Raíz digital

La raíz digital (también suma digital repetida ) de un número natural en una base dada es el valor (de un solo dígito) obtenido mediante un proceso iterativo de suma de dígitos , utilizando en cada iteración el resultado de la iteración anterior para calcular una suma de dígitos. El proceso continúa hasta que se alcanza un número de un solo dígito. Por ejemplo, en base 10, la raíz digital del número 12345 es 6 porque la suma de los dígitos del número es 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, luego el proceso de suma se repite para el número resultante 15, de modo que la suma de 1 + 5 es igual a 6, que es la raíz digital de ese número. En base 10, esto es equivalente a tomar el resto de la división por 9 (excepto cuando la raíz digital es 9, donde el resto de la división por 9 será 0), lo que permite usarlo como regla de divisibilidad . La fórmula para la función $\mathrm {dr} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathop {\bigcup } _{k=0}^{b-1}\{k\},\quad b\in \mathbb {N} _{\geqslant 2}$ se expresa como:

\mathrm {dr} _{b}(n):={\begin{cases}0&n=0\\1+((n-1){\bmod {(}}b-1))&n>0\end{cases}}

.

Definición formal

Dejar $n$ ser un número natural. Para base $b>1$ , definimos la suma de dígitos $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ ser lo siguiente:

F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}

dónde $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ es el número de dígitos en el número en base $b$ , y

d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}

es el valor de cada dígito del número. Un número natural $n$ es una raíz digital si es un punto fijo para $F_{b}$ , lo cual ocurre si $F_{b}(n)=n$ .

Todos los números naturales $n$ son puntos preperiódicos para $F_{b}$ , independientemente de la base. Esto se debe a que si $n\geq b$ , entonces

n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}

y por lo tanto

F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}=n

porque $b>1$ . Si $n<b$ , entonces trivialmente

F_{b}(n)=n

Por lo tanto, las únicas raíces digitales posibles son los números naturales. $0\leq n<b$ y no hay otros ciclos que no sean los puntos fijos de $0\leq n<b$ .

Ejemplo

En base 12 , 8 es la raíz digital aditiva del número en base 10 3110, como por ejemplo $n=3110$

d_{0}={\frac {3110{\bmod {12^{0+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {3110{\bmod {12}}-3110{\bmod {1}}}{1}}={\frac {2-0}{1}}={\frac {2}{1}}=2

d_{1}={\frac {3110{\bmod {12^{1+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {3110{\bmod {144}}-3110{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {86-2}{12}}={\frac {84}{12}}=7

d_{2}={\frac {3110{\bmod {12^{2+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{2}}{12^{2}}}={\frac {3110{\bmod {1728}}-3110{\bmod {1}}44}{144}}={\frac {1382-86}{144}}={\frac {1296}{144}}=9

d_{3}={\frac {3110{\bmod {12^{3+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{3}}{12^{3}}}={\frac {3110{\bmod {20736}}-3110{\bmod {1}}728}{1728}}={\frac {3110-1382}{1728}}={\frac {1728}{1728}}=1

F_{12}(3110)=\sum _{i=0}^{4-1}d_{i}=2+7+9+1=19

Este proceso muestra que 3110 es 1972 en base 12. Ahora, para $F_{12}(3110)=19$

d_{0}={\frac {19{\bmod {12^{0+1}}}-19{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {19{\bmod {12}}-19{\bmod {1}}}{1}}={\frac {7-0}{1}}={\frac {7}{1}}=7

d_{1}={\frac {19{\bmod {12^{1+1}}}-19{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {19{\bmod {144}}-19{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {19-7}{12}}={\frac {12}{12}}=1

F_{12}(19)=\sum _{i=0}^{2-1}d_{i}=1+7=8

muestra que 19 es 17 en base 12. Y como 8 es un número de 1 dígito en base 12 ,

F_{12}(8)=8

.

