3 ]} (sin embargo , ⁠ 2 / 3 ⁠ = ⁠ −2 / −3 ⁠ aunque ambas son irreducibles). La unicidad es una consecuencia de la factorización prima única de los enteros, ya que ⁠ a / b ⁠ = ⁠ c / d ⁠ implica ad = bc , y por lo tanto ambos lados de este último deben compartir la misma factorización prima, sin embargo, a y b no comparten factores primos, por lo que el conjunto de factores primos de a (con multiplicidad) es un subconjunto de los de c y viceversa, lo que significa que a = c y por el mismo argumento b = d .      

El hecho de que cualquier número racional tenga una representación única como fracción irreducible se utiliza en varias demostraciones de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 y de otros números irracionales. Por ejemplo, una demostración señala que si${\displaystyle {\sqrt {2}}}$podría representarse como una razón de enteros, entonces tendría en particular la representación totalmente reducida ⁠ a / b ⁠ donde a y b son los más pequeños posibles; pero dado que ⁠ a / b ⁠ es igual a${\displaystyle {\sqrt {2}}}$También lo hace ⁠ 2 b − a / a − b ⁠ (ya que al multiplicar esto en cruz por ⁠ a / b ⁠ se demuestra que son iguales). Dado que a > b (porque  ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ es mayor que 1), esta última es una razón de dos enteros más pequeños. Esto es una contradicción , por lo que la premisa de que la raíz cuadrada de dos se puede representar como la razón de dos enteros es falsa.

La noción de fracción irreducible se generaliza al campo de fracciones de cualquier dominio de factorización única : cualquier elemento de dicho campo puede escribirse como una fracción en la que el numerador y el denominador son coprimos, dividiendo ambos por su máximo común divisor. ^{[ 7 ]} Esto se aplica notablemente a expresiones racionales sobre un campo. La fracción irreducible para un elemento dado es única salvo la multiplicación del numerador y el denominador por el mismo elemento invertible. En el caso de los números racionales, esto significa que cualquier número tiene dos fracciones irreducibles, relacionadas por un cambio de signo tanto del numerador como del denominador; esta ambigüedad puede eliminarse exigiendo que el denominador sea positivo. En el caso de las funciones racionales, podría exigirse de manera similar que el denominador sea un polinomio mónico . ^{[ 8 ]}

• Cancelación anómala , un procedimiento aritmético erróneo que produce la fracción irreducible correcta cancelando dígitos de la forma original sin reducir.
• Aproximación diofántica , la aproximación de números reales mediante números racionales.

• Weisstein, Eric W. "Fracción reducida" . MathWorld .