Fórmulas directas

Podemos definir la raíz del dígito directamente para la base. $b>1$ $\operatorname {dr} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ de las siguientes maneras:

Fórmula de congruencia

La fórmula en base $b$ es:

\operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\b-1&{\mbox{if}}\ n\neq 0,\ n\ \equiv 0{\pmod {(b-1)}},\\n{\bmod {(b-1)}}&{\mbox{if}}\ n\not \equiv 0{\pmod {(b-1)}}\end{cases}}

o,

\operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\1\ +\ ((n-1){\bmod {(b-1)}})&{\mbox{if}}\ n\neq 0.\end{cases}}

En base 10 , la secuencia correspondiente es (secuencia A010888 en el OEIS ) .

La raíz digital es el valor módulo $(b-1)$ porque $b\equiv 1{\pmod {(b-1)}},$ y por lo tanto $b^{i}\equiv 1^{i}\equiv 1{\pmod {(b-1)}}.$ Así que independientemente de la posición $i$ de dígito $d_{i}$ , $d_{i}b^{i}\equiv d_{i}{\pmod {(b-1)}}$ , lo que explica por qué los dígitos se pueden sumar de forma significativa. Concretamente, para un número de tres dígitos $n=d_{2}b^{2}+d_{1}b^{1}+d_{0}b^{0}$ ,

\operatorname {dr} _{b}(n)\equiv d_{2}b^{2}+d_{1}b^{1}+d_{0}b^{0}\equiv d_{2}(1)+d_{1}(1)+d_{0}(1)\equiv d_{2}+d_{1}+d_{0}{\pmod {(b-1)}}.

Para obtener el valor modular con respecto a otros números $m$ , se pueden tomar sumas ponderadas , donde el peso en el $i$ El -ésimo dígito corresponde al valor de $b^{i}{\bmod {m}}$ . En base 10 , esto es más sencillo para $m=2,5,{\text{ and }}10$ donde los dígitos superiores, excepto el dígito de las unidades, desaparecen (ya que 2 y 5 dividen potencias de 10), lo que corresponde al hecho conocido de que la divisibilidad de un número decimal con respecto a 2, 5 y 10 se puede comprobar por el último dígito.

También cabe destacar el módulo. $m=b+1$ . Desde $b\equiv -1{\pmod {(b+1)}},$ y por lo tanto $b^{2}\equiv (-1)^{2}\equiv 1{\pmod {(b+1)}},$ tomar la suma alternada de dígitos produce el valor módulo $(b+1)$ .

Utilizando la función de piso

Es útil ver la raíz digital de un entero positivo como la posición que ocupa con respecto al múltiplo más grande de $b-1$ menor que el número mismo. Por ejemplo, en base 6 la raíz digital de 11 es 2, lo que significa que 11 es el segundo número después $6-1=5$ . Asimismo, en base 10 la raíz digital de 2035 es 1, lo que significa que $2035-1=2034|9$ . Si un número produce una raíz digital de exactamente $b-1$ , entonces el número es un múltiplo de $b-1$ .

Teniendo esto en cuenta, la raíz digital de un número entero positivo $n$ puede definirse mediante el uso de la función piso $\lfloor x\rfloor$ , como

\operatorname {dr} _{b}(n)=n-(b-1)\left\lfloor {\frac {n-1}{b-1}}\right\rfloor .

Propiedades

Dejar $b\geq 2$ y dejar $\operatorname {dr} _{b}(n)$ denotan la raíz digital de $n$ en base $b$ . Entonces:

Idempotencia

\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(n))=\operatorname {dr} _{b}(n).

Dado que la raíz digital es un solo dígito (es decir, $0\leq \operatorname {dr} _{b}(n)<b$ ), al aplicar de nuevo el proceso de suma de dígitos, el resultado no cambia.

Compatibilidad con la adición

\operatorname {dr} _{b}(a+c)=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a)+\operatorname {dr} _{b}(c)).

Esto se deduce de la congruencia

a\equiv \operatorname {dr} _{b}(a),\quad c\equiv \operatorname {dr} _{b}(c){\pmod {b-1}}.

Compatibilidad con la resta

\operatorname {dr} _{b}(a-c)\equiv \operatorname {dr} _{b}(a)-\operatorname {dr} _{b}(c){\pmod {b-1}}.

En particular, después de aplicar $\operatorname {dr} _{b}$ al resultado, la resta se conserva hasta la reducción módulo $b-1$ .

Compatibilidad con la multiplicación

\operatorname {dr} _{b}(ac)=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a)\cdot \operatorname {dr} _{b}(c)).

Esto es consecuencia de la compatibilidad multiplicativa módulo $b-1$ .

Compatibilidad con la exponenciación

\operatorname {dr} _{b}(a^{k})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a)^{k}).

Esto se deduce de

a\equiv \operatorname {dr} _{b}(a){\pmod {b-1}}

,

entonces

a^{k}\equiv \operatorname {dr} _{b}(a)^{k}{\pmod {b-1}}.

Estas propiedades demuestran que la raíz digital se comporta como una reducción módulo $b-1$ , seguido del mapeo del residuo $0$ a $b-1$ .

Persistencia aditiva

La persistencia aditiva cuenta cuántas veces debemos sumar sus dígitos para llegar a su raíz digital.

Por ejemplo, la persistencia aditiva de 2718 en base 10 es 2: primero encontramos que 2 + 7 + 1 + 8 = 18, luego que 1 + 8 = 9.

No existe límite para la persistencia aditiva de un número en una base numérica. $b$ . Demostración: Para un número dado $n$ , la persistencia del número que consiste en $n$ repeticiones del dígito 1 es 1 mayor que la de $n$ Los números más pequeños de persistencia aditiva 0, 1, ... en base 10 son:

0, 10, 19, 199, 19 999 999 999 999 999 999 999, ... (secuencia A006050 en el OEIS )

El siguiente número en la secuencia (el número más pequeño de persistencia aditiva 5) es 2 × 10 ^{2×(10 ²² − 1)/9} − 1 (es decir, 1 seguido de 2 222 222 222 222 222 222 222 nueves). Para cualquier base fija, la suma de los dígitos de un número es proporcional a su logaritmo ; por lo tanto, la persistencia aditiva es proporcional al logaritmo iterado . ^{[ 1 ]}

Ejemplo de programación

El siguiente ejemplo implementa la suma de dígitos descrita en la definición anterior para buscar raíces digitales y persistencias aditivas en Java .

import java.util.HashSet ;clase pública DigitFunctions {// Suma de dígitos en base bstatic int digitSum ( int x , int b ) {entero total = 0 ;mientras ( x > 0 ) {total += x % b ;x /= b ;}devolver total ;}// Raíz digital en base bstatic int digitalRoot ( int x , int b ) {HashSet < Integer > visto = nuevo HashSet <> ();mientras ( ! visto . contiene ( x )) {visto . agregar ( x );x = digitSum ( x , b );}devolver x ;}// Persistencia aditiva en base bstatic int additivePersistence ( int x , int b ) {HashSet < Integer > visto = nuevo HashSet <> ();mientras ( ! visto . contiene ( x )) {visto . agregar ( x );x = digitSum ( x , b );}devolver visto.tamaño ( ) - 1 ;}// Ejemplo de usopublic static void main ( String [] args ) {entero x = 9876 ;entero b = 10 ;System.out.println ( " Suma de dígitos: " + digitSum ( x , b ) ) ;System.out.println ( "Raíz digital : " + digitalRoot ( x , b ) ) ;System.out.println ( " Persistencia aditiva: " + additivePersistence ( x , b ) ) ;}}

En la cultura popular

En la numerología occidental se utilizan raíces digitales , pero ciertos números que se consideran de significado oculto (como el 11 y el 22) no siempre se reducen completamente a un solo dígito.

Las raíces digitales constituyen una mecánica importante en el juego de aventuras de novela visual Nine Hours, Nine Persons, Nine Doors .

Véase también

Referencias

↑ Meimaris, Antonios (2015), Sobre la persistencia aditiva de un número en base p , Preimpresión

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